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【中点辅助线小结】题集【A】
1. 特殊三角形的中点辅助线
遇到等腰三角形底边中点：
等腰三角形+底边中点：连中线构造三线合一。
结论：出现两个直角三角形
遇到直角三角形斜边中点：
辅助线：连中线构造斜边中线。
结论：出现两个等腰三角形
1.
【解析】
如图所示，在等腰直角三角形
中，
，
为
边上的中点，过
点作
，
交
于点
，交
于点
．若
，
，求
的长．
【答案】 .
延长
至
，使
，连接
、
、
．
2
【标注】
显然
≌
，
∴
，
∴
，
∴
，∴
．
在
中，
，
，∴
．
易证
≌
，∴
．
【知识点】倍长（类）中线
E
D
A
B
C
M
2.
【解析】
如图，已知：
和
都是直角三角形，且
，
．连接
，设
为
的中点．求证：
．
【答案】证明见解析．
如图，分别取
、
的中点
、
，
E
D
A
P
B
Q
C
M
连接
、
、
、
，
由
、
、
分别是
、
、
的中点，
∴
，
，
，
，
3
【标注】
∵
、
是直角三角形，
∴
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
由
，
，可得
是平行四边形，
∴
，
∴
，
∴
≌
，
∴
．
【知识点】全等三角形的对应边与角
3.
【解析】
如图，在平面直角坐标系中，点
为坐标原点，
是边长为
的正三角形，点
、
分别在轴
的正半轴、轴的正半轴上滑动，点
在第一象限，连接
，则线段
的长的最大值是 ．
x
y
O
【答案】
取
的中点
，连接
、
，如图所示．
∵
为直角三角形，
为
的中点，
∴
，
∵
是边长为
的正三角形，
为
的中点，
4
【标注】
∴
．
在
中，
．
当点
、
、
三点共线时，
最大，
此时
．
故答案为：
．
【知识点】作辅助线构造直角三角形斜边中线
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，
是
的角平分线，
于
，
平分
的外角，
于
求证：
．
若
，
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
延长
交
于点
，延长
交
延长线于点
，
则
，
，
∴
．
．
【知识点】角分线有关的辅助线
5. 如图，正方形
中，
、
分别为
，
的中点，
相交于点
，求证：
．
、
5
【解析】
【答案】证明见解析．
分别延长
，
交于
点，
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
，
∵
是
中点，
是
中点，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
，
∵
是
的中点，
，
∴
，
，
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
，
在
中，
，
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【标注】
∴
．
【知识点】正方形与全等综合
2. 一般图形中的中点辅助线
遇到任意三角形一边中线：
1、三角形与中线：
辅助线：倍长中线构造8字全等（SAS）
方法：延长
到点
，使
，连接
（或
）
结论：①
②
2、三角形与类中线:
辅助线：倍长类中线构造8字全等（SAS）
方法：延长
到点
，使
，连接
结论：①
②
≌
≌
遇到平行线+所截线段的中点：
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辅助线：有中点，有平行，延长构造"8"字形
已知：
，
是
中点
方法：延长
与
交于点
。
结论： ①
②
≌
或
遇到一堆中点，构造中位线
辅助线：两中点，等线段，取中点构造中位线
方法：取对角线
中点
，连接
结论：①
是
中位线
是
中位线
②
是等腰三角形
、
A. 互相垂直
B. 相互平分
C. 互相垂直
D. 以上结论都不成立
1.
【解析】
三角形的一条中位线与第三边的中线之间的关系是（ ）．
【答案】B
如图，
已知：
中
为边
的中线，
为
的中位线．
求证：
与
互相平分．
证明：∵
为
的中位线，
∴
，
，
8
【标注】
∵
为
边上的中线，
∴
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
与
互相平分．
【知识点】中位线定理及其应用
2.
【解析】
【标注】
如图，
、
分别为
的边
、
的中点，求证：
且
．
【答案】证明见解析．
延长
至
，使
，连接
，
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
，
．
【知识点】全等三角形的对应边与角
3. 如图，在四边形
中（
与
不平行），
，
分别为
、
的中点，则
与
的关系是（ ）．
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A.
B.
C.
D. 不确定
【解析】
【标注】
【答案】C
∵
，
分别为
、
的中点，
是
的中点，
∴
，
，
在
中，
，
∴
，
∴
．故选C．
【知识点】与三边关系有关的证明；构造中位线
4.
方法一：
【解析】
已知：如图，梯形
中，
，
为
中点，
平分
，
．
求证：
平分
．
【答案】证明见解析．
在
上截取
，连接
．
易证
≌
，则
；
又
为
中点，故
；
又
，得
；
故证得
≌
，因此
，
平分
．
10
方法二：
【标注】
延长
至
，使得
，连接
．
易证
≌
，故
，
又
，故
，故
，
即
，因此
，
，
三点共线．
又
，故可证
．
故
≌
，因此
，即
平分
，得证．
【知识点】利用平行线+中点构造全等
1
2
（1 ）
（2 ）
5. 在
中，
，
为线段
上一点，
，
为射线
上一点，且
，连接
．
图
图
如图，
依题意补全图形．
若
，
，求
的长．
如图，若
，连接
并延长，交
于点
，求证：
．
【答案】
1
（1 ）
画图见解析．
11
1
2
（1 ）
（2 ）
【解析】
2
（2 ）
．
证明见解析．
∵
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴在
中，
，
∴
，
∵
，
，
∴
．
如图，过
作
，交
的延长线于点
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
在
与
中，
，
∴
≌
，
∴
，
又∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
为
的中点，
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【标注】
∵
，
∴
，
，
在
与
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
为等腰三角形，
∴
，
∴
为
的中点，
∴
，
∴
．
【知识点】多解或多种判定混合
