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中位线与中点四边形 题集【A】
1. 中位线定理
中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
如图，在
中，
、
分别是
、
的中点，连接
，则
即为
的中位线．
【注意】三角形的中位线与中线不一样，
中线是连接三角形的顶点与其对边中点的线段，顶点——中点
而构成中位线需要两个中点，中点——中点．
中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
如图，在
中，点
分别为边
的中点，则
，
．
符号语言：
，且
提供了证明线段平行以及线段成倍分关系的根据
、
、
，
【拓展】:
如图
中，
分别为各边中点
（1）三角形有几条中位线？
（2）
的周长与原三角形的周长之间有什么数量关系？
，
，
2
（3）图中有平行四边形吗？有哪些？
（4）三角形的三条中位线所分的4个三角形之间有什么关系
1.
【解析】
【标注】
如图，已知
中，点
，
分别是
和
的中点，求证：
，且
．
【答案】证明见解析．
延长
到点
，使
，连接
．
∵
，
，
∴
≌
．
∴
，
．
∴
．
又∵
，
∴
．
∴四边形
是平行四边形．
∴
．
∴
，且
．
【知识点】三角形的中位线
【知识点】平行四边形的判定及应用
【知识点】平行四边形的性质及应用
【能力】推理论证能力
2. 在
中，点
是
边上的中点，
，求证：
是
的中位线．
3
【解析】
【标注】
【答案】证明见解析．
延长
到点
，使
，连接
．
∵
，
，
∴
≌
．
∴
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴四边形
是平行四边形．
∴
，
∴
，
∴
是
的中位线．
【知识点】三角形中位线定理
3.
【解析】
【标注】
如图，为估计池塘两岸边
，
两点间的距离，在池塘的一侧选取点
，分别取
、
的中点
、
，测的
，则
、
两点间的距离是
．
【答案】
∵
，
分别为
，
的中点，
，
∴
．
【知识点】中位线定理及其应用
4
A.
B.
C.
D.
4.
【解析】
【标注】
如图，在
中，
，
，
，点
，
，
分别是
三点的中点，则
的周长为（ ）．
【答案】A
∵
、
、
分别是
的中点，
∴
、
、
为
中位线，
∴
，
，
，
∵
，
，
，
∴
，
，
，
∴
，
故选
．
【知识点】中位线定理及其应用
A.
B.
C.
D.
5.
【解析】
如图，在
中，点
、
分别在
、
的中点，
的平分线交
于点
，若
，
，则
的长为（ ）．
【答案】C
∵
是
中位线，
，
∴
，
，
，
5
【标注】
∵
，
∴
，
又∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
故选．
【知识点】中位线定理及其应用
6.
【解析】
【标注】
三角形三条中位线分别是，，，则这个三角形的面积为 ．
【答案】
∵三角形三条中位线分别是，，，
∴三条中位线所围成的三角形是直角三角形，
由中位线的性质，则原三角形也是直角三角形，
且三边长分别为，，
，
∴三角形的面积为
．
【知识点】中位线定理及其应用
A. 逐渐增大
B. 逐渐变小
C. 不变
D. 先增大，后变小
7.
【解析】
如图所示，已知
、
分别是四边形
的边
、
上的点，
、
分别是
、
的中点，
点
在
上从
向
移动，点
不动，那么
的长（ ）．
【答案】C
∵
、
分别是
、
的中点，
6
【标注】
∴
，
∵点
不动，
∴
长度不变，
∴
的长不变．
【知识点】中位线定理及其应用
2. 中点四边形
顺次连接四边形
各边的中点
，
，
，
，所得到的新四边形
称为中点四边形．
【猜想】：四边形
为平行四边形
【总结】：
①任意四边形的中点四边形是——平行四边形．
②平行四边形的中点四边形是——平行四边形．
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 正方形
D. 菱形
1.
【解析】
顺次连接
各边中点，所得的四边形一定是（ ）．
【答案】A
如图所示，任意四边形
，连接
，依次连接
，
，
，
各点，
∵
，
，
，
为中点，
∴
，
，
∴
是平行四边形．
7
【标注】【知识点】中位线定理及其应用
2.
【解析】
【标注】
已知：如图，四边形
中，
、
、
、
分别是
、
、
、
的中点．求证：四边形
是平行四边形．
【答案】证明见解析．
连接
、
．
∵
、
、
、
分别是
、
、
、
的中点，
∴
，
，
，
，
∴
，
，
∴四边形
是平行四边形．
【知识点】中位线定理及其应用
3. 我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形
中，
，
，
，
分别是
，
，
，
的中点，依次连接各边中点得到中点四边形
．
8
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
这个中点四边形
的形状是__________．
请证明你的结论．
【答案】（1 ）
（2 ）
平行四边形
证明见解析．
平行四边形
证明：连结
∵
是
的中点，
是
中点，
∴
，
， 同理
，
，
∴
，
，
∴四边形
是平行四边形．
【知识点】中点四边形
