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1
二次函数章节复习【题集A】
1. 选择
A. ①②③④
B. ①②③
C. ①③④
D. ②④
1.
【解析】
【标注】
在平面直角坐标系
中，抛物线
经过点
，
，则下列说法正确的是（
）．
①抛物线与轴有交点；
②若抛物线经过点
，则抛物线的开口向上；
③抛物线的对称轴不可能是
；
④若抛物线的对称轴是
，则抛物线与轴有交点．
【答案】A
①根据二次函数图象性质，图象始终与轴有交点，①正确；
②当抛物线过
，
时，
可知对称轴
，
若
，抛物线在
处取最大值，
过
，在
右侧，随增大而减小，
∴不会经过
，
∴抛物线开口向上，②正确；
③若对称轴
，
则
的对称点为
，
∵抛物线过
，
∴对称轴不可能是
，③正确；
④∵对称轴
，
∴
关于
对称的对称点为
，
在对称轴右侧，随增大而减小，
∴
，
∴抛物线与轴有交点，④正确．
故选
．
【知识点】二次函数与坐标轴交点
【能力】推理论证能力
2
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
如图，垂直于轴的直线
分别与抛物线
：
和抛物线
：
交于
，
两点，过点
作
轴分别与轴和抛物线
交于点
，
，过点
作
轴分别与轴和
抛物线
交于点
，
，则
的值为（ ）．
【答案】D
设点
、
横坐标为，则点
纵坐标为
，点
的纵坐标为
，
∵
轴，
∴点
纵坐标为
，
∵点
是抛物线
上的点，
∴点
横坐标为
，
∵
轴，
∴点
纵坐标为
，
∵点
是抛物线
上的点，
∴点
横坐标为
，
∴
，
，
，
，
3
【标注】
∴则
．
【知识点】二次函数与面积
A.
B.
C.
D.
3.
【解析】
【标注】
二次函数
的最小值是（ ）．
【答案】B
配方得：
，
当
时，二次函数
取得最小值为．
【题型】二次函数其他最值问题
A.
B.
C.
D.
4.
【解析】
如图是二次函数
图象的一部分，且过点
，二次函数图象的对称轴是直线
，下列结论正确的是（ ）．
y
O
x
【答案】D
∵抛物线与轴有两个交点，
∴
，即
，故
选项错误．
∵抛物线开口向上，
∴
，
∵抛物线与轴的交点在轴下方，
∴
，
∴
，故选项错误．
∵二次函数图象的对称轴是直线
，
∴
，
∴
，故选项错误．
4
【标注】
∵抛物线过点
，二次函数图象的对称轴是
，
∴抛物线与轴的另一个交点为
，
∴
．
故
选项正确．
【题型】图象与系数的关系
A.
B.
C.
D. 无法确定
5.
【解析】
【标注】
已知二次函数
，当
时，函数值为
，当
时，函数值为
，若
，则
、
的大小关系是（ ）．
【答案】A
由题可知，该抛物线的开口向下，对称轴为直线
，图象上越靠近对称轴的点对应的
函数值越大．
故选
．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c 的增减性
A.
B.
C.
D.
6.
【解析】
函数
和
在同一平面直角坐标系内的图象大致是（ ）．
【答案】C
因为
过第一、二、四象限，
所以
，
，
5
因为
，由图象得
，
，
，故
错误；
过第一、二、三象限，
所以
，
，
由图象得
，
，
，故错误；
过第一、三、四象限，
所以
，
，
因为
由图象得
，
，
，故正确；
过第一、三、四象限，
所以
，
，
因为
由图象得
，
，
，故
错误．
A.
B.
C.
D.
7.
x
y
O
A
【解析】
【标注】
设
，
，
是抛物线
上的三点，则
，
，
的大小
关系为（ ）．
【答案】A
∵函数的解析式是
，如有图，
∴对称轴是
，
∴点
关于对称轴的点
是(
)，
那么点
，
、
都在对称轴的右边，而对称轴右边随的增
大而减小，于是
．
故选
．
【题型】二次函数增减性
A. 大于
B. 等于
C. 小于
D. 不能确定
8. 二次函数
和正比例函数
的图象如图所示，则方程
的两根之和（ ）．
6
【解析】
【标注】
【答案】A
解法一：
由函数图象可知，方程
的两根为函数
和函数
的交点横坐标，
易得，两根之和大于．
解法二：
设
的两根为
，
．
∵由二次函数的图象可知
，
，
∴
．
设方程
的两根为
，
，
则
，
∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】二次函数与一元二次方程的关系
2. 填空
1. 如图，将二次函数
（其中
）的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分
保持不变，形成新的图象记为
，另有一次函数
的图象记为
，则以下说法：
①当
，且
与
恰好有三个交点时，有唯一值为；
②当
，且
与
恰有两个交点时，
或
；
③当
时，
与
至少有个交点，且其中一个为
；
④当
时，
与
一定有交点．
其中正确说法的序号为 ．
7
【解析】
【标注】
【答案】②③
①当
，且
与
恰好有三个交点时，有唯一值为，
故（）错误；
②当
，且
与
恰有两个交点时，
或
，故（）正确；
③当
时，
与
至少有个交点，且其中一个为
故（）正确；
④当
时，
与
没有交点，故（）错误；
故答案为：（），（）．
【知识点】一次函数与二次函数的交点
2.
【解析】
【标注】
给出下列函数：①
；②
；③
；④
，上述函数中符合条件“当
时，函数值随自变量增大而减小”的是 ．
【答案】①②
①中
，
∵
，由一次函数性质可知，
∴
在
时，随的增大而减小，符合题意；
②中
，
∵
且
在第一象限，
∴
在
时，随增大而减小，符合题意；
③中
，
∵二次函数
，
∴在对称轴轴右侧，随增大而增大．
∴
在
时，随增大而增大，不符合题意；
④中
，
∵
，由一次函数性质可知，
∴
在
时，随增大而增大，不符合题意．
故选①②．
【能力】运算能力
【知识点】反比例函数增减性
【知识点】一次函数的图象特征与性质
【知识点】一次函数的增减性
【知识点】正比例函数图象与性质
8
3.
【解析】
【标注】
二次函数
的最小值为 ．
【答案】
二次函数
的图象开口向上，顶点坐标为
，故最小值为
．
【知识点】二次函数y=a（x-h)^2+k的图象和性质
4.
【解析】
【标注】
如图，图中二次函数解析式为
，则下列命题中正确的有 （填序
号）．
①
；②
；③
；④
．
【答案】①③④
①∵抛物线开口向上，抛物线的对称轴在轴右侧，抛物线与轴交于轴负半轴，
∴
，
，
，
∴
，
，①正确；
②∵抛物线与轴有两个不同交点，
∴
，
，②错误；
③当
时，
，③正确；
④∵
，
∴
，
∴
，④正确．
故答案为：①③④．
【知识点】一元二次方程根的判别式
5. 已知自变量为的二次函数
经过
，
两点，若方程
的一个根为
，则其另一个根为 ．
9
【解析】
【标注】
【答案】
或
对于二次函数
，
时，
，
∴
或
，
①当
时，对称轴为
，∴另一个根为
，
②当
时，对称轴为
，∴另一个根为
．
【知识点】二次函数与一元二次方程的关系
6.
【解析】
如图，二次函数
（
）的图象过点
，下列结论：①
；②
；③
；④
；⑤
，正确的结论是 ．（只填序
号）
【答案】①④⑤
①∵抛物线开口向上，
∴
，
∵
∴
，
又∵抛物线与轴交于负半轴，
∴
，
∴
．
故①正确；
②∵
时，
，
∴
，故②错误；
③∵
，
，
∴
，
10
【标注】
∴
．
故③错误；
④∵抛物线过点
，
∴
∴
∵
，
∴
∴
，
故④正确；
∵
且
，
∴
∴
成立，
故⑤正确．
故答案为：①④⑤．
【题型】图象与系数的关系
7.
【解析】
【标注】
如图，二次函数
的图象与轴的交点
坐标为
，顶点
的坐标为
，若
，则
．
【答案】
∵
，顶点
，且
，
∴二次函数可写成
的形式，
∴
，
∴
．
【知识点】二次函数与坐标轴交点
11
8.
【解析】
【标注】
如图，一段抛物线：
（
）记为
，它与轴交于两点
，
；将
绕
旋转
得到
，交轴于
；将
绕
旋转
得到
，交轴于
；…如此进行下去，直至得
到
，若点
在第段抛物线
上，则
．
【答案】
∵
（
），
∴配方可得
（
），
∴顶点坐标为
，
∴
坐标为
．
∵
由
旋转得到，
∴
，即
顶点坐标为
，
；
照此类推可得，
顶点坐标为
，
；
顶点坐标为
，
；
顶点坐标为
，
；
顶点坐标为
，
；
∴
．
【知识点】二次函数与找规律
3. 解答
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1. 在平面直角坐标系
中，抛物线
．
求抛物线的对称轴．
若抛物线过点
，求二次函数的表达式．
将点
沿轴向右平移个单位得到点
，若抛物线与线段
始终有两个公共点，结合
函数的图象，求的取值范围．
【答案】（1 ）
．
12
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
（2 ）
（3 ）
．
或
．
，
∴抛物线的对称轴为
．
把
，
代入
得，
，
解得
．
∴
．
∵点
的坐标为
，又点
沿轴向右平移个单位得到点
，
∴点
的坐标为
．
∵抛物线与线段
始终有两个公共点．
当
时，把
代入
，得
．
∴
．
当
时，将点
代入
，得
，
∴
，
当抛物线与线段
始终有两个公共点时，
或
．
【知识点】动直线（线段）与动抛物线交点问题
13
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，已知在平面直角坐标系
中，直角梯形
的边
在轴的正半轴上，
在轴的正半
轴上，
，
，过点
作
，交
于点
．将
绕点
按顺时针方
向旋转，角的两边分别交轴的正半轴、轴的正半轴于点
和
．
x
y
O
求经过
、
、
三点的抛物线的解析式．
当
经过（）中抛物线的顶点时，求
的长．
在抛物线的对称轴上取两点
、
（点
在点
的上方），且
，要使四边形
的
周长最小，求出
、
两点的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
点
的坐标为
，点
的坐标为
．
由题意得
、
、
．
设经过
，
，
三点的抛物线的解析式为
．
则
，
解得
．
∴
．
由
．
∴顶点坐标为
．
过
作
，垂足为
．
14
（3 ）
【标注】
x
y
O
则
，
．
∵
，
，
∴
．
∴
是
的中位线．
∴
．
过
作
，垂足为
．
则
．
∵
，
∴
．
∴
≌
．
∴
．
∵
，
∴
．
要使四边形
的周长最小，可将点
向上平移一个单位，再做关于对称轴对称的对称
点
，
y
O
x
得点
的坐标为
．
可求出直线
的解析式为
．
直线
与对称轴
的交点即为点
，坐标为
．
点
的坐标为
．
【知识点】二次函数与轴对称问题
15
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
某商店购进一批单价为元的商品，如果按每件
元出售，那么每天可销售
件，经调查发现，这
种商品的销售单价每提高元，其销售量相应减少
件．
求销售量件与销售单价
元之间的关系式．
当销售单价定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1 ）
（2 ）
．
当
元时，利润最大，最大值为
元．
依题意可得，
．
设销售利润我，依题意可得，
．
，
当
元时，利润最大，最大值为
元．
【知识点】二次函数的利润问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4. 若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线
与
为“友好抛物线”．
求抛物线
的解析式．
点
是抛物线
上在第一象限的动点，过
作
轴，
为垂足，求
的最大值．
设抛物线
的顶点为
，点
的坐标为
，问在
的对称轴上是否存在点
，使线段
绕点
逆时针旋转
得到线段
，且点
恰好落在抛物线
上？若存在求出点
的
坐标，不存在说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
16
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
（3 ）
或
．
∵
，
∴抛物线
的顶点坐标为
．
∵抛物线
与
顶点相同，
∴
，
．
解得：
，
．
∴抛物线
的解析式为
．
如图所示：
图
设点
的坐标为
．
∵
，
，
∴
．
∴当
时，
有最大值，最大值为
．
如图所示；连接
，过点
作
，垂足为
．
图
∵
，
，抛物线的对称轴为
，
∴
，
．
∵
，
17
【标注】
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
．
∴
，
．
设点
的坐标为
．则
，
．
∴点
的坐标为
．
∴
．
整理得：
．
解得
，或
．
当
时，
的坐标为
，如图，
当
时，
的坐标为
，如图，
图
综上所述当点
的坐标为
或
时，
恰好落在抛物线
上．
【知识点】二次函数与全等三角形结合
