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二次函数章节复习：新定义【题集C6】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（5 ）
（6 ）
1.
（1 ）
【解析】
对于二次函数
和一次函数
，把
称为这两个函数的“再生二次函数”，其中是不为零的实
数，其图象记作抛物线
，现有点
和抛物线
上的点
，请完成下列任务．
当
时，抛物线
的顶点坐标为 ．
判断点
是否在抛物线
上．
求的值．
通过
和
的演算可知，对于取任何不为零的实数，抛物线
总过定点，坐标为 ．
二次函数
是二次函数
和一次函数
的一个
“再生二次函数”吗？如果是，求出的值；如果不是，说明理由．
以
为边作矩形
，使得其中一个顶点落在轴上；若抛物线
经过
，
，
，
其中
的三点，求出所有符合条件的的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（5 ）
（6 ）
答案见解析
答案见解析
和
答案见解析
的值为
或
或
或
．
当
时，
抛物线
2
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（5 ）
（6 ）
，
顶点坐标
．
故答案为
．
时，
，
点
在抛物线
上．
将
代入
，
得
，
的值为．
通过
和
的演算可知，对于取任何不为零的实数，抛物线
总过定点，坐标为
和
．
故答案为
和
．
不是．
将
代入
，得到
，
二次函数
的图象不经过点
，
二次函数
不是二次函数
和一次函数
的
一个“再生二次函数”．
如图，作矩形
和矩形
，过点
作
轴于
，过点
作
轴于
，过点
作
轴于
，过点
作
轴于
，
与
交于点．
，
3
【标注】
由
，得
，即
，解得
，
，
由
≌
，得到
，
，
由
，得到
，可得
，
，
由
≌
，得到
，
，
抛物线总是经过
、
，
符合条件的三点只可能是
、
、
或
、
、
．
①当抛物线经过
、
、
时，将
代入
，得到
，
②当抛物线经过
、
、
时，将
代入
，得到
，
③当抛物线经过
、
、
时，将
代入
，得到
④当抛物线经过
、
、
时，将
代入
，得到
，
综上所述，满足条件的的值为
或
或
或
．
【知识点】与函数有关的新定义
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2. 若一次函数
的图象经过二次函数
的顶点，我们则称这两个函数为“丘
比特函数组”．
请判断一次函数
和二次函数
是否为“丘比特函数组”，并说明
理由．
若一次函数
和二次函数
为“丘比特函数组”，已知二次函数
顶点在二次函数
图象上并且二次函数
经过一次函数
与轴的交点，求二次函数
的解析式．
当
时，二次函数
的最小值为，若“丘比特函数组”中的一次
函数
和二次函数
（，为参数）相交于
，
两点，请问
的
长度为定值吗？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
不是，证明见解析．
或
．
是定值，定值为
．
，顶点
不满足
，
∴不是“丘比特函数组”．
设：二次函数的顶点为：
，
将顶点坐标代入二次函数
得：
，
解得：
或
，
当
时，函数顶点为
，一次函数
与轴的交点为：
，
则二次函数表达式为：
，
即：
，解得：
故：抛物线的表达式为：
；
同理当
时，抛物线的表达式为：
，
综上，抛物线的表达式为：
或
．
当
时，
的最小值为
，
∴
．
又∵
与
交于
，
两点，
，
，①
顶点坐标
，
∴
，②
又∵
．
∴
的长度为定值，定值为
．
【知识点】与函数有关的新定义
3.
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
若二次函数
的图象记为
，其顶点为
，二次函数
的图象
记为
，其顶点为
，且满足点
在
上，点
在
上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函
数”．
一个二次函数的“伴侣二次函数”有 个．
①求二次函数
与轴的交点．
②求以上述交点为顶点的二次函数
的“伴侣二次函数”．
试探究
与
满足的数量关系．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
无数．
①
，
．
②
．
．
当
时，
；当
时，
，
为任意不为零的实数．
根据题意可知有无数个伴侣二次函数．
∵
，
∴顶点坐标为
，
设以
为顶点且经过
的抛物线的函数关系式为
，
将
，
代入
得
，
∴二次函数
的一个“伴侣二次函数”为
，
同理可求以
为顶点且经过
的抛物线的函数关系式，
即二次函数
的另一个“伴侣二次函数”为
．
设
，
其顶点为
，
，其顶点为
，
根据“伴侣二次函数”定义可得
，
∴
，
当
时，
；当
时，
，
为任意不为零的实数．
【知识点】与函数有关的新定义
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