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1
【中点辅助线小结】题集【B】
1. 特殊三角形的中点辅助线
遇到等腰三角形底边中点：
等腰三角形+底边中点：连中线构造三线合一。
结论：出现两个直角三角形
遇到直角三角形斜边中点：
辅助线：连中线构造斜边中线。
结论：出现两个等腰三角形
2. 一般三角形的中点辅助线
遇到任意三角形一边中线：
1、三角形与中线：
辅助线：倍长中线构造8字全等（SAS）
2
方法：延长
到点
，使
，连接
（或
）
结论：①
②
2、三角形与类中线:
辅助线：倍长类中线构造8字全等（SAS）
方法：延长
到点
，使
，连接
结论：①
②
≌
≌
遇到平行线+所截线段的中点：
辅助线：有中点，有平行，延长构造"8"字形
已知：
，
是
中点
3
方法：延长
与
交于点
。
结论： ①
②
≌
或
遇到一堆中点，构造中位线
辅助线：两中点，等线段，取中点构造中位线
方法：取对角线
中点
，连接
结论：①
是
中位线
是
中位线
②
是等腰三角形
、
1.
【解析】
如图，在
中，
，
点在
上，
，
、
分别是
、
的中点，连结
并延长，与
的延长线交于点
，若
，连接
，判断
的形状并证明．
【答案】
是直角三角形．
如图连接
，取
的中点
，联结
、
，
∵
是
的中点，
∵
，
，
∴
．
同理，
，
，
∴
．
4
【标注】
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
是等边三角形．
∴
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
即
是直角三角形．
【知识点】直角三角形的判定
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
【解析】
如图，在四边形
中，
，
、
、
、
分别为
、
、
、
的中点，顺次
连接
、
、
、
．
求证：四边形
是菱形．
当
与
满足什么关系时，四边形
为正方形，并说明理由．
猜想：
、
、
三个角之间的关系．（直接写出结果）
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
当
时，四边形
为正方形．
．
∵
、
、
、
分别是
、
、
、
的中点，
∴
是
的中位线，
是
的中位线，
5
（2 ）
（3 ）
【标注】
是
的中位线，
∴
，
，
，
，
，
∴
，
，
∴四边形
是平行四边形，
又∵
，
∴
，
∴四边形
为菱形．
由（）得
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
由（）四边形
是菱形，
∴菱形
是正方形．
，
，
，
，
，
．
【能力】推理论证能力
【知识点】角的和差的计算与证明-不需要分类讨论
【知识点】中位线定理及其应用
【知识点】正方形的判定
【知识点】菱形的判定-从平行四边形
3. 四边形
和四边形
均为正方形，且
在
边上，
为
中点，连接
、
，证
明：
.
6
【解析】
【标注】
B
C
G
M
【答案】证明见解析.
如图，延长
交
于点
，证明
≌
，
，
，
由正方形四边相等，可得
，
，进而可得
即
，
为等腰三角形，又
，利用等腰三角形三线合一，可得
．
B
C
G
M
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
【解析】
如图所示，在菱形
中，
，
为对角线
上异于
、
的一点，以
为边，
作等边
，线段
与
交于点
，连接
、
，
为线段
的中点，连接
、
．
求证：
．
求证：
．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
延长
至点
，使得
，连接
、
，如图所示．
7
图
图
图
（2 ）
【标注】
∵
，
，
∴
为等边三角形，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
≌
（
），
∴
，
，
∵
．
．
∴
为
的中位线，
∴
，
，
∴
．
∵
，
∴
，
∵
，
，如图所示，
∴
，
∴
，
取
的中点
，连接
，如图所示，
∵
，
∴
，
∴
为等边三角形
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】辅助线综合运用
（1 ）
5. 已知两个等腰
，
有公共顶点
，
，连接
，
是
的中点，连接
、
．
如图，当
与
在同一直线上时，求证：
．
8
（2 ）
（3 ）
图
图
方法一：
方法二：
（1 ）
【解析】
图
如图，若
，
，求
，
的长．
如图，当
时，求证：
．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
证明见解析．
如图
，延长
交
于点
，
则易知
与
均为等腰直角三角形，
∴
，
∴点
为线段
的中点，
又∵点
为线段
的中点，
∴
为
的中位线，
∴
．
如图
，延长
交
于
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
是
的中点，
∴
，
在
和
中，
9
图
方法一：
方法二：
（2 ）
，
∴
≌
（
），
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∵在等腰直角
中，
，
∴
，
∴
．
如图
．
∵
，
，
∴
，
∵
≌
，
∴
，
又∵
是等腰直角三角形，
∴
是等腰直角三角形，
∴
．
如图
所示，延长
交
于点
，则易知
与
为等腰直角三角
形，
∴
，
，
∴点
为
中点，又点
为
中点，
∴
．
分别延长
与
交于点
，则易知
与
均为等腰直角三角形，
∴
，
，
∴点
为
中点，又点
为
中点，
∴
．
∵
，
，
∴
，
∴
．
10
图
图
图
方法一：
方法二：
（3 ）
如图，延长
交
于点
，连接
，则易知
与
均为等腰直角
三角形，
∴
，
，
∴点
为
中点，又点
为
中点，
∴
．
延长
与
交于点
，连接
，则易知
与
均为等腰直角三角形，
∴
，
，
∴点
为
中点，又点
为
中点，
∴
．
在
与
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
．
如图，延长
交
于
，连接
、
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
是
的中点，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
11
【标注】
∴
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
又∵
，
∴
，
故
．
【知识点】等腰直角三角形与全等
图
图
（1 ）
（2 ）
6.
方法一：
方法二：
（1 ）
【解析】
已知：在
中，
，在
中，
，连结
，取
的中点
，连
结
和
．
若点
在边
上，点
在边
上且与点
不重合，如图，探索
、
的关系并给予证
明．
如果将图中的
绕点
逆时针旋转小于
的角，如图，那么（1）中的结论是否仍成
立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
提示：直角三角形斜边上的中线．
延长
于点
且使
，再连接
，
，
∵
∴
≌
∴
，
∴
∴
12
方法三：
方法一：
方法二：
方法三：
（2 ）
∴
≌
∴
且
∴
∴
为等腰
∴
且
．
，
在
中，
是斜边
的中点，
∴
．
∴
．
在
中，
是斜边
的中点，
∴
．
∴
．
∴
，
∵
，
∴
，即
．
可用中点倍长即旋转
；亦可用中位线法：要证
与
的关系，只需要将
、
构造成线段的中点，辅助线如下图．
延长
于点
，且使
，并连接
，
，
延长
，
交于点
∵
为
中点∴
≌
∴
，
∴
∴
∴
≌
∴
且
∴
∴
且
．
当
绕点
逆时针旋转小于
的角时，⑴中的结论成立．
连结
，延长
至点
，使得
，连结
、
，延长
交
于点
．
13
【标注】
∵
，
，
∴四边形
是平行四边形．∴
，
，
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
，
∴
．
又∵
，
∴
≌
．
∴
，
．
∵
，
∴
．
在
中，由
，
，得
且
．
【知识点】中点类辅助线
（1 ）
（2 ）
7. 已知，点
是
边
上一动点（不与
，
重合）分别过点
，
向直线
作垂线，垂足分
别为
，
，
为边
的中点．
如图，当点
与点
重合时，
与
的位置关系是 ，
与
的数量关系
是 ．
图
如图，当点
在线段
上不与点
重合时，试判断
与
的数量关系，并给予证明．
14
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
图
如图，当点
在线段
的延长线上时，此时（）中的结论是否成立？请画出图形并给予证
明．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
．
（）中的结论仍然成立．
∵
为
中点，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
．
．
如图，延长
交
于
，
15
（3 ）
∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∵
，
∴
是
斜边上的中线，
∴
，即
．
（）中的结论仍然成立．
如图，延长
、
交于
，
∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∵
，
∴
是
斜边
上的中线，
16
【标注】
∴
．
【知识点】截长补短
（1 ）
（2 ）
8.
（1 ）
方法一：
（2 ）
【解析】
在正方形
的边
上任取一点
，作
交
于点
，取
的中点
，连接
、
，如图，易证
且
．
将
绕点
逆时针旋转
，如图，则线段
和
有怎样的数量关系和位置关系？请
直接写出你的猜想．
将
绕点
逆时针旋转
，如图，则线段
和
有怎样的数量关系和位置关系？请
写出你的猜想，并加以证明．
【答案】（1 ）
（2 ）
，
．
且
．
，
．
延长
交
延长线于
，连
．
∵
，
，
，
∴四边形
是矩形．
17
方法二：
∴
，
，
∵
平分
，
，
∴
，
又∵
，
∴
为等腰直角三角形
∴
，
．
∴
．
∵
，
，
∴
．
∵
，
，
∴
．
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
．
∵在
与
中，
，
∴
≌
．
∴
，
．
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
即
，
∴
．
延长
交
于
，连
、
．
18
【标注】
∵
，
，
易证
≌
，
∴
，
，
再证
≌
，
易得
，
，
∴
为等腰直角三角形 ，
又
，易得
，
．
【知识点】正方形与全等综合
（1 ）
1
2
（2 ）
9. 已知：点
为
的边
的中点，点
为射线
上的一个动点（点
不与点
重合），分别过
点
，
向直线
作垂线，垂足分别为
，
．
当点
与点
重合时，如图，求证：
．
直线
绕点
逆时针方向旋转，当
时．
当点
线段
上，如图，猜想线段
，
，
之间又怎样的数量关系？请写出
你的猜想，并给予证明．
19
（1 ）
1
2
（2 ）
【解析】
当点
在线段
的延长线上，如图，线段
，
，
之间又有怎样的数量关
系，请写出你的结论，并说明理由．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
证明见解析．
．
．
∵
，
，
，
易证
≌
，
∴
．
猜想：
证明：如图所示，延长
交
于
，
∵
，
，
，
易证
≌
，
∴
，
．在
中，
为
中点，
∴
，∵
，
∴
，∴
为等边三角形，
∴
，
∴
．
猜想：
证明：如图所示，延长
交
于
，
∵
，
，
，
易证
≌
，
∴
，
．在
中，
为
中点，
∴
，∵
，
∴
，∴
为等边三角形，
∴
，
∴
．
20
【标注】【知识点】截长补短
