文档文本内容
1
一次函数与存在性（5）菱形【题集A】
一、课堂目标
理解并掌握菱形存在问题的解题策略．
二、知识讲解
菱形的存在性
有一组 相等的 是菱形．因此，菱形存在性问题可转化为 存在性加 存
在性问题．
如点C是直线l上一点，在平面内找一点D使得以点A、B、C、D为顶点的四边形为菱形．
第一步，由“两圆一线”，先在直线l找到点C使得△ABC为等腰三角形，这样，就相当于找到了菱
形的一半，满足情况的点C有 个；
第二步，由“平移法”或“中点法”找到点D使得以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边
形，这样作出的平行四边形就是菱形．
在具体的求解过程中，点C坐标可以由等腰三角形存在性问题的“代数法”求得；
点D坐标继而可以由平行四边形存在性问题的“平移坐标公式法”或“中点坐标公式法”求得．
例题1
如图，在平面直角坐标系
中，直线
与轴、轴分别相交于点
和点
，点
在轴的正
半轴上，且
．
2
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
求线段
的长度．
如果点
在直线
上，
是坐标平面内一点，且以
、
、
、
为顶点的四边形为菱形，请
直接写出点
的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
或
或
或
．
∵直线
与轴、轴分别相交于点
和点
，
∴点
，点
．
∴
．
∵
，∴
，点
，
∴
的长度是．
根据题意，当以
、
、
、
为顶点的四边形为菱形时，
如图：
①
为对角线，则
在
的垂直平分线上，解得
，
3
【标注】
②
，解得
，
③
，解得
，
④
，解得
，
综上
点坐标为：
或
或
或
．
【知识点】一次函数与几何综合
练习1
【解析】
【标注】
如图，直线
：
，其中
，
为直线与轴的交点．若点
为轴上一点，在坐
标平面内是否存在点
，使以
，
，
，
为顶点的四边形是菱形？若存在， 请直接写出点
的坐
标；若不存在，请说明理由．
【答案】存在；
，
，
，
．
存在； 点
的坐标为：
，
，
，
．
【知识点】一次函数与平行四边形
例题2
4
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，在平面直角坐标系中，直线
与轴、轴分别交于点
、
，直线
与轴交于点
，与直线
交于点
．
求直线
的解析式．
设
是射线
上一点，在平面内是否存在点
，使以
、
、
、
为顶点的四边形是菱形？
若存在，请直接写出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
，
或
．
∵点
在直线
上，
∴
解得
，
∴点
的坐标为
，
设直线
的解析式为
，
∴
，
解得：
，
∴直线
的解析式为
．
①当
为对角线时，点
，
都在
的垂直平分线上，且点
和点
关于
对称，
，
，
点
的纵坐标为，
，
；
②当
为边时，
，
或
，
时，
，
，
时，
，
，
综上，点
的坐标为
，
或
．
【知识点】一次函数与平行四边形
5
练习2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，直线：
分别与轴、轴交于
、
两点，与直线：
交于点
．
备用图
求
点坐标及，的值．
在直线
上有一点
，过点
作轴的平行线交直线于点
，连接
，设点
的横坐标为
，当
为何值时，以
、
、
、
为顶点的四边形是平行四边形．
若点
为轴上一点，在坐标系中是否存在一点
，使得
、
、
、
四个点能构成一个菱
形．若存在，求出所有符合条件的
点坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
，
．
当
或
时，以
、
、
、
为顶点的四边形是平行四边形．
，
，
或
．
∵
在
和
上，
∴
．
∴
．
∴：
，：
，
令
得
．
∴
．
设
，则
．
∴
．
∵点
是
与轴交点，
∴
．
∴
．
∴
或
．
6
（3 ）
∴当
或
时，以
、
、
、
为顶点的四边形是平行四边形．
①当
时，（如图），
图
设
，则
，
∴
，得
．
∴
．
∴
．
②当
时，
图
∵
，
，
∴点
、
关于轴对称．
∵
，
∴
．
③当
时，（如图，图），
图
7
【标注】
图
∵
，
，
∴
．
∴
．
∴
或
．
综上，
，
，
或
．
【知识点】一次函数与平行四边形
三、出门测
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1. 如图，已知一次函数
的图象分别交轴、轴于
、
两点，点
从点
出发沿
方向
以每秒
单位长度的速度向点
匀速运动，同时点
从点
出发沿
方向以每秒个单位长度向点
匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为秒，过点
作
轴，
连接
、
．
备用图
点
的坐标为 ．点
的坐标为 ．
．
四边形
能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由．
若点
，点
在轴上，直线
上是否存在点
，使以
、
、
、
为顶点的四边形
是平行四边形？若存在，请直接写出
点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
;
能，当
时，
为菱形．
存在，
，
，
．
8
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
∵
解析式：
，
∴
，
，
．
∵
，
，
轴，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴四边形
为平行四边形，
∴当四边形
为菱形时，
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴当
时，
为菱形．
∵
在直线
上，
∴设
，
∵
，
，
，
∴①当以
为对角线时，
，
∵
在轴上，
∴
，
∴
，
∴
，
②当以
为对角线时，
，
∵
在轴上，
∴
，
∴
，
∴
，
9
【标注】
③当以
为对角线时，
，
∵
在轴上，
∴
，
∴
，
∴
，
∴综上所述
，
，
．
【知识点】一次函数与平行四边形
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
【解析】
如图，在平面直角坐标系中，点
为坐标原点，直线分别交轴、轴于
、
两点，
，
．
求直线的表达式．
点
是轴上的点，点
是第一象限内的点．若以
、
、
、
为顶点的四边形是菱形，请直
接写出
点的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
或
．
∵
，
，
∴根据勾股定理，得
，
．
∵点
、
在轴、轴上，
∴
，
．
设直线表达式为
（
）．
∵直线过点
，点
．
∴
，
解得
．
10
（2 ）
【标注】
∴直线的表达式为
．
当
在
的下边时，
是菱形的对角线，
的中点
坐标是
，
设过
点，与直线
垂直的直线的解析式是
，则
．
解得
．
则
的坐标是
．
设
的坐标是
，则
，
．
解得
，
．
则
点的坐标是
．
当
在
点的上方时，
，
，
，则
点的坐标是
．
综上，
点的坐标是
或
．
【知识点】一次函数与平行四边形
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于
、
两点，点
的坐标为
，
，过点
的直线
与轴交于点
．
求直线的解析式及点
的坐标．
点
是轴上的点，在坐标平面内是否存在点
，使以
、
、
、
为顶点的四边形是菱形？
若存在，请直接写出
点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
，
．
存在，
，
，
，
．
，
．
①以
为对角线时，
，
，
11
【标注】
②以
为边时，
，
；
，
；
，
；
综上所述，存在点
，使以
、
、
、
为顶点的四边形是菱形，
，
，
，
．
【知识点】一次函数与平行四边形
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
【解析】
如图，在平面直角坐标系中，直线
分别与轴、轴交于点
、
，且与直线
交于点
．
若
是线段
上的点，且
的面积为
，求直线
的函数表达式．
在（）的条件下，设
是射线
上的点，在平面内是否存在点
，使以
、
、
、
为顶
点的四边形是菱形？若存在，直接写出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
存在，点
的坐标为
或
或
．
设
，
∵
且
，
12
（2 ）
【标注】
∴
，
∴
，
∴
，
令
直线解析式为
，
把
，
代入得：
，
∴
．
∴
．
①当四边形
为菱形时，
∵
得四边形
为正方形．
∴
，
即
，
②当四边形
为菱形时，
∵
得
，
代入
得
，
∴
，
③当四边形
为菱形时，
∴
，
∴
，
综上得点
的坐标为
或
或
．
【知识点】一次函数与动点问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5. 如图，直线
与轴交于点
，与轴交于点
，点
是轴上的一个动点．
求
、
两点的坐标．
当点
在轴正半轴，且
的面积为时，求直线
的解析式．
点
在第二象限，是否存在以
、
、
、
为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点
的坐标，若不存在，请说明理由．
13
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
．
直线
的解析式为
．
点
的坐标为
或
．
令
时，
，
∴
，
令
时，
，
∴
，
∴
．
设点
（
），
∵
，
∴
，
∵
的面积为，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴设直线
的解析式为
，
∴
，
∴
，
∴直线
的解析式为
．
如图，
∵以
、
、
、
为顶点的四边形是菱形，且
在轴上，
∴
，
∴点
在直线
上，
由（1）知，
，
，
∴
，
∵点
在第二象限内，
∴①当
为菱形的边时，
∴
，
∴
，
②当
为菱形的对角线时，
，
互相垂直平分，
∵直线
的解析式为
，
14
【标注】
∴直线
的解析式为
，
当
时，则
，
∴
，
∴
，
∴满足条件的点
的坐标为
或
．
【知识点】一次函数与平行四边形
