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1
二次函数与实际问题【题集B】
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为
，宽为
，抛物线的最高点
离地面
的距离为
．
x
y
O
按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式．
一大型汽车装载某大型设备后，高为
，宽为
，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆
货车能否安全通过．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
这辆货车能安全通过．
根据题意得
，
设抛物线的解析式为
，把
代入
解得：
．
抛物线的解析式为
．
根据题意，把
代入解析式，
得
．
，
这辆货车能安全通过．
【知识点】二次函数的通行问题
（1 ）
（2 ）
2. 某商场购进一批单价为
元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高价
格．经调查发现，若按每件
元的价格销售时，每月能卖出
件，在此基础上，若涨价元，则每
月销售量将减少
件，若每月销售量（件）与价格（元/件）满足关系式
．
求，的值．
问日用品单价应定为多少元？该商场每月获得利润最大，最大利润是多少．
2
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
．
当单价定为
元时，获得的利润最大，最大的利润为
元．
由题意可知：
，
解得：
．
由（）可知：与的函数关系应该是
，
设商场每月获得的利润为
，由题意可得：
．
∵
，
∴当
时，利润最大，
，
答：当单价定为
元时，获得的利润最大，最大的利润为
元．
【知识点】二次函数的利润问题
最大值
米
米
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端
处弹跳到人梯顶端椅子
处，其身体（看成一点）的路线
是抛物线
的一部分，如图所示．
求演员弹跳离地面的最大高度．
已知人梯高
米，在一次表演中，人梯到起跳点
的水平距离是米，问这次表演是
否成功？请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
米．
能成功表演．
，
当
时，函数的最大值是
，
答：演员弹跳的最大高度是
米．
当
时，
3
【标注】
∴
点在抛物线
上
因此，能表演成功．
【知识点】二次函数的轨迹问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
水果店张阿姨以每斤元价格购进某种水果若干斤，然后以每斤元的价格出售，每天可售出
斤．
通过调查发现，这种水果每斤的售价降低
元，每天可多售出
斤．为了保证每天至少售出
斤，张阿姨决定降价销售．
若将这种水果每斤的售价降低元，则每天的销售量是 斤（用含的代数式表示）．
销售这种水果要想每天盈利
元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
当每斤的售价定为多少元时，每天获利最大？最大值为多少？
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
张阿姨需将每斤的售价降低元．
当每斤的售价定为
元时，每天获利最大，最大值为
元．
将这种水果每斤的售价降低元，则每天的销售量是
（斤）．
故答案为：
．
根据题意得：
，
解得：
或
，
当
时，销售量是
；
当
时，销售量是
（斤）．
∵每天至少售出
斤，
∴
．
答：张阿姨需将每斤的售价降低元．
设每斤的售价降低元，每天获利为元，
根据题意得：
，
当
时，
，
∴当
时，最大值为
元，
（元）．
答：当每斤的售价定为
元时，每天获利最大，最大值为
元．
4
【标注】【知识点】二次函数的利润问题
（1 ）
（2 ）
5.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
某商品现在的售价为每件
元，每月可卖出
件，经市场调查发现：每件商品涨价元，每月少卖
出
件，已知商品的进价为每件
元．
设每件这种商品涨价元，商场销售这种商品每月盈利元，求出与之间的函数关系式．
这种商品每件涨多少元时才能使每月利润最大，最大利润为多少．
【答案】（1 ）
（2 ）
（
）．
这种商品每件涨元时才能使每月利润最大，最大利润为
元．
根据题意可得：
，
∵
，
∴
．
∵
，
∴当
时，
，
答：这种商品每件涨元时才能使每月利润最大，最大利润为
元．
【知识点】二次函数的利润问题
最大
（1 ）
（2 ）
6.
（1 ）
【解析】
某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为
元/千克，如果售价为
元/千克，那么每天可售出
千克，
如果售价为
元/千克，那么每天可售出
千克，经调查发现：每天的销售量 （千克）与售价
(元/千克)之间存在一次函数关系．
求与之间的函数关系式．
若樱桃的售价不得高于
元/千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最
大？最大利润是多少元？
【答案】（1 ）
（2 ）
．
当售价为
元时每天最大利为
元．
设
把
，
；
，
代入可得
解得
．
5
（2 ）
【标注】
设每天获利
元，则
，开口向下，∵对称轴为直线
，
时，
随的增大而增大，
当
时，
（元）．
【知识点】二次函数的利润问题
（1 ）
（2 ）
7.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时永面宽
，当水位上升
时，水面宽
．
按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式．
有一条船以
的速度向此桥驶来，当船距离此桥
时，桥下水位正好在
处之后水
位每小时上涨
，当水位达到
处时，将禁止船只通行．如果该船按原来的速度行驶，
那么它能否安全通过此桥?
【答案】（1 ）
（2 ）
．
能安全通过．
设解析式为
，拱桥最高点
到水面
的距离为米，
则
，
，
∴
，解得
，
∴
．
由题意得船行驶到桥下的时间为
，
水位上升的高度为
，
∵
，
∴船的速度不变，它能安全通过此桥．
6
【标注】【知识点】二次函数的通行问题
8.
【解析】
【标注】
教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度
与水平距离
之间的关系为
，由此可知铅球推出的距离是
．
【答案】
令函数
中，
，
即
，
解得
，
（舍去），
即铅球推出的距离是
．
故答案为：
．
【知识点】二次函数的轨迹问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
9.
（1 ）
【解析】
由于雾霾天气对人们健康的影响，市场上的空气净化器成了热销产品．某公司经销一种空气净化
器，每台净化器的成本价为
元．经过一段时间的销售发现，每月的销售量（台）与销售单价
（元）的关系为
．
该公司每月的利润为元，写出利润与销售单价的函数关系式．
若要使每月的利润为
元，销售单价应定为多少元？
公司要求销售单价不低于
元，也不高于
元，求该公司每月的最高利润和最低利润分别
为多少？
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
或
．
最高利润为
元，最低利润为
元．
由题意得
．
7
（2 ）
（3 ）
【标注】
令
解得：
或
，
故要使每月的利润为
元，销售单价应定为
或
元．
，
当
时，
．
故最高利润为
元，最低利润为
元．
【知识点】二次函数的利润问题
10.
【解析】
【标注】
如图，小明在校运动会上掷铅球时，铅球的运动路线是抛物线
．铅球落在
点处，则
长
米．
【答案】
由题意，得
当
时，
，
解得：
（舍去），
．
故答案为：．
【知识点】二次函数的轨迹问题
（1 ）
11. 某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽
，涵洞顶点
到水面的距离为
．
求出涵洞所在抛物线的函数表达式．
8
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
当水面宽
米时，水面上升多少米．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
水面上升
米．
由题意得，
设函数关系式为
，
点坐标应该为
，
那么
，
解得
，
∴函数表达式为
．
当
时，
，
则
，
答：水面上升
米．
【知识点】二次函数的通行问题
12.
【解析】
【标注】
长方形的周长为
，其中一边长为
（其中
），面积为
，则这样的长方形中与
的关系可以写为 ．
【答案】
长方形的一边是
，则另一边长是
．
则
．
故答案是：
．
【知识点】二次函数的几何问题
（1 ）
（2 ）
13. 成都市某学校计划建一个长方形种植园，如图所示，种植园的一边靠墙，另三边用周长为
的篱
笆围成，已知墙长为
，设这个种植园垂直于墙的一边长为（
），种植园面积为（
）．
求与之间的函数关系式．
9
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
根据实际需要，要求这个种植园的面积不小于
，求的取值范围，并求这个种植园的面
积的最大值．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
，
．
根据题意得：
．
由题意得：
，
解得：
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴当
时，这个种植园的面积的最大值，最大面积为
．
【知识点】二次函数的几何问题
（1 ）
（2 ）
14.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
某体育品商店在销售中发现：某种体育器材平均每天可售出
件，每件可获利
元；若售价减少
元，平均每天就可多售出件．
若想平均每天销售这种器材盈利
元，那么每件器材应降价多少元？
若想获利最大，应降价多少？
【答案】（1 ）
（2 ）
若想盈利
元，每件器材降价
元或
元均可．
当降价
元时，最大获利为
元．
若想盈利
元，每件器材应降价元，则有
可解得
，
则若想盈利
元，每件器材降价
元或
元均可．
设降价元时，盈利为元，则
解析式可变形为
，且
由此可知，当降价
元时，最大获利为
元．
【知识点】二次函数的利润问题
15. 某宾馆有
个房间供游客居住，当每个房间定价
元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定
价每增加
元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾需对每个居住房间每天支出
元的
10
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
各种费用，设每个房间定价增加
元（为整数）．
直接写出每天游客居住的房间数量与的函数关系式．
设宾馆每天的利润为元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是
多少元？
【答案】（1 ）
（2 ）
（
，且为整数）．
定价为
元，利润取得最大值为
．
（
，且为整数）．
设利润为，
，
∴当
，即定价为
元时，取得最大值
．
答：定价为
元时，利润取得最大值
．
【知识点】二次函数的利润问题
16.
【解析】
图中是抛物线形拱桥，当水面宽为米时，拱顶距离水面米；当水面高度下降米时，水面宽度为
多少米？
【答案】当水面高度下降米时，水面宽度为
米．
如图所示，建立平面直角坐标系．
设二次函数的解析式为
．
∵图象经过点
，
∴
，
∴
．
∴
．
当
时，
．
11
【标注】
答：当水面高度下降米时，水面宽度为
米．
【知识点】二次函数的通行问题
（1 ）
（2 ）
17.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
某超市服装专柜在销售中发现：某男装上衣的进价为每件
元，当售价为每件
元时，每周可卖出
件，现需降价处理，经过市场调查，发现每降价元，每周可多卖出
件．
为占有更大的市场份额，当降价为多少元时，每周盈利为
元．
当降价为多少元时，每周盈利额最大？最大盈利多少元．
【答案】（1 ）
（2 ）
当降价为元时，每周盈利为
元．
当降价为元时，每周盈利额最大，最大盈利
元．
解：设降价为元，每周盈利
元，
根据题意，可得：
，
整理，得：
，
解得：
，
，
∵要占有更大的市场份额，即销量尽可能的大，
∴
，
∴当降价为元时，每周盈利为
元．
解：设降价为元，每周盈利为元，
则
，
∴当
时，取得最大值，最大值为
，
∴当降价为元时，每周盈利额最大，最大盈利
元．
【知识点】二次函数的利润问题
（1 ）
（2 ）
18. 某超市销售一种商品，成本每千克
元，规定每千克售价不低于成本，且不高于
元，经市场调
查，每天的销售量（千克）与每千克售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价（元/千克）
销售量（千克）
求与之间的函数表达式．
设商品每天的总利润为
（元），则当售价定为多少元时，厂商每天能获得最大利润？最大
利润是多少．
12
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
如果超市要获得每天不低于
元的利润，且符合超市自己的规定，那么该商品每千克售价
的取值范围是多少？请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（
）．
售价为
元时获得最大利润，最大利润是
元．
该商品每千克售价的取值范围是
．
设
，
将
、
代入，得：
，
解得：
，
∴
（
）．
，
∴当
时，
取得最大值为
，
答：售价为
元时获得最大利润，最大利润是
元．
当
时，得：
，
解得：
或
，
∵该抛物线的开口向下，
所以当
时，
，
又∵每千克售价不低于成本，且不高于
元，即
，
∴该商品每千克售价的取值范围是
．
【知识点】二次函数的利润问题
19.
【解析】
某果园有
棵橘子树，平均每一棵树结
个橘子．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就
会少结个橘子．设果园增种棵橘子树，果园橘子总个数为个，则果园里增种 棵橘子树，
橘子总个数最多．
【答案】
假设果园增种棵橘子树，那么果园共有
棵橘子树，
∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结个橘子，
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【标注】
∴这时平均每棵树就会少结
个橘子，
则平均每棵树结
个橘子，
∵果园橘子的总产量为，
∴则
，
，
∴当
（棵）时，橘子总个数最多．
【知识点】二次函数的其他实际问题
