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一次函数章节复习：点圆类新定义【题集C2】
1
2
（1 ）
（2 ）
1.
1
（1 ）
【解析】
在平面直角坐标系
中，⊙
的半径为，
是与圆心
不重合的点，点
关于⊙
的限距点的定义
如下：若
为直线
与⊙
的一个交点，满足
，则称
为点
关于⊙
的限距点，
右图为点
及其关于⊙
的限距点
的示意图．
当⊙
的半径为时．
分别判断点
，
，
关于⊙
的限距点是否存在？若存在，
求其坐标．
点
的坐标为
，
，
分别切⊙
于点
，点
，点
在
的边上．若
点
关于⊙
的限距点
存在，求点
的横坐标的取值范围．
保持（）中
，
，
三点不变，点
在
的边上沿
的方向运动，
⊙
的圆心
的坐标为
，半径为．请从下面两个问题中任选一个作答．
温馨提示：答对问题得分，答对问题得分，两题均答不重复计分．
问题
问题
若点
关于⊙
的限距点
存在，且
随点
的运动所形成的路径长为
，则的最小值
为__________．
若点
关于⊙
的限距点
不存在，则的取值
范围为________．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
点
，点关于⊙
的限距点不存在；
点
关于⊙
的限距点存在，坐标为
．
或
．
问题：
．
问题：
．
点
，点关于⊙
的限距点不存在；
2
2
（2 ）
点
关于⊙
的限距点存在，坐标为
．
∵点
的坐标为
，⊙
半径为，
，
分别切⊙
于点
，点
，
∴切点坐标为
，
．
如图所示，不妨设点
的坐标为
，点
的坐标为
，
，
的延长线分别交⊙
于点
，
，则
，
．
设点
关于⊙
的限距点的横坐标为．
Ⅰ．当点在线段
上时，直线
与⊙
的交
点
满足
，
故点
关于⊙
的限距点存在，其横坐标满足
．
Ⅱ．当点
在线段
，
（不包括端点）上时，直线
与⊙
的交点
满足
或
，
故点
关于⊙
的限距点不存在．
Ⅲ．当点
与点
重合时，直线
与⊙
的交点
满足
，
故点
关于⊙
的限距点存在，其横坐标
．
综上所述，点
关于⊙
的限距点的横坐标的范围为
或
．
问题：
．
∵⊙
的圆心的坐标为
，半径为，
点
关于⊙
的限距点
存在，且
随
的运动所形成的
路径长为
，
∴
所形成的路径是个半圆．
又∵
为等边三角形，点
为
的中心点，
∴
占半圆的
，即
，
由等边三角形的对称性可知，
．
在
中，
，
，
，
∴
，
，
∴
，
．
问题：
．
为等边三角形，且点
为
的中心点，点
到
三边的距离为
，
3
【标注】
点
关于⊙
的限距点
不存在，
则
，
即
．
解题关键：若点
关于⊙
的限距点存在，则
点位于阴
影
、部分或三个圆上：
【知识点】与圆有关的新定义
1
2
（1 ）
（2 ）
2. 在平面直角坐标系
中，
、
为不重合的两点，连结
、
，并以
为直径作圆，则称该圆为
点
、
的“相关圆”，下图为点
、
的“相关圆”的示意图．
已知点
的坐标为
．
若点
的坐标为
，求点
、
的“相关圆”的面积．
点
在直线
上，若点
、
的“相关圆”在轴上截得的线段长是该圆直径的一
半，求直径
的表达式．
点
的坐标为
，⊙
的半径为，点
为轴上的动点，若在⊙
上存在一点
，使得点
、
的“相关圆”在轴上截得的线段长是该圆直径的一半，求动点
横坐标的取值范
围．
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1
2
（1 ）
（2 ）
【解析】
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
．
或
．
或
．
∵点
坐标
，点
，
∴
，
∴点
、
的“相关圆”的半径是：
，
∴点
、
的“相关圆”的面积是：
．
设直线
与轴的交点为
，
∴点
，
取
中点
，连接
，
∴
，
∴点
、
、
三点共圆，
∵点
、
的“相关圆”在轴上截得的线段长是该圆直
径的一半，
∴
，
∴
，
∵点
，点
，
∴
（舍负）
∴点
或
，
设过
两点的直线解析式为：
，
∴
或
，
∴
或
，
∴直线
的表达式是：
或
．
由（）②知点
，
，
∴
，
∴
，
∴满足点
、
的“相关圆”在轴上截得的线段长是该圆直径的一半的条件下，
直线
与轴的夹角为
，
∴点
、
的“相关圆”在轴上截得的线段段长是该圆直径的一半时，
直线
与轴的夹角也为
，
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【标注】
∵点
在轴上，存在一，
在⊙
上，
∴当直线
与⊙
相切时为临界位置，
即，，，，
∵
，
，
∴
，
∵⊙
的半径为，连结
，点
，
∴
，
，
，
∴
，
∴点
，
由对称性得点
，
由
得
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴点
，
由对称性得点
，
∴
或
．
【知识点】与圆有关的新定义
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3. 已知点
、
为平面直角坐标系
中不重合的两点，以点
为圆心且经过点
作⊙
，则称点
为
⊙
的“关联点”，⊙
为点
的“关联圆”．
已知⊙
的半径为，在点
，
，
中，⊙
的“关联点”
为 ．
若点
，点
，⊙
为点
的“关联圆”，且⊙
的半径为
，求的值．
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（1 ）
图
（2 ）
图（）
（3 ）
【解析】
已知点
，点
，⊙
是点
的“关联圆”，直线
与轴、轴分别
交于点
、
．若线段
上存在⊙
的“关联点”，求
的取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
、
的值为或
．
或
．
∵
，
，
，⊙
的半径为，
∴ ⊙
经过点
，
．
故⊙
的“关联点”为
，
．
如图，过点
作
轴于
，
∵
，
，
，
∴由勾股定理得，
，
即
解得，
或
．
即的值为或
．
由
，知
，
，
∴
，
①如图
，当⊙
与线段
相切于点时，连接
，
则
，
，
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
②如图
， 当⊙
过点
时，连接
，
由勾股定理得
，
7
图（）
【标注】
∴
，
综合①②可得：
或
．
【知识点】点与圆的位置关系
