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1
二次函数章节复习【题集B】
1. 选择
A.
或
B.
或
C.
D.
1.
【解析】
【标注】
已知二次函数
（其中是自变量），当
时，随的增大而增大，且
当
时，的最大值为，则的值为（ ）．
【答案】D
∵二次函数
（其中是自变量），
∴对称轴是直线
，
∵当
时，随的增大而增大，
∴
，
∵当
时，的最大值为，
∴当
时，
，
∴
，
∴
，或
（不合题意舍去）．
故选：
．
【知识点】给定范围求二次函数最值
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
【标注】
抛物线
的顶点坐标是（ ）．
【答案】B
是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为
．
【题型】顶点坐标
3. 如图，抛物线
的顶点坐标为
，与轴交于点
，与轴的交点在
，
之间（包含端点），则下列结论：
2
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
【解析】
①
；
②
；
③对于任意实数
，
总成立；
④关于的方程
有两个不相等的实数根；
其中结论正确的个数为（ ）．
【答案】D
①由图象可知，抛物线开口向下，
，
对称轴
，
∴
，
∴
，故①正确；
②∵抛物线与轴交点为
，所以另一个交点为
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，即
，故②对；
③由于顶点坐标为
，
∴当
时，
，
当
时，此时
，
∴
，
即
总成立，故③正确．
④当
时，此时直线
与抛物线
只有一交点，当
时，此时直
线
与抛物线
两个交点，
∴关于的方程
有两个不相等的实数根，故④正确．
3
【标注】【知识点】二次函数与坐标轴交点
【能力】运算能力
【能力】推理论证能力
A.
B.
C.
D.
4.
【解析】
【标注】
若将抛物线
先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则所得到的抛物线的顶
点坐标是（ ）．
【答案】A
将抛物线
先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到
，整理得
，该抛物线的顶点坐标是
．
故选
．
【知识点】二次函数平移变换
【能力】运算能力
A.
B.
C.
D.
5.
【解析】
如图，在平面直角坐标系中，
、
、
三点的坐标分别为
，
，
，点
为线段
上的一个动点，连接
，过点
作
交轴于点
，当点
从
运动到
时，点
随之
运动．设点
的坐标为
，则的取值范围是（ ）．
【答案】B
如图，延长
交轴于
点，则
轴．连接
．
在
与
中，
∴
，
∴
，
4
【标注】
设
，则
，设
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
时，有最大值
，此时
，
时，有最小值，此时
，
∴的取值范围是
．
故选：.
【知识点】一线三等角相似
A.
B.
C.
D.
6.
【解析】
【标注】
下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）．
【答案】C
是一次函数，
错误；
，当
时，不是二次函数，错误；
是二次函数，正确；
不是二次函数，
错误．
【知识点】二次函数的定义
A.
B.
C.
D.
或
7.
【解析】
对于二次函数
，当
时的函数值总是非负数，则实数
的取值范围为（
）．
【答案】A
二次函数对称轴为直线
，
，
① 当对称轴
，即
时，
满足当
时的函数值总是非负数，
5
【标注】
② 当对称轴
，即
时，
当
时，
，
满足当
时的函数值总是非负数，
∴当
，
时的函数值总是非负数，
③ 当对称轴
，即
时，
如果满足当
时的函数值总为非负数，
则有
时，
，
，
得
，
此情况
无解，
综上所述，当
，
时的函数值总是非负数，
故
正确．
【知识点】利用二次函数对称性解决取值问题
A.
B.
C.
D.
8.
A
选项：
B
选项：
C
选项：
D
选项：
【解析】
【标注】
已知二次函数
的图象如图，则下列结论正确是（ ）．
【答案】B
当
时，
；
且
，∴
；
，则
；
且
，则
．
故选
B
.
【题型】图象与系数的关系
6
2. 填空
1.
【解析】
如图，抛物线
的对称轴是直线
，与轴的交点是
，与轴相交于
，
两点，有以下结论：
①
；②
；③
；④当
时，的值随值的增大而增大．
其中正确结论的个数有 个．
【答案】
如图所示：
①∵图象与轴交点为
，
∴
，
，
故①错误；
②由图可知，抛物线与轴交于两点，
∴
，
故②错误；
③由图可知，当
是，的值大于，
∴
，
故③正确；
④由图可知，当
时，的值随增大而增大，
故④正确．
故正确答案有个．
7
【标注】【知识点】关于a、b、c代数式的取值问题
2.
【解析】
如图，在平面直角坐标系中，抛物线
的顶点为
，与轴分别交于
、
两点，过顶点
分别作
轴于点
，
轴于点
，连接
，交
于点
，则
与
的面积
和为 ．
x
y
O
【答案】
∵
，
∴顶点
，
∵
、
轴，
∴
、
，
令
，得：
，
解得：
或
，
则
，
∴
，
∴
，
则
，
8
【标注】
故答案为：．
【知识点】二次函数与面积
3.
【解析】
【标注】
如图，在平面直角坐标系中，抛物线
交轴的负半轴于点
．点
是轴正半轴上一点，
点
关于点
的对称点
恰好落在抛物线上．过点
作轴的平行线交抛物线于另一点
．若点
的
横坐标为，则
的长为 ．
x
y
O
【答案】
当
时，
，解得
，
，则
，
∵点
关于点
的对称点为
，点
的横坐标为，
∴点
的坐标为
，
∴抛物线解析式为
，
当
时，
，则
，
当
时，
，解得
，
，则
，
∴
的长为
．
【知识点】二次函数与轴对称问题
4.
【解析】
【标注】
请写出一个二次函数的解析式，满足过点
，且与轴有两个不同的交点 ．
【答案】
设解析式：
，
．
【知识点】二次函数一般式
5. 如图，抛物线
的对称轴为直线
，下列结论中：
9
x
y
O
【解析】
【标注】
①
；②
；③
；④
，
正确的结论是 ．（只填序号）
【答案】②③④
∵抛物线开口向下
∴
，
∵对称轴为
∴
∴
，
∵抛物线与轴交点在轴正半轴，
∴
，
∴
，故①错误；
∵由图象得
时
，
∴
， 故②正确；
∵图象与轴有两个交点，
∴
，故③正确；
∵
，
∴
，故④正确，
故答案为②③④．
【思想】数形结合思想
【能力】运算能力
【知识点】一元二次方程根的判别式
6. 如图，已知抛物线
与轴、轴正半轴分别交于点
，
，
，且点
的坐标为
，点
在抛物线上，且与点
的纵坐标相等，点
在轴上，且
，连接
，取
的
中点
，则
的长为 ．
10
【解析】
【答案】
∵
过
∴
∴
∴
令
，则
∴
∴
，
∴
，
令
，则
，故
∵
与
纵坐标等
∴
∴
∴
∴
连
，
∵
为
中点，
，
∴
∵
，
∴
∴
．
11
【标注】【知识点】二次函数与坐标轴交点
7.
【解析】
二次函数
的图象如图所示，给出下列结论：①
；②
；③若
，则
；④
．其中正确的结论是 （写出你认
为正确的所有结论序号）．
【答案】①③④
∵抛物线开口向下，∵
，∴
，
对称轴
，
，∴
故选项①正确；
∵
，∴
，
令抛物线解析式为
此时
，欲使抛物线与轴交点的横坐标分别为
和，
则
，解得：
，
∴抛物线
，
符合“开口向下，与轴的一个交点的横坐标在与之间，
对称轴在直线
右侧”的特点，而此时
，（其实
，
，
都有可能），
故②选项错误；
∵
，
，
∴抛物线对称轴为：
，
，
，
故选项③正确；
12
【标注】
当
时，
，
，
，
∴
，∴
，
∵
，
，
，
∴
，故④选项正确．
故答案为：①③④．
【题型】图象与系数的关系
8.
【解析】
【标注】
定义：关于的函数
与
（其中
）叫做互为交换函数，若这两个
函数图象的顶点关于轴对称，那么
，满足的关系式为 ．
【答案】
函数
的顶点坐标为：
．
的顶点坐标为：
，
由于这两个函数图象的顶点关于轴对称．
则
．
解得：
．
故答案为：
．
【题型】图象与系数的关系
3. 解答
1. 如图，二次函数
的图象与轴交于点
，
，与轴交于点
，点
的坐标为
，
是抛物线上一点（点
与点
，
，
不重合）．
13
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
，点
的坐标是 ．
设直线
与直线
相交于点
，是否存在这样的点
，使得
，若存在，
求出点
的横坐标．若不存在，请说明理由．
连接
、
，判断
和
的数量关系，并说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
存在，点
的横坐标为
或
；证明见解析．
，证明见解析．
∵点
在二次函数
的图象上，
∴
，
∴
，
当
时，有
，
解得：
，
，
∴点
的坐标为
．
当
时，
，
∴点
的坐标为
，
设直线
的解析式为
（
），
将
，
代入
中，
得：
，解得：
，
∴直线
的解析式为
．
假设存在，设点
的坐标为
．
①当点
，
在直线
的异侧时，点
的坐标为
，
∵点
在抛物线
上，
∴
整理，得：
，
∵
，
∴方程无解，即不存在符合题意得点
②当点
，
在直线
的同侧时，点
的坐标为
，
∵点
在抛物线
上，
14
（3 ）
∴
，
整理，得：
，
解得：
，
，
∴点
的横坐标为
或
，
综上所述：存在点
，使得
，点
的横坐标为
或
．
．
理由：作
的角平分线，交轴于点
，过点
作
于点
，如图所示：
∵点
，点
，
∴
，
，
，
设
，则
，
，
由面积法，可知：
，
即
，
解得：
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
15
【标注】【知识点】二次函数与相似三角形结合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
【解析】
如图，点
，以点
为圆心、为半径的圆与轴交于点
，
．已知抛物
过点
和
，与轴交于点
．
求点
的坐标，并画出抛物线的大致图象．
点
在抛物线
上，点
为此抛物线对称轴上一个动点，求
最小值．
是过点
的⊙
的切线，点
是切点，求
所在直线的解析式．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
的最小值
．
的解析式为
或
．
由已知，得
，
，
∵抛物线
过点
和
，
则
，
解得
，
则抛物线的解析式为
，
故
．
16
（2 ）
（3 ）
【标注】
（说明：抛物线的大致图象要过点
、
，其开口方向、顶点和对称轴相对准确）
如图①，抛物线对称轴是
，
∵
在抛物线上，
∴
．过点
作
轴于点
，则
，
，
，
∴
，
又∵
与
关于对称轴对称，
∴
的最小值
．
如图②，连接
和
．
由已知，得
，
∵
是
的切线，
∴
，
则
，
又∵
，
故
≌
，
∴
，
，
又在
和
中，
，
，
则
，
设
所在直线的解析式为
，
过点
，
，
∴
，
解得
，
直线
的解析式为
，
又∵直线
过原点
，且
，
∴
的解析式为
或
．
【知识点】一次函数与全等三角形结合
3.
17
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，抛物线
（
）与轴交于
，
两点，交轴于点
，其中
，
．
求抛物线的解析式．
点
是线段
上方抛物线上一动点（不与
，
重合），过点
作
轴，垂足为
，交
于点
，作
直线
于点
，设点
的横坐标为，
的周长记为，求关于的
函数关系式，并求出的最大值及此时点
的坐标．
点
是直线
上一点，该抛物线的对称轴上一动点
，连接
，
，则两线段
，
的长度之和的最小值等于 ，此时点
的坐标为 ．（直接写出答案）
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
，
．
;
由题可得
，
∴
，
∴抛物线的解析式为：
．
∵
，对称轴：直线
，
最大
18
（3 ）
【标注】
∴
，
，
，
，
∵
轴，∴
，
又∵
，∴
，
∵
，∴
，
∴
，∴
，
∴直线
：
，可知
，（
），
∴
，∴
，
∴
，∴
（
），
即
（
），
当
时，
，
此时
．
如图，作点
关于对称轴的对称点
，作
交对称轴于
．
∵
．
∴
．
∴
．
∴
；
∵
．
∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
【知识点】二次函数与动点问题
最大
19
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
在平面直角坐标系
中，直线
经过点
，与轴交于点
，与抛物线
的对称轴交于点
．
求
的值．
求抛物线的顶点坐标．
是线段
上一动点，过点
作垂直于轴的直线与抛物线交于点
，
（点
在点
的左侧）．若
恒成立，结合函数的图象，求的取值范
围．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
∵
经过点
，
∴
，
∵直线
与抛物线
的对称轴交于点
，
∴
．
由（1）得，抛物线
的对称轴为直线
，
∴
，即
，
∴
，
∴抛物线的顶点坐标为
．
当
时，如图，
若抛物线过点
，
则
，
结合函数图象可得
，
当
时，不符合题意，
20
【标注】
综上所述，的取值范围是
．
【知识点】动直线（线段）与动抛物线交点问题
