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1
一次函数章节复习：直角三角形存在性【题集B4】
x
y
O
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
如图所示，直线
与轴、轴分别交于
、
，点
在直线
上．
求
、
两点的坐标．
求点
，使
的周长最小，并求
的周长最小值．
是否存在点
，使
为直角三角形？若存在，求点
的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
点
的坐标为
，点
的坐标为
．
．
存在，点
的坐标为
或
或
或
．
令
，得
，
解得
，
∴点
的坐标为
，
令
，得
，
∴点
的坐标为
．
作点
关于直线
的对称点
，
的坐标为
，
∴
，
∴
．
设
，
∴
，
，
，
①点
为直角顶点，则
，
即
，
解得
，
∴
．
②点
为直角顶点，则
，
2
【标注】
即
，
解得
，
∴
．
③点
为直角顶点，由
，
即
，
解得
或
，
∴
或
．
综上可得：点
的坐标为
或
或
或
．
【知识点】一次函数与直角三角形结合
备用图
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
【解析】
如图，已知：函数
的图象与轴、轴分别交于
、
两点，与函数
的图象交于
点，
轴于
，
为轴上一动点，从
点出发以每秒个单位的速度向右运动秒，过
点
作轴的垂线分别交
和
的图象于
、
两点．
；点
的坐标为 ．
求当为何值时，
．
求当为何值时，以
、
、
为顶点的三角形为直角三角形．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
当
或时，
．
当
或时，
是直角三角形．
点
在直线
上，
，
∴
，
∴点
的坐标是
，把
代入
中，
，
∴
，
∴直线
的解析式为
，
令
，得
，
3
（2 ）
（3 ）
∴点
的坐标是
．
故答案为，
．
∵
，
∴
，
① 当
时，
，
，
∵
，
∴
，
∴
．
② 当
时，
，
，
∵
，
∴
，
∴
．
综上所述，当
或时，
．
如图，①作
于点
，此时
是直角三角形．
∵直线
的解析式为
，
由
，解得
，
∴点
坐标
，
∴
，
∴
．
作
交
于点
，此时
是直角三角形，
4
【标注】
∵直线
的解析式为
，
由
解得
，
∴
，
∴
，
∴
．
综上所述，当
或时，
是直角三角形．
【知识点】一次函数与直角三角形结合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
【解析】
如图，
是边上为的等边三角形，其中
，
，过
的直线
与轴
交点于
．
求
的值．
求证：
．
作点
关于轴的对称点
，在坐标轴上是否存在点
使得
为直角三角形，若存在请
直接写出
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
证明见解析．
；
；
；
．
如图，过点
作
轴交轴于点
，
∵
是等边三角形，
，
∴
，
在
中，
，
，
∴根据勾股定理：
，
∴
，
5
（2 ）
（3 ）
将
代入
得
．
将
代入
得
，
∴
点坐标为
，
∴
，
，
在
中，
，
，
∴根据勾股定理得：
，
又∵
，
∴在
中，
，
，
，
即
，
根据勾股定理的逆定理得
是以
为直角顶点的直角三角形，
∴
．
∵
是点
关于轴对称点，∴
，
①当
在轴上，设
，则
，
，
）当
以点
为直角顶点，则
，得
，∴
，
）当
以点
为直角顶点时，则
得
，
∴
，
）当
以点
为直角顶点，不存在，
②当
在轴上，设
，则
，
，
，
）当
以点
为直角顶点，则
，使
，∴
．
）当
以点
为直角顶点，则
，得
，
∴
，
）当
以点
为直角顶点，不存在，
综上所述：
；
；
；
．
6
【标注】【知识点】一次函数与直角三角形结合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，
，
两点的坐标分别是
，
，
是轴上一点，沿
折叠直线
刚好落在轴
上，点
落在点
处．
图
图
直接写出点
的坐标．
求
的长．
若点
是直线
与直线
的交点，请求出点
的坐标；并在轴上找一点
，使得以
、
、
为顶点的三角形是直角三角形．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
，
满足条件的点
坐标为
、
．
∵
，
两点的坐标分别是
，
，
∴
，
，
∴
，
∵直线
沿
折叠，点
恰好落在轴上的点
处，
∴
，
，
∴
．
∴
．
由（）知，
，
，
设
，则
，
在
中，
，
∴
，
解得：
，
7
（3 ）
【标注】
即：
．
由（）知，
，
∴
，
∴设直线
的解析式为
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴直线
的解析式为
①，
同理：直线
的解析式为
②，
联立①②解得
，
，
∴
，在
中，
，
∴
，
∵以
、
、
为顶点的三角形是直角三角形．
∴①当
时，
轴，
∴
，
②当
时，
由折叠知，
，
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∴点
和点
重合，
∴
，
即：满足条件的点
坐标为
、
．
【知识点】象限内坐标的特征
【知识点】一次函数与直角三角形结合
【知识点】一次函数与二元一次方程组
【知识点】一次函数与实际问题
【知识点】方程思想在勾股定理的应用
【知识点】勾股定理与实际问题
【思想】数形结合思想
【思想】方程思想
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