文档文本内容
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特殊的平行四边形
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1、能用综合法来证明特殊的平行四边形的相关结论；
2、运用特殊的平行四边形的性质定理和判定定理解决计算问题；
3、通过学生进行推理过程的活动，培养学生抽象概况、合理推理以及严谨的思考、学习习惯．
1．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别____的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
2．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD 是平
行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB=DC，AD=BC∴四边行ABCD 是平行
四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB=DC∴四边行ABCD 是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD 是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA=OC，OB=OD∴四边行ABCD 是平行四
边形．
3．矩形的判定
2
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相_____且_____的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对
角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
4．矩形的性质
（1）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是____；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线____；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2 条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的
直线；对称中心是两条对角线的交点．
（2）由矩形的性质，可以得到直角三角线的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的
___．
5．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（平行四边形+一组邻边相等=菱形）
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有___条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积= ab．（a、b 是两条对角线的长度）
6．菱形的判定
（1）四条边都_____的四边形是菱形．
几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD 是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD 是平行四边形∴平行四边形ABCD 是菱形
7．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是_____；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
3
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有
四条对称轴．
8．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1 或2 进行判定．
9．等腰梯形的性质
（1）性质：
①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的_____的直线；
②等腰梯形同一底上的两个角相等；
③等腰梯形的两条对角线相等．
（2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩
形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性
质．
10．等腰梯形的判定
（1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；
（2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．
（3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形．
判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否相等，可以通过添加
辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系．
注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用．
参考答案：
1.（1）平行
3.（1）③平分 相等
4.（1）②直角；④相等（2）一半
5.（1）④2
6.（1）相等
7.（2）①直角
9.（1）①中点
1. 菱形的性质；平行四边形的性质．
【例1】（2014•泸州第一中学期末）菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行
B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分
D．对角线互相垂直
【解析】根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直．
解：A、不正确，两组对边分别平行；
B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确，；
C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；
D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．
4
故选D．
练1. （2014•吕梁孝义中学月考）如图，菱形ABCD 中，AC、BD 相交于点O，若∠BCO=55°，则
∠ADO= °．
【解析】根据菱形性质得出AC⊥BD，AD∥BC，求出∠CBO，根据平行线的性质求出∠ADO 即可．
解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∵∠BCO=55°，
∴∠CBO=90°﹣55°=35°，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO=35°，
故答案为：35°．
练2. 如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，过点O 作EF⊥AC 交BC 于点E，交AD 于点
F，连接AE、CF．则四边形AECF 是（ ）
A．梯形
B．矩形 C．菱形
D．正方形
【解析】首先利用平行四边形的性质得出AO=CO，∠AFO=∠CEO，进而得出△AFO≌△CEO，再利用
平行四边形和菱形的判定得出即可．
解：四边形AECF 是菱形，
理由：∵在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，
∴AO=CO，∠AFO=∠CEO，
∴在△AFO 和△CEO 中
，
∴△AFO≌△CEO（AAS），
∴FO=EO，
∴四边形AECF 平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF 是菱形．
故选：C．
2. 菱形的性质；坐标与图形性质．
【例2】（2014•武汉华中师大附中月考）如图，在菱形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为
（8，2），点D 的坐标为（0，2），则点C 的坐标为 ．
5
【解析】连接AC、BD 交于点E，由菱形的性质得出AC⊥BD，AE=CE= AC，BE=DE= BD，由点B 的坐
标和点D 的坐标得出OD=2，求出DE=4，AC=4，即可得出点C 的坐标．
解：连接AC、BD 交于点E，如图所示：
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，AE=CE= AC，BE=DE= BD，
∵点B 的坐标为（8，2），点D 的坐标为（0，2），
∴OD=2，BD=8，
∴AE=OD=2，DE=4，
∴AC=4，
∴点C 的坐标为：（4，4）；
故答案为：（4，4）．
练3. 菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P 是对角
线OC 上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP 最短时，点P 的坐标为 ．
【解析】点B 的对称点是点D，连接ED，交OC 于点P，再得出ED 即为EP+BP 最短，解答即可．
解：连接ED，如图，
∵点B 的对称点是点D，
6
∴DP=BP，
∴ED 即为EP+BP 最短，
∵四边形ABCD 是菱形，顶点B（2，0），∠DOB=60°，
∴点D 的坐标为（1，
），
∴点C 的坐标为（3，
），
∴可得直线OC 的解析式为：y=
x，
∵点E 的坐标为（0，﹣1），
∴可得直线ED 的解析式为：y=（1+
）x﹣1，
∵点P 是直线OC 和直线ED 的交点，
∴点P 的坐标为方程组
的解，
解方程组得：
，
所以点P 的坐标为（
），
故答案为：（
）．
3. 矩形的性质；菱形的判定．
【例3】（2014•新疆石河子中学一模）如图，在矩形ABCD 中，E，F 分别是AD，BC 中点，连接
AF，BE，CE，DF 分别交于点M，N，四边形EMFN 是（ ）
A．正方形 B．菱形
C．矩形
D．无法确定
【解析】求出四边形ABFE 为平行四边形，四边形BFDE 为平行四边形，根据平行四边形的性质得出
BE∥FD，即ME∥FN，同理可证EN∥MF，得出四边形EMFN 为平行四边形，求出ME=MF，根据
菱形的判定得出即可．
解：∵四边形ABCD 为矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵E，F 分别为AD，BC 中点，
∴AE∥BF，AE=BF，ED∥CF，DE=CF，
∴四边形ABFE 为平行四边形，四边形BFDE 为平行四边形，
∴BE∥FD，即ME∥FN，
同理可证EN∥MF，
∴四边形EMFN 为平行四边形，
∵四边形ABFE 为平行四边形，∠ABC 为直角，
∴ABFE 为矩形，
∴AF，BE 互相平分于M 点，
∴ME=MF，
7
∴四边形EMFN 为菱形．
故选B．
练4. 下列说法中，正确的是（ ）
A．同位角相等
B．对角线相等的四边形是平行四边形
C．四条边相等的四边形是菱形
D．矩形的对角线一定互相垂直
【解析】根据平行线的性质判断A 即可；根据平行四边形的判定判断B 即可；根据菱形的判定判断
C 即可；根据矩形的性质判断D 即可．
解：A、如果两直线平行，同位角才相等，故A 选项错误；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故B 选项错误；
C、四边相等的四边形是菱形，故C 选项正确；
D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故D 选项错误；
故选C．
练5. 如图，在矩形ABCD 中，E，F 分别为AD，BC 的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF 与BE 交于
G，DF 与CE 交于H．求证：四边形EGFH 为菱形．
【解析】根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边形，可证明四边形AECF、BEDF 是平行四边
形，根据平行四边形的性质，可得GF 与EH、EG 与FH 的关系，根据平行四边形的判定，可
得EGFH 的形状，根据三角形全等，可得EG 与FG 的关系，根据菱形的定义，可得证明结论．
证明：∵在矩形ABCD 中AD=BC，且E、F 分别是AD、BC 的中点，
∴AE=DE=BF=CF
又∵AD∥BC，
∴四边形AECF、BEDF 是平行四边形．
∴GF∥EH、EG∥FH．
∴四边形EGFH 是平行四边形．
在△AEG 和△FBG 中，
，
∴△AEG≌△FBG（AAS）
∴EG=GB，AG=GF，
在△ABE 和△BAF 中
∵
，
∴△ABE≌△BAF（SAS），
∴AF=BE，
∵EG=GB= BE，AG=GF= AF，
∴EG=GF，
8
∴四边形EGFH 是菱形．
4．正方形的判定；矩形的性质．
【例4】（2014•山东淄博一中期末）如图所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小
明把矩形上的一个角沿折痕AE 翻折上去，使AB 与AD 边上的AF 重合，则四边形ABEF 就是
一个大的正方形，他判定的方法是 ．
【解析】根据翻折变换及正方形的判定方法进行分析即可．
解：根据题意可得，其判定方法是：有一组邻边相等的矩形是正方形．
总结：本题考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，有两种方法：
①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；
②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
练6. 下列说法中，错误的是（ ）
A．菱形的四条边都相等
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．四个角都相等的四边形是矩形
D．等腰梯形的对角线相等
【解析】根据各四边形的判定对各个选项进行分析从而得到最后答案．
解：A 正确，符合菱形的性质；
B 不正确，得到的应该是菱形；
C 正确，符合矩形的判定；
D 正确，符合等腰梯形的性质；
故选B．
5．直角梯形；平行四边形的性质；等腰梯形的性质．
【例5】（2014 秋•张家港市校级期末）如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，AD=24cm，
AB=8cm，BC=26cm，动点P 从A 点开始沿AD 边向D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从C 点开始
沿CB 边向B 以3cm/s 的速度运动．P，Q 分别从A，C 同时出发，当其中一点到端点时，另
一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），t 分别为何值时，四边形PQCD 是平行四边形？
等腰梯形？
【解析】（1）当四边形PQCD 是平行四边形时，必须有PQ=CD，而PQ、CD 均可用含有t 的式子表示
出来，所以列方程解答即可．
（2）当PQ=CD，PD≠QC 时，四边形PQCD 为等腰梯形．过P，D 分别作PE⊥BC，DF⊥BC 后，
可求出CF=2，所以当等腰梯形成立时，CQ=PD+4，然后列方程解答即可．
解：（1）∵AD∥BC，
9
∴当QC=PD 时，四边形PQCD 是平行四边形．
此时有3t=24﹣t，解得t=6．
∴当t=6s 时，四边形PQCD 是平行四边形．
（2）∵AD∥BC，
∴当PQ=CD，PD≠QC 时，
四边形PQCD 为等腰梯形．
过P，D 分别作PE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F．
∴四边形ABFD 是矩形，四边形PEFD 是矩形．
∴EF=PD，BF=AD．
∵AD=24cm，
∴BF=24cm．
∵BC=26cm．
∴FC=BC﹣BF=26﹣24=2（cm）．
由等腰梯形的性质知，QE=FC=2cm．
∴QC=EF+QE+FC=PD+4=AD﹣AP+4，
即3t=（24﹣t）+4，解得t=7．
∴当t=7 时，四边形PQCD 是等腰梯形．
练7．已知：如图，等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=DC，点P 是腰DC 上的一个动点（P 与D、C 不重
合），点E、F、G 分别是线段BC、PC、BP 的中点．
（1）试探索四边形EFPG 的形状，并说明理由；
（2）若∠A=120°，AD=2，DC=4，当PC 为何值时，四边形EFPG 是矩形并加以证明．
【解析】根据中点的条件，可以利用．三角形的中位线定理证明四边形EFPG 的两组对边分别平行，
得出这个四边形是平行四边形；在平行四边形的基础上要说明四边形是矩形，只要再说明
一个角是直角就可以．
解：（1）四边形EFPG 是平行四边形．
理由：∵点E、F 分别是BC、PC 的中点，
∴EF∥BP．（2 分）
同理可证EG∥PC．（3 分）
∴四边形EFPG 是平行四边形．
（2）方法一：当PC=3 时，四边形EFPG 是矩形．
证明：延长BA、CD 交于点M．
∵AD∥BC，AB=CD，∠BAD=120°，
∴∠ABC=∠C=60°．
∴∠M=60°，
∴△BCM 是等边三角形．
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∵∠MAD=180°﹣120°=60°，
∴AD=DM=2．
∴CM=DM+CD=2+4=6．
∵PC=3，
∴MP=3，
∴MP=PC，
∴BP⊥CM 即∠BPC=90 度．
由（1）可知，四边形EFPG 是平行四边形，
∴四边形EFPG 是矩形．
方法二：当PC=3 时，四边形EFPG 是矩形．
证明：延长BA、CD 交于点M．由（1）可知，四边形EFPG 是平行四边形．
当四边形EFPG 是矩形时，∠BPC=90 度．
∵AD∥BC，∠BAD=120°，
∴∠ABC=60 度．
∵AB=CD，∴∠C=∠ABC=60 度．
∴∠PBC=30°且△BCM 是等边三角形．
∴∠ABP=∠PBC=30°，
∴PC=PM= CM．
同方法一，可得CM=DM+CD=2+4=6，
∴PC=6× =3．
即当PC=3 时，四边形EFPG 是矩形．
1．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行
B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
2．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长AB 等于（ ）
A．10 B．
C．6
D．5
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3．如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=4．点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G、H 在对角线AC 上．
若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是（ ）
A．2
B．3
C．5
D．6
4．菱形ABCD 的对角线AC=6cm，BD=4cm，以AC 为边作正方形ACEF，则BF 长为 ．
5．如图，菱形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，点E，F 分别是边AB，AD 的中点．
（1）请判断△OEF 的形状，并证明你的结论；
（2）若AB=13，AC=10，请求出线段EF 的长．
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1．已知▱ABCD，对角线AC，BD 相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD 成为一个菱形，
你添加的条件是 ．
2．在▱ABCD 中，点E、F 分别在AB、CD 上，且AE=CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若DF=BF，求证：四边形DEBF 为菱形．
3．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE=DF．求证：
（1）△ADE≌△CDF；
（2）四边形ABCD 是菱形．
4．如图，在平行四边形ABCD 中，AD＞AB．
（1）作出∠ABC 的平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中所作的角平分线交AD 于点E，AF⊥BE，垂足为点O，交BC 于点F，连接EF．求证：
四边形ABFE 为菱形．
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5．如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AG∥CD 交BC 于点G，点E、F 分别为AG、CD 的
中点，连接DE、FG．
（1）求证：四边形DEGF 是平行四边形；
（2）当点G 是BC 的中点时，求证：四边形DEGF 是菱形．
6．如图，在四边形ABFC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D，交AB 于点E，且
CF=AE，
（1）求证：四边形BECF 是菱形；
（2）若四边形BECF 为正方形，求∠A 的度数．
7．如图，在矩形ABCD 中，E，F 分别为AD，BC 的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF 与BE 交于G，DF
与CE 交于H．求证：四边形EGFH 为菱形．
8．如图，AB 是半圆O 的直径，点P 是半圆上不与点A、B 重合的一个动点，延长BP 到点C，使
PC=PB，D 是AC 的中点，连接PD、PO．
（1）求证：△CDP≌△POB；
（2）填空：
①若AB=4，则四边形AOPD 的最大面积为 ；
②连接OD，当∠PBA 的度数为 时，四边形BPDO 是菱形．
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参考答案：
当堂检测
1.
【考点】菱形的性质；平行四边形的性质．
【分析】根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直．
【解答】解：A、不正确，两组对边分别平行；
B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确，；
C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；
D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．
故选D．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，关键是根据菱形对角线垂直及平行四边形对角线平分的性质
的理解．
2．
【考点】菱形的性质．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴OA= AC，OB= BD，AC⊥BD，
∵AC=8，BD=6，
∴OA=4，OB=3，
∴AB=
=5，
即菱形ABCD 的边长是5．
故选：D．
【点评】本题主要考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，熟记性质是解题的
关键．
3．
【考点】菱形的性质；矩形的性质．
【分析】连接EF 交AC 于O，由四边形EGFH 是菱形，得到EF⊥AC，OE=OF，由于四边形ABCD 是矩形，
得到∠B=∠D=90°，AB∥CD，通过△CFO≌△AOE，得到AO=CO，求出AO= AC=2
，根据
△AOE∽△ABC，即可得到结果．
【解答】解；连接EF 交AC 于O，
∵四边形EGFH 是菱形，
∴EF⊥AC，OE=OF，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，
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∴∠ACD=∠CAB，
在△CFO 与△AOE 中，
，
∴△CFO≌△AOE，
∴AO=CO，
∵AC=
=4
，
∴AO= AC=2
，
∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴
，
∴
，
∴AE=5．
故选C．
4．
【考点】菱形的性质；正方形的性质．
【分析】作出图形，根据菱形的对角线互相垂直平分求出AO、BO，然后分正方形在AC 的两边两种
情况补成以BF 为斜边的Rt△BGF，然后求出BG、FG，再利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵AC=6cm，BD=4cm，
∴AO= AC= ×6=3cm，
BO= BD= ×4=2m，
如图1，正方形ACEF 在AC 的上方时，过点B 作BG⊥AF 交FA 的延长线于G，
BG=AO=3cm，
FG=AF+AG=6+2=8cm，
在Rt△BFG 中，BF=
=
=
cm，
如图2，正方形ACEF 在AC 的下方时，过点B 作BG⊥AF 于G，
BG=AO=3cm，
FG=AF﹣AG=6﹣2=4cm，
在Rt△BFG 中，BF=
=
=5cm，
综上所述，BF 长为5cm 或
cm．
故答案为：5cm 或
cm．
15
5．
【考点】菱形的性质；勾股定理；三角形中位线定理．
【分析】（1）利用菱形的性质结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而求出即可；
（2）利用勾股定理得出BO 的长再利用三角形中位线定理得出EF 的长．
【解答】解：（1）△OEF 是等腰三角形，
理由：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD，
∵点E，F 分别是边AB，AD 的中点，
∴EO= AB，OF= AD，
∴EO=FO，
∴△OEF 是等腰三角形；
（2）∵四边形ABCD 是菱形，AC=10，
∴AO=5，∠AOB=90°，
∴BO=
=
=12，
∴BD=24，
∵点E，F 分别是边AB，AD 的中点，
∴EF
BD，
∴EF=12．
家庭作业
1．
【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．
【分析】根据菱形的定义得出答案即可．
【解答】解：∵邻边相等的平行四边形是菱形，
∴平行四边形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O，试添加一个条件：可以为：AD=DC；
故答案为：AD=DC．
2．
【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】（1）首先根据平行四边形的性质可得AD=BC，∠A=∠C，再加上条件AE=CF 可利用SAS 证
明△ADE≌△CBF；
（2）首先证明DF=BE，再加上条件AB∥CD 可得四边形DEBF 是平行四边形，又DF=FB，可
根据邻边相等的平行四边形为菱形证出结论．
16
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
∵在△ADE 和△CBF 中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AE=CF，
∴DF=EB，
∴四边形DEBF 是平行四边形，
又∵DF=FB，
∴四边形DEBF 为菱形．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，以及菱形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理，
以及菱形的判定定理，平行四边形的性质．
3．
【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】（1）首先根据平行四边形的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定得出即可；
（2）根据菱形的判定得出即可．
【解答】解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥BC
∴∠AED=∠CFD=90°，
∵四边形ABCD 是平行四边形
∴∠A=∠C，
∵在△AED 和△CFD 中
∴△AED≌△CFD（AAS）；
（2）∵△AED≌△CFD，
∴AD=CD，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴平行四边形ABCD 是菱形．
【点评】此题主要考查了菱形的性质和全等三角形的判定等知识，根据已知得出∠A=∠C 是解题关
键．
4．
【考点】菱形的判定；平行四边形的性质；作图—基本作图．
【分析】（1）根据角平分线的作法作出∠ABC 的平分线即可；
17
（2）首先根据角平分线的性质以及平行线的性质得出∠ABE=∠AEB，进而得出
△ABO≌△FBO，进而利用AF⊥BE，BO=EO，AO=FO，得出即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）证明：∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE，
∵∠EBF=∠AEB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∵AO⊥BE，
∴BO=EO，
∵在△ABO 和△FBO 中，
，
∴△ABO≌△FBO（ASA），
∴AO=FO，
∵AF⊥BE，BO=EO，AO=FO，
∴四边形ABFE 为菱形．
【点评】此题主要考查了角平分线的作法以及菱形的判定和全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱
形的判定是解题关键．
5．
【考点】菱形的判定；平行四边形的判定；直角梯形．
【分析】（1）求出平行四边形AGCD，推出CD=AG，推出EG=DF，EG∥DF，根据平行四边形的判定推
出即可；
（2）连接DG，求出∠DGC=90°，求出DF=GF，根据菱形的判定推出即可．
【解答】证明：（1）∵AG∥DC，AD∥BC，
∴四边形AGCD 是平行四边形，
∴AG=DC，
∵E、F 分别为AG、DC 的中点，
∴GE= AG，DF= DC，
即GE=DF，GE∥DF，
∴四边形DEGF 是平行四边形；
（2）连结DG，
∵四边形AGCD 是平行四边形，
∴AD=CG，
∵G 为BC 中点，
∴BG=CG=AD，
∵AD∥BG，
18
∴四边形ABGD 是平行四边形，
∴AB∥DG，
∵∠B=90°，
∴∠DGC=∠B=90°，
∵F 为CD 中点，
∴GF=DF=CF，
即GF=DF，
∵四边形DEGF 是平行四边形，
∴四边形DEGF 是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形斜边上中线性质等知识点
的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
6．
【考点】菱形的判定；线段垂直平分线的性质；正方形的性质．
【分析】（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC，
根据四边相等的四边形是菱形即可判断；
（2）正方形的性质知，对角线平分一组对角，即∠ABC=45°，进而求出∠A=45 度．
【解答】（1）证明：∵EF 垂直平分BC，
∴CF=BF，BE=CE，∠BDE=90°，BD=CD，
又∵∠ACB=90°，
∴EF∥AC，
又∵D 为BC 中点，
∴E 为AB 中点，
即BE=AE，
∵CF=AE，
∴CF=BE，
∴CF=FB=BE=CE，
∴四边形BECF 是菱形．
（2）解：∵四边形BECF 是菱形，
∴∠CBA=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A=45°．
【点评】此题主要考查了菱形的判定方法以及正方形的判定和中垂线的性质、直角三角形的性质等
知识，根据已知得出∠CBA=45°是解题关键．
7．
【考点】菱形的判定；矩形的性质．
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边形，可证明四边形AECF、BEDF 是平行四边
形，根据平行四边形的性质，可得GF 与EH、EG 与FH 的关系，根据平行四边形的判定，可得EGFH
的形状，根据三角形全等，可得EG 与FG 的关系，根据菱形的定义，可得证明结论．
19
【解答】证明：∵在矩形ABCD 中AD=BC，且E、F 分别是AD、BC 的中点，
∴AE=DE=BF=CF
又∵AD∥BC，
∴四边形AECF、BEDF 是平行四边形．
∴GF∥EH、EG∥FH．
∴四边形EGFH 是平行四边形．
在△AEG 和△FBG 中，
，
∴△AEG≌△FBG（AAS）
∴EG=GB，AG=GF，
在△ABE 和△BAF 中
∵
，
∴△ABE≌△BAF（SAS），
∴AF=BE，
∵EG=GB= BE，AG=GF= AF，
∴EG=GF，
∴四边形EGFH 是菱形．
8．
【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据中位线的性质得到DP∥AB，DP= AB，由SAS 可证△CDP≌△POB；
（2）①当四边形AOPD 的AO 边上的高等于半径时有最大面积，依此即可求解；
②根据有一组对应边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形BPDO 是平行四
边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，以及等边三角形的判定和性质即可求
解．
【解答】（1）证明：∵PC=PB，D 是AC 的中点，
∴DP∥AB，
∴DP= AB，∠CPD=∠PBO，
∵BO= AB，
∴DP=BO，
在△CDP 与△POB 中，
20
∴△CDP≌△POB（SAS）；
（2）解：①当四边形AOPD 的AO 边上的高等于半径时有最大面积，
（4÷2）×（4÷2）
=2×2
=4；
②如图：
∵DP∥AB，DP=BO，
∴四边形BPDO 是平行四边形，
∵四边形BPDO 是菱形，
∴PB=BO，
∵PO=BO，
∴PB=BO=PO，
∴△PBO 是等边三角形，
∴∠PBA 的度数为60°．
故答案为：4；60°．
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