一次函数与全等三角形题集B4(教师版)_《初中数学四维三难教材同步刷题集(2025人教版)》_第19章一次函数_3.专题突破

1
一次函数与全等三角形【题集B4】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在平面直角坐标系中，
，
，且、满足
．
求直线
的解析式 ．
若点
为直线
上一点，且
是以
为底的等腰直角三角形，求
值．
过
点的直线
交轴于负半轴于
，
点的横坐标为
，过
点的直线
交
于点
，试证明
的值为定值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
 
证明见解析．
易证阴影部分三角形全等，得到
故而
．
2
（3 ）过
点做直线垂直于轴，交
于
点，
另直线
与坐标轴交点分别为
、（如图
所示），连接
并做
轴于
，
易知
、
两点横坐标分别为
和，将其
分别代入
、
的解析式中，求得两点坐
标为
，
易证
≌
，
∴ 
易求
，
∴
轴
易证
≌
，
∴
∴
．
3
【标注】【知识点】一次函数与等腰直角三角形
图
（1 ）
图
1
2
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
【解析】
在平面直角坐标系中，直线
交轴，轴分别于点
，点
，将
绕坐标原点逆时
针旋转
得到
，直线
交直线
于点
，如图：
求：直线
的函数关系式．
如图，连接
，过点
作
交直线
于点
，如图：
求证：
；
求：点
的坐标．
若点
是直线
上一点，点
是轴上一点(点
不与点
重合)，当
和
全等
时，直接写出点
的坐标．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
（3 ）
．
证明见解析．
．
或
或
．
∵直线
交轴，轴分别于点
，点
，
∴
，
，
∴
，
，
∵
绕坐标原点逆时针旋转
得到
，
4
1
2
（2 ）
∴
≌
，
∴
，
，
∴
，
，
设直线
的解析式为
，
∴
，
∴
，
∴直线
的解析式为
．
由( )知，
≌
，
∴
，
，
∵
，
，
∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∵
∴
是等腰直角三角形，
∴
如图，
图
∵直线
的解析式为
①，
由( )知，直线
的解析式为
②；
联立①②得，
，
过点
作
．过点
作
，
由①知，
≌
，
∴
，
，
5
（3 ）
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
．
如图，
图
①
，
∵
≌
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
作
轴，则
，
，
∴
，
∴点
坐标 
，
②
，
∵
≌
，(
)，
∴
，
，
∴点
坐标
，
③
，
∵
≌
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
∴点
坐标 
；
6
【标注】
即：
和
全等时，点
的坐标为
或
或
．
【知识点】一次函数与全等三角形结合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
【解析】
在平面直角坐标系
中，直线
与轴交于点
，与轴交于点
．
求
的度数．
如图，
为线段
上一点，在
上方以
为斜边作等腰直角三角形
．点
在
上，连结
，过
作射线
交轴于点
，作
轴于点
．求证：
．
如图，
为线段
上一点，在
上方以
为斜边作等腰直角三角形
．若
为线段
的中点，连接
、
，猜想线段
、
有怎样的关系？并说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
证明见解析．
，
．
直线
与轴交于点
，与轴交于点
．
 ∴
，
．
∴
．
∴
在
中，
．
7
（2 ）
（3 ）
∴
．
在等腰直角三角形
中，
，
，
．
∴
于
．
由（）可得
．
∴
．
又∵
轴于
，
∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
即
．
又∵
，
∴
．
∴
．
在
和
中，
∴
≌
．
∴
．
延长
至
，使得
，
8
【标注】
∵
为
的中点，
∴
．
在
≌
中，
∴
≌
．
∴
．
∴
．
∴
．
在等腰直角三角形
中，
，
．
∴
，
．
∴
轴，
轴，
轴．
∴
．
由（）可得
．
在
和
中，
∴
≌
（
）．
∴
，
．
∵
，
∴
．
∴在等腰直角三角形
中，
∵
，
∴
，
.
∴
．
∴
．
【知识点】一次函数与全等三角形结合
9
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在平面直角坐标系中，直线
交轴于点
，交轴于点
，
是
的中点．
求直线
的解析式． 
为
上一点，且
，连接
、
，求
的值．
为轴上一点，且
到直线
的距离等于线段
的长，求点
的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
直线
的解析式为
．
．
点坐标为
或
．
直线
交轴于点
，交轴于点
．
∵令
，
，
∴
．
令
，
．
∴
∵
为
的中点，
∴
．
设直线
的解析式为
，代入
，
得：
解得
∴直线
的解析式为
．
在
上截取
，连接
．
在
和
中，
10
（3 ）
∴
≌
∴
，
，
．
由（）知，
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
在
和
中，
∴
≌
，
∴
，
∴
，
∴
．
当点
在轴上
点右侧时，由
于点
，且
．
过点
作
轴于点
．
∴
．
∵
，
∴
．
在
和
中，
∴
≌
，
∴
，
．
设
，代入直线
的解析式
得:
∴
∴
，
∴
，
11
【标注】
同理，当点
在轴上
点左侧是，有
于点
且
．
∴
≌
，
∴
，
∵
，
∴
．
综上所述
点坐标为
或
．
【知识点】一次函数与全等三角形结合