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第十七章 因式分解
知识点一 因式分解的概念
1. 定义
把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫分解因式）。
2. 核心判定要点（区分整式乘法与因式分解）
左边：必须是_______________（多个单项式相加/相减）；
右边：若干个整式___________（整式包含单项式、多项式，不能出现分式、分母含字母）；
变形关系：因式分解 ↔ 整式乘法（二者互为逆运算）
例：整式乘法：𝑥(𝑥+ 2) = 𝑥2 + 2𝑥
因式分解：𝑥2 + 2𝑥= 𝑥(𝑥+ 2)
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3. 分解终极要求
分解要彻底：结果中每一个因式都不能再继续分解为止（有理数范围内）。
知识点二 因式分解的基本方法
方法1：提公因式法（最基础首选方法）
1. 公因式确定三要素：系数取各项系数___________；相同字母取最_____次幂；整体相同多项式视作
整体字母
2. 公式：𝑚𝑎+ 𝑚𝑏+ 𝑚𝑐= _________________________
3. 注意：首项为负时，统一提取__________，括号内各项__________
方法2：公式法（套用乘法公式逆变形）
1. 平方差公式：𝑎2 −𝑏2 = ____________________
适用：两项、平方形式、符号一正一负
2. 完全平方公式
𝑎2 + 2𝑎𝑏+ 𝑏2 = ____________________
𝑎2 −2𝑎𝑏+ 𝑏2 = ____________________
适用：三项式，首尾平方，中间项为两底数乘积2 倍
方法3：十字相乘法（二次三项式专用）
1. 基础型：𝑥2 + 𝑝𝑥+ 𝑞= (𝑥+ 𝑚)(𝑥+ 𝑛)
满足 𝑚+ 𝑛= _____，𝑚𝑛= _____
2. 进阶型：𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 (𝑎≠1)
拆分二次项系数、常数项，交叉相乘求和等于一次项系数
方法4：分组分解法（四项及以上多项式）
适用：无法直接提公因式、套公式，分组后可分别分解，整体再提公因式
分类：两两分组、一三一分组
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知识点三 因式分解的一般步骤（口诀：一提、二套、三叉、四分组）
1. 一提：优先查看多项式各项是否有__________，有公因式必先全部提出；
2. 二套：提取公因式后，剩余多项式判断项数套用公式：
两项 → _______________公式
三项 → _______________公式/十字相乘法
3. 三叉：二次三项式无法套完全平方，用十字相乘法分解；
4. 四分组：四项及以上多项式，选用分组分解法拆分后再分解；
5. 最终检验两步
① 检查每个因式能否继续分解，务必分解彻底；
② 展开因式乘积，核对是否与原式一致，避免变形错误。
知识点四 因式分解的应用
1. 简便有理数计算
提取公因数、套用平方差/完全平方公式简化大数运算，无需硬算；
例：992 −1 = (99 + 1)(99 −1) = 100 × 98 = 9800
2. 代数式化简、求值
对多项式因式分解后代入数值计算，大幅降低计算难度；
3. 判断代数式正负、最值
通过完全平方配方，利用平方非负性判断式子取值范围；
4. 解方程（一元二次方程）
将方程左侧因式分解，转化为两个一次因式乘积=0，快速求方程的根；
5. 几何应用题
计算图形面积拼接、边长推导，拆分面积多项式进行因式分解求解边长。
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易错点1 已知因式分解的结果求参数
易错提醒
易错点总结
1. 不懂得利用多项式恒等，对应各项系数相等列方程求解，随意代值计算；
2. 展开整式乘积时一次项、常数项符号、数值计算失误；
3. 多个参数题目所列方程数量不足，出现漏解；
4. 忽略因式分解结果必须是整式乘积的要求；
5. 算出参数后不回代验证，答案不符合原式。
注意事项总结
1. 标准步骤：展开因式乘积 → 左右两边二次项、一次项、常数项逐一对应 → 列方程组求解；
2. 几项含未知系数就列出几个等式；
3. 求出参数务必代入原式验算，保证两边完全一致。
【对点训练】1．已知
2
x+
是多项式
2
7
x
x
m
−
+
的一个因式，则它的另一个因式是________________．
易错点2 综合提公因式和公式法分解因式
易错提醒
易错点总结
1. 跳过提取公因式，直接套用平方差、完全平方公式；
2. 公因式找寻不全，遗漏数字系数、字母、负号以及整体多项式因式；
3. 混淆平方差与完全平方公式结构，套用错误；
4. 分解半途终止，剩余因式仍可继续分解，分解不彻底；
5. 多项式首项为负时，未先提取负号，造成后续符号出错。
注意事项总结
1. 固定顺序：先提公因式，再套用乘法公式；
2. 首项系数为负，最先提取负号，保证括号内首项为正数；
3. 两项异号平方结构用平方差，三项首尾平方、中间两倍乘积用完全平方；
4. 最终要分解至每一个因式都不能再分解为止。
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【对点训练】2．因式分解：
(1)
2
2
3
18
27
x
xy
y
−
+
；
(2)
(
)
(
)
2
4
a
x
y
y
x
−
+
−
．
易错点3 十字相乘法因式分解
易错提醒
易错点总结
1. 拆分常数项时正负搭配混乱，交叉相乘之和无法匹配原式一次项；
2. 二次项系数不为1 时，盲目拆分系数，凑不出正确组合；
3. 常数项为负数依旧拆成同号两数，符号规则记错；
4. 分解完毕不验算，结果出错；
5. 未提前提取公因式就直接十字相乘，式子繁琐极易算错。
注意事项总结
1. 先用提公因式化简原式，再使用十字相乘法；
2. 符号口诀：常数项正，两因数同号，符号跟随一次项；常数项负，两因数一正一负；
3. 二次项系数大于1，两端系数同时拆分，多次试凑；
4. 分解后口算交叉相乘求和，核对是否等于原式一次项。
【对点训练】3．利用“十字相乘法”因式分解：
同学们，我们已经学习了因式分解的两种常用方法：提公因式法与公式法．另外，因式分解还有一种很重
要的方法叫作“十字相乘法”，常用于二次三项式的因式分解，实质上是逆用整式乘法的过程：
(
)
(
)(
)
2
acx
ad
bc x
bd
ax
b
cx
d
+
+
+
=
+
+
，这个方法的关键是把二次项系数与常数项分别都拆成两个因数的积，
并使这两组因数交叉相乘后的和等于一次项系数．
请你仿照以上方法把下列各式因式分解：
(1)
2
8
12
x
x
+
+
；
(2)
2
2
7
6
y
y
−
+ ．
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易错点4 分组分解法因式分解
易错提醒
易错点总结
1. 随意分组，分组后两组没有公共因式，无法继续分解；
2. 添加括号时，括号前是负号，括号内各项变号不完整；
3. 只会二二分组，不会三一分组应对三项凑平方+平方差题型；
4. 提取公共整体因式后不再继续分解，化简不到终点。
注意事项总结
1. 分组原则：分组后可提取公因式或者运用公式分解；
2. 常用两类分组：四项式子多用二二分组；五项、六项适合三一分组；
3. 添括号严格遵循变号规则；
4. 每一步分解后检查剩余因式能否再次分解。
【对点训练】4．阅读下列分解因式的过程：
①
(
) (
)
(
)
(
)
(
)(
)
ax
ay
bx
by
ax
ay
bx
by
a x
y
b x
y
a
b
x
y
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
②
(
)
(
)(
)
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
xy
x
y
x
xy
y
x
y
x
y
x
y
+
−+
=
+
+
−=
+
−=
+
+
+
−
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解答下列问题：
(1)分解因式：
2
2
4
4
m
n
m
−
−
+
；
(2)已知：
3
a
b
−
=
，
5
a
c
+ = −，求代数式
2
ac
bc
a
ab
−
+
−
的值；
(3)已知ABC
的三边a ，b ，c 满足
2
2
0
a
b
ac
bc
−
−
+
=
，判断ABC
的形状，并说明理由．
易错点5 因式分解的应用
易错提醒
易错点总结
1. 大数简便运算不先因式分解，直接硬算，计算量大易出错；
2. 代数式求值执意单独求出字母数值，不会整体代入；
3. 判断代数式正负、最值不会配方，无法利用平方非负性解题；
4. 几何面积题型不会借助因式分解化简边长关系；
5. 颠倒运算方向，把因式分解做成整式乘法展开。
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注意事项总结
1. 简便计算优先变形为平方差、完全平方形式简化运算；
2. 求值题整体代换为主，不用逐个求解未知数；
3. 判断正负将式子配方成平方相加形式；
4. 牢记核心方向：多项式化成几个整式相乘的形式，禁止逆向展开。
【对点训练】5．观察下列等式：
(
)
2
2
4
5
4
13 5
+
−
=
；(
)
2
2
8
5
8
21 5
+
−
=
；(
)
2
2
12
5
12
29 5
+
−
=
，…．
小聪猜想：若一个数是4 的倍数，则比这个数大5 的数与该数的平方差能被5 整除．
(1)计算(
)
2
2
16
5
16
+
−
的结果，并判断它是否是5 的倍数；
(2)设这个数为4m （m 为正整数），试说明(
)
(
)
2
2
4
5
4
m
m
+
−
能被5 整除．
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一、单选题
1．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．(
)
a x
y
ax
ay
+
=
+
B．
2
2
2
4
(
2)
y
y
y
−
+
=
−
C．
(
)
2
10
5
5
2
1
x
x
x
x
−
=
−
D．
(
)(
)
2
16
3
4
4
3
t
t
t
t
t
−
+
=
+
−
+
2．若
2
16
x
ax
+
+
能用完全平方公式进行因式分解，则常数a 的值是（ ）
A．4
B．4 或4
−
C．8
D．8 或8
−
3．已知
(
)(
)
16
8
8
4
1
4
1 4
1
−=
+
−
= 则按此规律推算
16
4
1
−的结果一定能（ ）
A．被12 整除
B．被13 整除
C．被14 整除
D．被15 整除
4．若2
3
1
a
b
−
= −，则代数式
2
2
4
12
9
a
ab
b
−
+
的值为（ ）
A．1
−
B．1
C．2
D．3
5．对于一个关于x 的整式M ，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成
n 个整式的乘积，取x 的值为n ，这n 个整式的和记作整式M 的密匙值．如当
2
9
M
x
=
−时，因式分解的结
果为(
)(
)
3
3
+
−
x
x
，则x 的值为2，
3
1
x−= −，
3
5
x + = ，由此可以得到整式M 的密匙值为1 5
4
−+ =
．当
3
M
x
x
=
−
时，整式M 的密匙值是（ ）
A．3
B．6
C．9
D．24
二、填空题
6．计算：
2
2
65
35
−
= _____ ．
7．如图，为宣城市某校七年级（1）、（2）班的劳动实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m 、n 的正
方形，其中m
n
，其中重叠部分B 为池塘，阴影部分
1S 、
2
S 分别表示七（1）、（2）两个班级的基地面积．若
13
m
n
+
=
，
40
mn
，则
1
2
S
S
−
= ________．
8．老师布置了一个任务：对于非零实数a ，b ，满足
2
2
a
a
b
b
−
=
+
，探讨a
b
−
的值．小光解得
1
a
b
−
= ，但
同桌认为小光的推理有问题．请你写出一组非零实数a ，b ，使原等式成立，但
1
a b
−．如：___________．
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9．若
2
x−
是多项式
2
2
ax
bx
+
+
的一个因式，则2a
b
+
的值为_____________．
三、解答题
10．因式分解：
(1)
2
16
a −
．
(2)
2
3
18
27
x
x
−
+
．
11．材料：如何将
(
)
2x
p
q x
pq
+
+
+
型的式子分解因式呢？
我们知道(
)(
)
(
)
2
x
p
x
q
x
p
q x
pq
+
+
=
+
+
+
，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：
(
)
(
)(
)
2x
p
q x
pq
x
p
x
q
+
+
+
=
+
+
．
例如：(
)(
)
(
)(
)
2
2
1
2
3
2,
3
2
1
2
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
．
上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下
角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项
的系数，如图：
这样，我们可以得到：
(
)(
)
2
3
2
1
2
x
x
x
x
+
+
=
+
+
．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)用十字相乘法将
2
5
6
x
x
+
+
分解因式的结果为 ；
(2)若
2
15
x
px
+
−
利用十字相乘法可分解为(
)(
)
5
x
a
x
+
+
（a，p 均为整数），求a 和p 的值．
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12．【综合应用】
材料：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组
分解法的形式有：“2
2
+ ”分法、“3 1
+ ”分法、“3
2
+ ”分法及“3 3
+ ”分法等．如“2
2
+ ”分法：
(
) (
)
(
)
(
)
ax
ay
bx
by
ax
ay
bx
by
a x
y
b x
y
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
(
)(
)
x
y
a
b
=
+
+
；再如“3 1
+ ”分法：
(
)
(
)
(
)(
)
2
2
2
2
2
2
2
9
2
9
3
3
3
x
xy
y
x
xy
y
x
y
x
y
x
y
−
+
−
=
−
+
−
=
−
−
=
−
+
−
−
．
请根据上述材料的启发解决下列问题：
(1)【理解】分解因式：
2
2
9
6
16
x
xy
y
−
+
−
；
(2)【应用】a，b，c 是ABC
的三条边的长，试判断式子(
)(
)
(
)
2
a
b
a
b
c c
a
+
−
+
−
的值能否大于0？并说明理
由；
(3)【拓展】a，b，c 是ABC
的三条边的长，若
2
2
2
0
a
b
c
ab
bc
ac
+
+
−
−
−
=
，请判断ABC
的形状并说明理
由．
13．阅读以下材料．
材料：因式分解：(
)
(
)
2
6
9
a
b
a
b
+
+
+
+ ．
解：将“a
b
+
”看成一个整体，令a
b
m
+
=
，则原式
(
)
2
2
6
9
3
m
m
m
=
+
+
=
+
．
再将“m ”还原，得原式(
)
2
3
a
b
=
+
+
．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)因式分解：(
)
(
)
2
2
2
2
1
a
b
a
b
−
−
−
+ ；
(2)因式分解：(
)(
)
2
2
4
3
4
5
1
a
a
a
a
−
+
−
+
+ ；
(3)试证明：无论n 为何值，式子(
)(
)
2
2
4
10
4
2
38
n
n
n
n
+
+
+
−
+
的值一定是一个不小于2 的数．
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14．配方法是通过配凑将整式化为完全平方式，利用其非负性解题的方法，在代数式求值、解方程、求最
值及几何、经济等领域应用广泛．
例：某文具店批发一批笔记本，设进货数量为x （本），总成本C （元）为：
2
12
40
C
x
x
=
−
+
利用配方法求C 的最小值，
解：
(
)
2
2
2
12
40
12
36
4
6
4
C
x
x
x
x
x
=
−
+
=
−
+
+
=
−
+
(
)
2
6
0
x −
∴当
6
x =
时，总成本C 最小，最小值为4 元．
请根据上述阅读材料，解决下列问题：
(1)求
2
2
3
a
a
−
+ 的最小值___________；
(2)已知
2
2
2
6
8
17
0
m
n
m
n
+
+
−
+
=
，求m
n
+
的值；
(3)若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为a ，三角形面积为S，用配方法求S的最
大值．
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12 /
15．我国著名数学家华罗庚曾言：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”
实则，数与形是刻画同一数理内涵的两种表征形式——代数算式是符号语言，几何图形是直观语言，二者
互通互译，方能尽显数学本质．
【材料准备】
如图1 所示，有①②③种不同型号的卡片若干，其中型号①、型号②分别是边长为a 和b 的正方形，型号
③是长为a ，宽为b 的长方形．
【析形感数】
(1)现用1 张型号①，1 张型号②和2 张型号③卡片，拼出如图2 所示的大正方形，根据图示写出一个因式
分解式子：_______________；
【析数构形】
(2)以上型号卡片（数量不限）能拼出面积为
2
2
3
2
a
ab
b
+
+
的长方形吗？说明理由．
【数形融通】
(3)已知1 个型号①，m 个型号②和n 个型号③卡片能拼成一个大长方形．解决问题：
①当
6
n =
时，求满足条件的所有m 的值；
②求证：
2
4
n
m
−
是一个整数的平方．
