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【二项展开式与杨辉三角】【选讲】题集【A】
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
【标注】
计算：
（ ）．
【答案】D
【知识点】和与差的立方公式
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
2.
【解析】
【标注】
( )
( )
．
【答案】B
，故选．
【知识点】和与差的立方公式
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（5 ）
（6 ）
3. 请把下列式子展开：
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（5 ）
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（5 ）
（6 ）
【解析】
【标注】
（6 ）
【知识点】高次方公式
4.
【解析】
【标注】
计算：
的值．
【答案】
根据二项式定理展开即可，
，
故答案为：
．
【知识点】高次方公式
5.
【解析】
【标注】
．
【答案】
略.
【知识点】高次方公式
（1 ）
（2 ）
6.
（1 ）
【解析】
计算．
．
．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
3
（2 ）
【标注】
．
．
【知识点】高次方公式
（1 ）
（2 ）
7.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
运用公式计算 .
．
．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
原式
．
原式
．
【知识点】和与差的立方公式
8.
【解析】
下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如
（为正整数）展开式的系
数，请你仔细观察下表中的规律，填出
展开式中所缺的系数．
则
．
【答案】
可以发现：
的各项展开式的系数除首尾两项都是外，其余各项系数都等于
的相邻两个系数的和，
∴
的各项系数依次为、、、、；
的各项系数依次为、、
、
、、；
∴
的系数分别为、、
、
、
、、．
4
【标注】
故本题答案为：
．
【知识点】高次方公式
9.
【解析】
【标注】
设
，则
．
【答案】
，
当
时，
．
【知识点】高次方公式
10.
【解析】
【标注】
我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．
此图揭示了
（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．
？
（
）（
）
请仔细观察，填出
的展开式中所缺的系数：
．
【答案】 ;
．
【知识点】数列找规律-三角形数及衍生数列
11. 我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”(如图)，此图揭示了
( 为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：
，它只有一项，系数为；
，它有两项，系数分别为，，系数和为；
，它有三项，系数分别为，，，系数和为；
，它有四项，系数分别为，，，，系数和为；
……
根据以上规律，解答下列问题：
5
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
展开式共有 项，系数分别为 ．
展开式共有 项，系数和为 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
; , , , ,
;
根据题意知，
的展开后，共有项，各项系数分别为、
、
、
、．
即：、、、、．
故答案为：，、、、、．
当
时，
．故答案为：
，
．
【知识点】算式找规律
（1 ）
（2 ）
（3 ）
12. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图所示）就是一例
这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是，其余每个数均为其上方（左右）两数之和，事实上，
这个三角形给出了
（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规
律，例如，在三角形中第三行的三个数，，，恰好对应
展开式中各项
的系数；第四行的四个数，，，，恰好对应着
展开式中各项
的系数等等
根据上面的规律，
展开式的各项系数中最大的数为 ．
直接写出
的
值．
若
，求
的值．
6
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
由题意可知
展开式的各项系数，，，，．
．
令
得
，
令
得
，
∴
．
【知识点】数列找规律-其他数列规律
【能力】分析和解决问题能力
【能力】运算能力
【思想】类比思想
