文档文本内容
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矩形
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1、掌握矩形的概念、判定与性质，理解矩形与平行四边形的之间的联系；
2、会用矩形的性质解决简单的证明和计算问题；
3、从矩形与平行四边形的区别与联系体会特殊与一般的关系，培养学生辩证唯物主义观点．
1．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相_____且_____的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对
角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
2．矩形的性质
（1）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是____；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线____；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2 条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的
直线；对称中心是两条对角线的交点．
（2）由矩形的性质，可以得到直角三角线的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的
___．
3．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的____________，
进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的
性质矩形也都具有．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC 都是等腰三角形；②∠OAB=∠OBA，
∠OCB=∠OBC；③点O 到三个顶点的距离都相等．
2
4．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定_____斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=c2﹣b2，b=c2﹣a2 及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一
条直角边．
5．翻折变换（折叠问题）
（1）翻折变换（折叠问题）实质上就是_______变换．
（2）折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状以及大小不变，位
置
变化，对应边和对应角相等．
（3）在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形
之
间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的
线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角
三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
参考答案：
1.（1）③平分 相等
2.（1）②直角；④相等 （2）一半
3.（1）平行四边形
4.（1）等于
5.（1）轴对称
1. 矩形的性质．
【例1】（2014•武汉洪山区中学期末）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，
∠ACB=30°，则∠AOB 的大小为（ ）
A．30°
B．60°
C．90° D．120°
【解析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OB=OC，再根据等边对等角可得∠OBC=∠ACB，然
后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解：∵矩形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠ACB=30°，
3
∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=30°+30°=60°．
故选：B．
练1. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC、BD 交于点O，以下说法错误的是（ ）
A．∠ABC=90°
B．AC=BD
C．OA=OB
D．OA=AD
【解析】矩形的性质：四个角都是直角，对角线互相平分且相等；由矩形的性质容易得出结论．
解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA= AC，OB= BD，
∴OA=OB，
∴A、B、C 正确，D 错误，
故选：D．
练2. 如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，则图中五个小矩形的周长之和为 ．
【解析】运用平移个观点，五个小矩形的上边之和等于AD，下边之和等于BC，同理，它们的左边
之和等于AB，右边之和等于DC，可知五个小矩形的周长之和为矩形ABCD 的周长．
解：将五个小矩形的所有上边平移至AD，所有下边平移至BC，所有左边平移至AB，所有右边平移
至CD，则五个小矩形的周长之和=2（AB+BC）=2×（3+4）=14．
故答案为：14．
2. 矩形的性质；等腰三角形的判定．
【例2】（2014•山西古交市中考模拟）如图，在矩形ABCD 中，AB＜BC，AC，BD 相交于点O，则图
中等腰三角形的个数是 ．
【解析】根据矩形的性质得出AC=BD，OA=OC= AC，BO=DO= BD，推出OA=OC=OB=OD，根据等腰三角
形的判定得出即可．
解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AC=BD，OA=OC= AC，BO=DO= BD，
∴OA=OC=OB=OD，
∴等腰三角形有△OAB，△OAD，△OBC，△OCD，共4 个．
故答案为：4．
4
练3. 若平行四边形的两条对角线长为6 cm 和16 cm，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的
是（ ）
A．5cm
B．8cm
C．12cm D．16cm
【解析】平行四边形的两条对角线互相平分，根据三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，
任意两边之差小于第三边，进行判断．
解：由题意可知，平行四边形边长的取值范围是：8﹣3＜边长＜8+3，即5＜边长＜11．
只有选项B 在此范围内，故选B．
3. 矩形的判定与性质．
【例3】（2014 秋•信阳三中月考）如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，E、F、G、H 分别是OA、
OB、OC、OD 上的点，且AE=BF=CG=DH．
（1）求证：四边形EFGH 是矩形；
（2）若E、F、G、H 分别是OA、OB、OC、OD 的中点，且DG⊥AC，OF=2cm，求矩形ABCD 的面积．
【解析】（1）首先证明四边形EFGH 是平行四边形，然后再证明HF=EG；
（2）根据题干求出矩形的边长CD 和BC，然后根据矩形面积公式求得．
（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴OA=0B=OC=OD，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AO﹣AE=OB﹣BF=CO﹣CG=DO﹣DH，
即：OE=OF=OG=OH，
∴四边形EFGH 是矩形；
（2）解：∵G 是OC 的中点，
∴GO=GC，
∵DG⊥AC，
∴∠DGO=∠DGC=90°，
又∵DG=DG，
∴△DGC≌△DGO，
∴CD=OD，
∵F 是BO 中点，OF=2cm，
∴BO=4cm，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴DO=BO=4cm，
∴DC=4cm，DB=8cm，
∴CB=
=4
，
∴矩形ABCD 的面积=4×4
=16
cm2．
5
练4. 已知矩形ABCD 和点P，当点P 在BC 上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：P
A2+PC2=PB2+PD2，请你探究：当点P 分别在图（2）、图（3）中的位置时，PA2、PB2、PC2和
PD2又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论．
答：对图（2）的探究结论为 ；
对图（3）的探究结论为 ；
【解析】结论均是PA2+PC2=PB2+PD2，其实要求证的是矩形性质中的矩形所在平面内任一点到其两对
角线端点的距离的平方和相等．根据矩形和直角三角形的性质，（2）如果过点P 作MN⊥AD
于点M，交BC 于点N，可在Rt△AMP，Rt△BNP，Rt△DMP 和Rt△CNP 分别用勾股定理表示出
PA2，PC2，PB2，PD2，然后我们可得出PA2+PC2与PB2+PD2，我们不难得出四边形MNCD 是矩形，
于是，MD=NC，AM=BN 然后我们将等式右边的值进行比较发现PA2+PC2=PB2+PD2．
解：结论均是PA2+PC2=PB2+PD2．
（1）如图2，过点P 作MN∥AB，交AD 于点M，交BC 于点N，
∴四边形ABNM 和四边形NCDM 均为矩形，
根据（1）中的结论可得，
在矩形ABNM 中有PA2+PN2=PB2+PM2，在矩形NCDM 中有PC2+PM2=PD2+PN2，
两式相加得PA2+PN2+PC2+PM2=PB2+PM2+PD2+PN2，
∴PA2+PC2=PB2+PD2．
（2）如图3，过点P 作MN∥AB，交AB 的延长线于点M，交CD 的延长线于点N，
∴四边形BCNM 和四边形ADNM 均为矩形，
同样根据（1）中的结论可得，
在矩形BCNM 中有PC2+PM2=PB2+PN2，在矩形ADNM 中有PA2+PN2=PD2+PM2，
两式相加得PA2+PN2+PC2+PM2=PD2+PM2+PB2+PN2，
∴PA2+PC2=PB2+PD2．
4．矩形的判定；全等三角形的判定与性质．
【例4】（2014•合肥第一中期末）如图，AB=CD=ED，AD=EB，BE⊥DE，垂足为E．
（1）求证：△ABD≌△EDB；
（2）只需添加一个条件，即 等，可使四边形ABCD 为矩形．请加以证明．
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【解析】（1）题中条件给的很充分，可根据SSS 直接判定三角形全等．
（2） 本题应先证明四边形ABCD 为平行四边形，再通过△ABD≌△EDB 得到∠A=∠E=90°，
从而说明平行四边形ABCD 是矩形．
证明：（1）∵AB=CD=ED，AD=EB，BD=BD，
∴△ABD≌△EDB；
（2）根据矩形的判定得，可添加AB∥CD；
∵AB=CD=ED，AB∥CD，
∴四边形ABCD 是平行四边形．
∵BE⊥DE，∴∠E=90°．
∵△ABD≌△EDB，
∴∠A=∠E=90°．
∴平行四边形ABCD 是矩形．
练5. 已知：如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是线段BC 延长线上一点，过点A 作BE 的平行线
与线段ED 的延长线交于点F，连接AE，CF．
（1）求证：AF=CE；
（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE 是什么样的四边形，并证明你的结论．
【解析】（1）可通过全等三角形来证明简单的线段相等．△ADF 和△CDE 中，已知了AD=CD，
∠ADF=∠CDE，AF∥BE，因此不难得出两三角形全等，进而可得出AF=CE．
（2）需先证明四边形AFCE 是平行四边形，那么对角线相等的平行四边形是矩形．
（1）证明：在△ADF 和△CDE 中，
∵AF∥BE，
∴∠FAD=∠ECD．
又∵D 是AC 的中点，
∴AD=CD．
∵∠ADF=∠CDE，
∴△ADF≌△CDE．
∴AF=CE．
（2）解：若AC=EF，则四边形AFCE 是矩形．
证明：由（1）知：AF=CE，AF∥CE，
∴四边形AFCE 是平行四边形．
又∵AC=EF，
∴平行四边形AFCE 是矩形．
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5．矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【例5】（2014•甘肃张掖二中月考质检）如图，矩形纸片ABCD 中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE
对折，使得点B 落在边AD 上的点B1处，折痕与边BC 交于点E，则CE 的长为（ ）
A．6cm
B．4cm
C．2cm D．1cm
【解析】根据翻折的性质可得∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，然后求出四边形ABEB1是正方形，再根据
正方形的性质可得BE=AB，然后根据CE=BC﹣BE，代入数据进行计算即可得解．
解：∵沿AE 对折点B 落在边AD 上的点B1处，
∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，
又∵∠BAD=90°，
∴四边形ABEB1是正方形，
∴BE=AB=6cm，
∴CE=BC﹣BE=8﹣6=2cm．
故选C．
练6．如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 和点C′重合，若AB=2，则C′D 的长为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】根据矩形的对边相等可得CD=AB，再根据翻折变换的性质可得C′D=CD，代入数据即可得
解．
解：在矩形ABCD 中，CD=AB，
∵矩形ABCD 沿对角线BD 折叠后点C 和点C′重合，
∴C′D=CD，
∴C′D=AB，
∵AB=2，
∴C′D=2．
故选B．
1．如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则
矩形ABCD 的面积是（ ）
A．12 B．24
C．12
D．16
8
2．如图，四边形ABCD 和四边形AEFC 是两个矩形，点B 在EF 边上，若矩形ABCD 和矩形AEFC 的面
积分别是S1、S2的大小关系是（ ）
A．S1＞S2
B．S1=S2 C．S1＜S2 D．3S1=2S2
3．如图，长方形ABCD 中，M 为CD 中点，今以B、M 为圆心，分别以BC 长、MC 长为半径画弧，两弧
相交于P 点．若∠PBC=70°，则∠MPC 的度数为何？（ ）
A．20 B．35
C．40
D．55
4．如图，矩形ABCD 的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO 为邻边做平行四边形AOC1B，对角
线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B 的面
积为（ ）
A．cm2
B．cm2 C．
cm2
D．
cm2
5．如图，已知四边形ABCD 是矩形，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE．若DE：
AC=3：5，则
的值为（ ）
A． B．
C．
D．
9
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1．如图，在矩形ABCD 中，边AB 的长为3，点E，F 分别在AD，BC 上，连接BE，DF，EF，BD．若四
边形BEDF 是菱形，且EF=AE+FC，则边BC 的长为（ ）
A．2
B．3
C．6
D．
2．如图，P 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，E 是AD 的中点．若AB=6，AD=8，则四边形ABPE 的周
长为（ ）
A．14
B．16
C．17
D．18
3．已知矩形ABCD 的周长为20cm，两条对角线AC，BD 相交于点O，过点O 作AC 的垂线EF，分别交
两边AD，BC 于E，F（不与顶点重合），则以下关于△CDE 与△ABF 判断完全正确的一项为（
）
A．△CDE 与△ABF 的周长都等于10cm，但面积不一定相等
B．△CDE 与△ABF 全等，且周长都为10cm
C．△CDE 与△ABF 全等，且周长都为5cm
D．△CDE 与△ABF 全等，但它们的周长和面积都不能确定
4．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AC 的长是（ ）
A．2
B．4
C．
D．
5．矩形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O，∠AOD=120°，AC=8，则△ABO 的周长为（ ）
A．16 B．12
C．24
D．20
6．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，矩形OABC 中，A（10，0），C（0，4），D 为OA
的中点，P 为BC 边上一点．若△POD 为等腰三角形，则所有满足条件的点P 的坐标为
．
10
7．已知：平行四边形ABCD 的对角线交点为O，点E、F 分别在边AB、CD 上，分别沿DE、BF 折叠四
边形ABCD，A、C 两点恰好都落在O 点处，且四边形DEBF 为菱形（如图）．
（1）求证：四边形ABCD 是矩形；
（2）在四边形ABCD 中，求
的值．
8．在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F；求证：DF=DC．
9．如图，在矩形ABCD 中，E、F 分别是边AB、CD 的中点，连接AF，CE．
（1）求证：△BEC≌△DFA；
（2）求证：四边形AECF 是平行四边形．
10．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交
BC 于点M，交AD 于点N．
（1）求证：CM=CN；
（2）若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3：1，求
的值．
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参考答案：
当堂检测
1.
【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【分析】解：在矩形ABCD 中根据AD∥BC 得出∠DEF=∠EFB=60°，由于把矩形ABCD 沿EF 翻折点B
恰好落在AD 边的B′处，所以∠EFB=∠DEF=60°，∠B=∠A′B′F=90°，
∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，AB=A′B′，在△EFB′中可知∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°
故△EFB′是等边三角形，由此可得出∠A′B′E=90°﹣60°=30°，根据直角三角形的性
质得出A′B′=AB=2
，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：在矩形ABCD 中，
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB=60°，
∵把矩形ABCD 沿EF 翻折点B 恰好落在AD 边的B′处，
∴∠DEF=∠EFB=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，
AB=A′B′，
在△EFB′中，
∵∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°
∴△EFB′是等边三角形，
Rt△A′EB′中，
∵∠A′B′E=90°﹣60°=30°，
∴B′E=2A′E，而A′E=2，
∴B′E=4，
∴A′B′=2
，即AB=2
，
∵AE=2，DE=6，
∴AD=AE+DE=2+6=8，
∴矩形ABCD 的面积=AB•AD=2
×8=16
．
故选D．
2．
【考点】矩形的性质．菁优网版权所有
【分析】由于矩形ABCD 的面积等于2 个△ABC 的面积，而△ABC 的面积又等于矩形AEFC 的一半，所
以可得两个矩形的面积关系．
【解答】解：矩形ABCD 的面积S=2S△ABC，而S△ABC= S 矩形AEFC，即S1=S2，
故选B．
3．
【考点】矩形的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠BCP，然后求出∠MCP，再根据等边对等角求解即可．
【解答】解：∵以B、M 为圆心，分别以BC 长、MC 长为半径的两弧相交于P 点，
∴BP=BC，MP=MC，
∵∠PBC=70°，
∴∠BCP= （180°﹣∠PBC）= （180°﹣70°）=55°，
在长方形ABCD 中，∠BCD=90°，
13
∴∠MCP=90°﹣∠BCP=90°﹣55°=35°，
∴∠MPC=∠MCP=35°．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的四个角都是直角的性质，等腰三角形两底角相等的性质以及等边对等角，
是基础题．
4．
【考点】矩形的性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】规律型．
【分析】根据矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分可得下一个图形的面积是上一
个图形的面积的，然后求解即可．
【解答】解：设矩形ABCD 的面积为S=20cm2，
∵O 为矩形ABCD 的对角线的交点，
∴平行四边形AOC1B 底边AB 上的高等于BC 的，
∴平行四边形AOC1B 的面积= S，
∵平行四边形AOC1B 的对角线交于点O1，
∴平行四边形AO1C2B 的边AB 上的高等于平行四边形AOC1B 底边AB 上的高的，
∴平行四边形AO1C2B 的面积= × S=
，
…，
依此类推，平行四边形AO4C5B 的面积=
=
= （cm2）．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分的性质，得到下一个图
形的面积是上一个图形的面积的是解题的关键．
5．
【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【分析】根据翻折的性质可得∠BAC=∠EAC，再根据矩形的对边平行可得AB∥CD，根据两直线平行，
内错角相等可得∠DAC=∠BCA，从而得到∠EAC=∠DAC，设AE 与CD 相交于F，根据等角对
等边的性质可得AF=CF，再求出DF=EF，从而得到△ACF 和△EDF 相似，根据相似三角形对
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应边成比例求出
= ，设DF=3x，FC=5x，在Rt△ADF 中，利用勾股定理列式求出AD，再
根据矩形的对边相等求出AB，然后代入进行计算即可得解．
【解答】解：∵矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，
∴∠BAC=∠EAC，AE=AB=CD，
∵矩形ABCD 的对边AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠EAC=∠DCA，
设AE 与CD 相交于F，则AF=CF，
∴AE﹣AF=CD﹣CF，
即DF=EF，
∴
=
，
又∵∠AFC=∠EFD，
∴△ACF∽△EDF，
∴
=
= ，
设DF=3x，FC=5x，则AF=5x，
在Rt△ADF 中，AD=
=
=4x，
又∵AB=CD=DF+FC=3x+5x=8x，
∴
=
= ．
故选A．
家庭作业
1．
【考点】矩形的性质；菱形的性质．菁优网版权所有
【分析】根据矩形的性质和菱形的性质得∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，AB=BO=3，因为四边形BEDF 是
菱形，所以BE，AE 可求出进而可求出BC 的长．
【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠A=90°，
即BA⊥BF，
∵四边形BEDF 是菱形，
∴EF⊥BD，∠EBO=∠DBF，
∵EF=AE+FC，AE=CF，EO=FO
∴AE=EO=CF=FO，
15
∴AB=BO=3，∠ABE=∠EBO，
∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，
∴BE=
=2
，
∴BF=BE=2
，
∴CF=AE=
，
∴BC=BF+CF=3
，
故选：B．
2．
【考点】矩形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．菁优网版权所有
【分析】由矩形的性质得出∠ABC=90°，CD=AB=6，BC=AD=8，由勾股定理求出AC，由直角三角形
斜边上的中线性质得出BP，证明PE 是△ACD 的中位线，由三角形中位线定理得出PE=
CD=3，四边形ABPE 的周长=AB+BP+PE+AE，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ABC=90°，CD=AB=6，BC=AD=8，
∴AC=
=
=10，
∴BP= AC=5，
∵P 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，E 是AD 的中点，
∴AE= AD=4，PE 是△ACD 的中位线，
∴PE= CD=3，
∴四边形ABPE 的周长=AB+BP+PE+AE=6+5+3+4=18；
故选：D．
3．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【分析】根据矩形的性质，AO=CO，由EF⊥AC，得EA=EC，则△CDE 的周长是矩形周长的一半，再根
据全等三角形的判定方法可求出△CDE 与△ABF 全等，进而得到问题答案．
【解答】解：∵AO=CO，EF⊥AC，
∴EF 是AC 的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴△CDE 的周长=CD+DE+CE=CD+AD= 矩形ABCD 的周长=10cm，
同理可求出△OBF 的周长为10cm，
根据全等三角形的判定方法可知：△CDE 与△ABF 全等，
故选：B．
16
4．
【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻
的两个内角的和求出∠OCD=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的
一半解答．
【解答】解：在矩形ABCD 中，OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠AOD=60°，
∴∠OCD= ∠AOD= ×60°=30°，
又∵∠ADC=90°，
∴AC=2AD=2×2=4．
故选B．
5．
【考点】矩形的性质．菁优网版权所有
【分析】根据矩形性质求出AO=BO=4，得出等边三角形AOB，求出AB，即可求出答案．
【解答】解：
∵四边形ABCD 是矩形，AC=8，
∴AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，
∴AO=BO=4，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB 是等边三角形，
∴AB=AO=4，
∴△ABO 的周长是4+4+4=12，
故选B．
6．
【考点】矩形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的判定；勾股定理．菁优网版权所有
【分析】由矩形的性质得出∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，求出OD=AD=5，分情况讨论：①当
PO=PD 时；②当OP=OD 时；③当DP=DO 时；根据线段垂直平分线的性质或勾股定理即可求
出点P 的坐标．
【解答】解：∵四边形OABC 是矩形，
∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，
∵D 为OA 的中点，
∴OD=AD=5，
17
①当PO=PD 时，点P 在OD 得垂直平分线上，
∴点P 的坐标为：（2.5，4）；
②当OP=OD 时，如图1 所示：
则OP=OD=5，PC=
=3，
∴点P 的坐标为：（3，4）；
③当DP=DO 时，作PE⊥OA 于E，
则∠PED=90°，DE=
=3；
分两种情况：当E 在D 的左侧时，如图2 所示：
OE=5﹣3=2，
∴点P 的坐标为：（2，4）；
当E 在D 的右侧时，如图3 所示：
OE=5+3=8，
∴点P 的坐标为：（8，4）；
综上所述：点P 的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）；
故答案为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）．
7．
【考点】矩形的判定．菁优网版权所有
【分析】（1）根据矩形的判定定理，先证DE=BE，再证∠DOE=90°，则可证．
（2）根据已知条件和（1）的结论，先求得AD：AB，易求解
的值．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴DO=OB，
∵四边形DEBF 是菱形，
∴DE=BE，
18
∴EO⊥BD，
∴∠DOE=90°，
即∠DAE=90°，
又四边形ABCD 是平行四边形，
∴四边形ABCD 是矩形．
（2）解：∵四边形DEBF 是菱形，
∴∠FDB=∠EDB，
又由题意知∠EDB=∠EDA，
由（1）知四边形ABCD 是矩形，
∴∠ADF=90°，即∠FDB+∠EDB+∠ADE=90°，
则∠ADB=60°，
∴在Rt△ADB 中，有AD：AB=1：
，
又BC=AD，
则
．
8．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】证明题．
【分析】根据矩形的性质和DF⊥AE 于F，可以得到∠DEC=∠AED，∠DFE=∠C=90，进而依据AAS 可
以证明△DFE≌△DCE．然后利用全等三角形的性质解决问题．
【解答】证明：连接DE．
∵AD=AE，
∴∠AED=∠ADE．
∵有矩形ABCD，
∴AD∥BC，∠C=90°．
∴∠ADE=∠DEC，
∴∠DEC=∠AED．
又∵DF⊥AE，
∴∠DFE=∠C=90°．
∵DE=DE，
∴△DFE≌△DCE．
∴DF=DC．
19
9．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．菁优网版权所有
【专题】证明题．
【分析】（1）根据E、F 分别是边AB、CD 的中点，可得出BE=DF，继而利用SAS 可判断
△BEC≌△DFA；
（2）由（1）的结论，可得CE=AF，继而可判断四边形AECF 是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
又∵E、F 分别是边AB、CD 的中点，
∴BE=DF，
∵在△BEC 和△DFA 中，
，
∴△BEC≌△DFA（SAS）．
（2）由（1）得，CE=AF，AD=BC，
故可得四边形AECF 是平行四边形．
10．
【考点】矩形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【分析】（1）由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM，由四边形ABCD 是矩形，可得∠ANM=∠CMN，则可
证得∠CMN=∠CNM，继而可得CM=CN；
（2）首先过点N 作NH⊥BC 于点H，由△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3：1，易得
MC=3ND=3HC，然后设DN=x，由勾股定理，可求得MN 的长，继而求得答案．
【解答】（1）证明：由折叠的性质可得：∠ENM=∠DNM，
即∠ENM=∠ENA+∠ANM，
∠DNM=∠DNC+∠CNM，
∵∠ENA=∠DNC
∴∠ANM=∠CNM，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ANM=∠CMN，
∴∠CMN=∠CNM，
∴CM=CN；
（2）解：过点N 作NH⊥BC 于点H，
则四边形NHCD 是矩形，
∴HC=DN，NH=DC，
∵△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3：1，
20
∴
=
=
=3，
∴MC=3ND=3HC，
∴MH=2HC，
设DN=x，则HC=x，MH=2x，
∴CM=3x=CN，
在Rt△CDN 中，DC=
=2
x，
∴HN=2
x，
在Rt△MNH 中，MN=
=2
x，
∴
=
=2
．
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