第 1 讲 中点问题
例题练习题答案
思维突破 / 初二 / 暑假
【答案】
例1
取AC中点M，则MF、ME分别为△ABC、△ACD的中位线，由题可知
且
，故△EMF为等腰直角三角形，且
，则
EM⊥MF
ME = MF
EM = FM = 1
EF =
2–
√
【答案】
例2
证明：
连接AC与BD交于点O，连接AM、AN
可知FN、EM分别为△DAM、△BAN的中位线
有
，
，则ANCM为平行四边形
则AC、MN互相平分，则AC、BD互相平分
则ABCD为平行四边形
CN // AM
CM // AN
【答案】
例3
证明：在
中，
由斜边中线得
由中位线得
，
∴
Rt △ADC
DG = GC
FE // AC
EG // BC
∠EGD = ∠GDC = ∠C = ∠BFE
【答案】
例4
取AC中点N，连接DN、MN
则MN为中位线，MN =
AB
1
2
只需证明△DMN为等腰三角形即可
在
中，DN为斜边中线，则
由△DMN外角得
则
，故△DMN为等腰三角形
∴
Rt △ADC
∠C = ∠NDC
∠NMC = ∠B = 2∠C
∠DNM = ∠MDN
DM =
AB
1
2
【答案】
例5
证明：
倍长AD至M，连接BM、CM
由ABMC为平行四边形，则
故只需证明
由
，则
由
，
（内错角相等），即
则△MBF为等腰三角形，故
AC = BM
BF = BM
AE = EF
∠EAF = ∠AFE
∠EFA = ∠BFD
∠CAD = ∠BMA
∠BMA = ∠BFD
AC = BF
【答案】
例6
（1）平行，相等
（2）证明：
延长EQ交FB于点D，得到△AEQ≌△BDQ
∴
，利用直角三角形斜边中线得
（3）证明：
EQ = QD
QF = QE
延长EQ交FB于点D，得到△AEQ≌△BDQ
∴
，利用直角三角形斜边中线得
EQ = QD
QF = QE
【答案】
例7
证明：
连接BD，交AC于点E，记AC交PD于点F
∵
，∴PB∥AC
又E为BD中点，∴EF为△PBD中位线
∴AC平分PD
∠CAB = 60 = ∠ABP
∘
【答案】
例8
（1）证明：
延长EG，交AD延长线于点H，连接CH，EC
∵
，∴
∵
，
∴△EFG≌△HDG
∴
，
∵
，
，
∴△EBC≌△HDC(SAS)
∴
，
∵
∴
EF // DH
∠EFG = ∠HDG
∠EGF = ∠HGD DG = FG
(ASA)
EG = HG DH = EF = BE
∠HDC = 90 = ∠EBC
∘
BC = DC
DH = BE
EC = HC
∠ECB = ∠HCD
∠ECB + ∠ECD = 90∘
∠HCD + ∠ECD = 90 = ∠ECH
∘
即△ECH为等腰直角三角形
∴
且
（2）
且
，证明：
延长EG交CD延长线于点H
∵
，∴
由题可知△EFG≌△HDG(ASA)
∴
，∴
∴△ECH为等腰直角三角形
∴
且
EG = CG
EG⊥CG
EG = CG
EG⊥CG
EF // DH
∠GEF = ∠GHD
FE = DH
CE = CH
EG = CG
EG⊥CG
【答案】
例9
（1）证明：
∵
，∴
∵
，∴
∴
，∴△BPE≌△CPF
∴
∵D为BC边的中点，∴
∴△BDE≌△CDF
，∴
（2）不变，证明：
如图，取BP中点M，PC中点N
连接MD、ME、ND、NF
∵
，M为BP中点
∴
，
同理
，
AB = AC
∠ABC = ∠ACB
∠ABP = ∠ACP
∠PBC = ∠PCB
PB = PC
(AAS)
BE = CF
BD = CD
(SAS)
DE = DF
∠BEP = 90∘
EM =
BP
1
2
∠EMP = 2∠EBP
FN =
PC
1
2
∠FNP = 2∠FCP
∴
∵D为BC边的中点
∴
，
同理
，
∴
，
四边形MPND为平行四边形
∴
，∴
∴△EMD≌△DNF
，∴
∠EMP = ∠FNP
DM =
CP
1
2
DM // CP
DN =
BP
1
2
DN // BP
DM = FN
EM = DN
∠PMD = ∠PND
∠EMD = ∠DNF
(SAS)
DE = DF
【答案】
例10
（1）
（2）
且
，证明：
如图2，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G
由题可得D、F为AB、AC的中点
可知
，
且
∴
，∴△DFM≌△MGE
∴
且
∴
，综上：
且
（3）
为等腰直角三角形
MD = ME
MD = ME
MD⊥ME
FM =
AC = GE
1
2
FD =
AB = GM
1
2
∠BFM = ∠BAC = ∠CGM
∠AFM = ∠MGE
MD = ME
∠GME + ∠FMD + ∠MGC = 90∘
∠DME = 90∘
MD = ME
MD⊥ME
△MED
【答案】
1
含30°的直角三角形，证明：
第 1 讲 中点问题
自我巩固答案
思维突破 / 初二 / 暑假
连接BD，取BD的中点M，连接EM、FM
由题可知
，
∴
，∴△AGF是等边三角形
∴
，易得
EM = FM
∠MFE = ∠BGE
∠MEF = ∠EFC = ∠GFA = 60∘
∠AGF = ∠AFG = 60∘
GF = FD
∠ADG = 30∘
【答案】
1
证明：
连接BD与AC相交于点O
故O是BD中点，且
则OF为中位线，则F是DE的中点
OF // BE
【答案】
2
证明：
取BC中点F，即FM为BCE的中位线，FN为CBD的中位线
∴
，∴△FMN为等腰三角形
∴
FM = FN
∠FMN = ∠FNM
第 1 讲 中点问题
课堂落实答案
思维突破 / 初二 / 暑假
∵FM∥EC，FN∥DB
∴
，
∴
，∴
为等腰三角形
∠FMN = ∠AHG ∠FNM = ∠AGH
∠AGH = ∠AHG
△AGH
【答案】
3
证明：由题可得△BCE≌△DCF
∴
∴
∵BG平分
，∴△DGB≌△FGB
∴
，G是DF中点，CG为斜边中线
∴
∠DEG + ∠EDG = ∠BEC + ∠CBE = 90∘
BG⊥DF
∠DBF
DG = FG
BE = DF = 2CG
【答案】
4
证明：
延长CE交AB延长线于点G
∵AD平分∠BAC，
∴△ACG为等腰三角形，
又∵
，∴
．
CE⊥AD
EC = EG
EF // AB
CF = BF
【答案】
1
延长BE与AC交于点F
由题可知DE为△BCF的中位线且
为等腰三角形
∴
△ABF
DE =
FC =
= 2
1
2
AC −AB
2
【答案】
2
证明：
第 1 讲 中点问题
课堂落实答案
思维突破 / 初二 / 暑假
连接点B与AC中点F，可得BF为中位线，
由题可知△BDC≌△CFB，∴
，∴
2BF = CE
BF = CD
CE = 2CD
【答案】
3
取AB的中点D，连接CD，OD，则
∵
，∴
，
∴
，∴OC的最大值为
AD = 1
AC = 1
CD =
2–
√
OD =
AB = 1
1
2
OC ≤OD + CD = 1 +
2–
√
1 +
2–
√
【答案】
1
延长BE与AC交于点F
由题可知DE为△BCF的中位线且
为等腰三角形
∴
△ABF
DE =
FC =
= 2
1
2
AC −AB
2
【答案】
2
证明：
第 2 讲 几何变换（一）
例题练习题答案
思维突破 / 初二 / 暑假
连接点B与AC中点F，可得BF为中位线，
由题可知△BDC≌△CFB，∴
，∴
2BF = CE
BF = CD
CE = 2CD
【答案】
3
取AB的中点D，连接CD，OD，则
∵
，∴
，
∴
，∴OC的最大值为
AD = 1
AC = 1
CD =
2–
√
OD =
AB = 1
1
2
OC ≤OD + CD = 1 +
2–
√
1 +
2–
√
【答案】
(1)
【答案】
(2)
【答案】
(3)
例1
4
(5, 2)
30cm2
【答案】
例2
（1）证明：
由题可知
∵
，∴
∴
∴四边形
是菱形
（2）解：由题可知：菱形ABCD的面积为
，
菱形
的面积可以表示为
，
∠D
F = ∠D
E = ∠FD
= ∠ED
B′
B′
B′
B′
D =
D
B′
B′
△
ED≌△
FD
B′
B′
F = FD = DE = E
B′
B′
EDF
B′
6
3–
√
EDF
B′
3–
√
6 B′D2
∴
，即
∴移动的距离为
=
3
√
6 B′D2
6
3–
√
1
2
D = 3
B′
2–
√
6 −3
2–
√
【答案】
例3
C
【答案】
例4
（1）在线段BC上截取BD与CE相等且不等于DE
此时
（2）证明：过点D、B分别作CA和EA的平行线，交点为F，并且DF交AB于点G
由题可得
，∴
∴
，
由8字模型的边长结论即可得
=
S△ADB
S△AEC
⎧
⎩
⎨
∠FDB = ∠ACE
DB = CE
∠FBD = ∠AEC
△AEC≌△FBD
FD = AC
FB = AE
AB + AC > AD + AE
【答案】
(1)
【答案】
(2)
例5
D
D
【答案】
(1)
【答案】
(2)
例6
D
C
【答案】
例7
证明：在
上取一点
，使
，连接
AB
E
AE = AC
PE
∵
为
的平分线，∴
在
和
中，
∴
，∴
∵
∴
在
中，∵
∴
AP
∠BAC
∠EAP = ∠CAP
△AEP
△ACP
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
AE = AC
∠EAP = ∠CAP
AP = AP
△AEP≌△ACP
PE = PC
AE = AC
BE = AB −AE = AB −AC
△PBE
BE > PB −PE
AB −AC > PB −PC
【答案】
例8
证明：在
上截取
在
上截取
连接
，
，
，设
、
交于点
∵
，
，
∴
，∴
同理可得：
，
∴
，
在
中，
①
在
中，
②
①
②得
∴
，∴
OA
O
= OC
C′
OB
O
= OD
D′
C′D′
AD′
BC′
BC′
AD′
E
O
= OC
C′
O
= OD
D′
∠COD = ∠
O
= 90
C′
D′
∘
△COD≌
O
C′
D′
CD = C′D′
△AOD≌△AOD′
△COB≌△
OB
C′
AD = AD′
CB =
B
C′
△
E
C′D′
E +
E >
C′
D′
C′D′
△ABE
AE + BE > AB
+
AE +
E + BE +
E > AB +
D′
C′
C′D′
A
+ B
> AB + CD
D′
C′
AD + BC > AB + CD
【答案】
例9
（1）
；
（2）如图，连接
30
CD
∵点
在
的平分线上
∴
∵
是等边三角形
∴
，
∵
，∴
∵
，∴
∴
∵
，
，
∴
∴
∴
D ∠PBC
∠PBD = ∠CBD
△ABC
BA = BC = AC
∠ACB = 60∘
BP = BA
BP = BC
BD = BD
△PBD≌△CBD
∠BPD = ∠BCD
DB = DA BC = AC CD = CD
△BCD≌△ACD
∠BCD = ∠ACD =
∠ACB = 30
1
2
∘
∠BPD = 30∘
【答案】
例10
（1）
（2）
，证明：
在
上取点
，使
，连接
，在
上取点
，使
，连接
∵
是
边的中点，∴
∵
平分
，∴
在
和
中，
∴
∴
，∴
同理可证：
，∴
∵
，∴
，∵
AE = AB + DE
AE = AB + DE +
DB
1
2
AE
F
AF = AB
CF
AE
G
EG = ED
CG
C
BD
CB = CD =
BD
1
2
AC
∠BAE
∠BAC = ∠FAC
△ACB
△ACF
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
AB = AF
∠BAC = ∠FAC
AC = AC
△ACB≌△ACF
CF = CB
∠BCA = ∠FCA
CD = CG
∠DCE = ∠GCE
CB = CD
CG = CF
∠ACE = 120∘
∴
∴
，∴
∴
是等边三角形，∴
∵
∴
∠BCA + ∠DCE = 180 −120 = 60
∘
∘
∘
∠FCA + ∠GCE = 60∘
∠FCG = 60∘
△FGC
FG = FC =
BD
1
2
AE = AF + EG + FG
AE = AB + DE +
BD
1
2
【答案】
1
解：∵
纸片中
，
，
，∴
∵以
为折痕
折叠得到△
∴
，
如图1所示：当
时，过点
作
，垂足为
设
，则
，
在
中，由勾股定理得：
，即
解得：
，
（舍去），∴
如图2所示：当
时，点
与点
重合
∵
，
，∴
设
，则
在
中，
Rt △ABC
∠C = 90∘
AC = 6 BC = 8
AB = 10
AD
ΔABD
A
D
B′
BD = DB′
A
= AB = 10
B′
∠
DE = 90
B′
∘
B′
F⊥AF
B′
F
BD = D
= x
B′
AF = 6 + x
F
= 8 −x
B′
Rt △AFB′
A
= A
+ F
B′2
F 2
B′2
+
=
(6 + x)2
(8 −x)2
102
= 2
x1
= 0
x2
BD = 2
∠
ED = 90
B′
∘
C
E
A
= 10
B′
AC = 6
E = 4
B′
BD = D
= x
B′
CD = 8 −x
Rt △
DE
B′
D
= D
+
B′2
E2
B′E2
第 2 讲 几何变换（一）
自我巩固答案
思维突破 / 初二 / 暑假
即
，解得：
∴
综上所述，
的长为2或5
=
+
x2
(8 −x)2
42
x = 5
BD = 5
BD
【答案】
1
B
【答案】
2
432cm2
【答案】
3
证明：
（1）作
，交AD于点O
由题可知四边形MNCO为平行四边形且
∴
，∴
∴
（2）自M向上做
，使得
连接NP、BP
CO // MN
CO⊥BE
⎧
⎩
⎨
∠COD = ∠BEC
∠OCD = ∠EBC
CD = BC
△COD≌△BEC
MN = CO = BE
MP⊥MN
MP = BE
第 2 讲 几何变换（一）
课堂落实答案
思维突破 / 初二 / 暑假
第 3 讲 几何变换（二）
例题练习题答案
思维突破 / 初二 / 暑假
四边形MEBP为平行四边形，
当点M不与点A重合时：
在
中，
当点M在点A处时，
综上所述
ME = BP
NP =
MN =
BE
2–
√
2–
√
△PBN
BP + BN > PN
BP + BN = PN
BN + ME ≥
BE
2–
√
【答案】
1
B
【答案】
2
C
【答案】
3
8
【答案】
4
3
【答案】
(1)
【答案】
(2)
例1
C
C
【答案】
例2
B
【答案】
例3
（1）由题可知
解得
，
（2）由题可知
解得
，∴
∴点
绕原点顺时针旋转
后的对应点的坐标为
{ 2a + 2 = −(2b −4)
3 −3b = −(3a + 6)
a = −1 b = 2
{ m −n = −3n
2 −m = −(−2n −m)
{ m = 2
n = −1
P (2, −1)
P
90∘
(−1, −2)
【答案】
(1)
【答案】
(2)
【答案】
(3)
例4
∵
与
关于点
成中心对称
∴
，
∴四边形
是平行四边形
∴
与
平行且相等
∵四边形
是平行四边形
∴
∵
的面积为
∴四边形
的面积
时，四边形
为矩形
∵
，
∴
是等边三角形，∴
∵四边形
是平行四边形
∴
，
∴
，∴四边形
为矩形
△ABC
△DEC
C
AC = CD
BC = CE
ABDE
AE
BD
ABDE
=
=
=
S△ABC
S△BCD
S△CDE
S△ACE
△ABC
5cm2
ABDE
= 4 × 5 = 20cm2
∠ACB = 60∘
ABDE
AB = AC
∠ACB = 60∘
△ABC
AC = BC
ABDE
AD = 2AC
BE = 2BC
AD = BE
ABDE
【答案】
例5
（1）证明：∵
是由
绕点
按顺时针方向旋转得到的
∴
，
，
∴
即
∵
∴
∴
可由
绕点
按顺时针方向旋转得到
△AEF
△ABC
A
AE = AB AF = AC
∠EAF = ∠BAC
∠EAF + ∠BAF = ∠BAC + ∠BAF
∠EAB = ∠FAC
AB = AC
AE = AF
△AEB
△AFC
A
∴
（2）∵四边形
为菱形，
∴
，
∴
，
∴
∴
为等腰直角三角形
∴
∴
BE = CF
ACDE
AB = AC = 1
DE = AE = AC = AB = 1 AC // DE
∠AEB = ∠ABE ∠ABE = ∠BAC = 45∘
∠AEB = ∠ABE = 45∘
△ABE
BE =
AC =
2–
√
2–
√
BD = BE −DE =
−1
2–
√
【答案】
例6
证明：
将
绕点
顺时针旋转
得
则
∴
，
∵
，∴
是等边三角形
∴
∴
就是以
、
、
三边为边的三角形
∵
，∴
∵
∴
∴
∴以
、
、
为边的三角形的三内角的度数分别为
，
，
△APC
A
60∘
△AQB
△AQB≌△APC
BQ = CP
AQ = AP
∠1 + ∠3 = 60∘
△APQ
QP = AP
△QBP
AP
BP
CP
∠APB = 110∘
∠6 = ∠APB −∠5 = 50∘
∠AQB = ∠APC = 125∘
∠7 = ∠AQB −∠4 = 65∘
∠QBP = 180 −∠6 −∠7 = 65
∘
∘
AP
BP
CP
50∘
65∘
65∘
【答案】
例7
（1）将
绕点A逆时针旋转
得到
可证
△ABP
60∘
△ACD
△APB≌△ADC (SAS)
则
，
可得
为等边三角形，则
由题中所给数据可得
故
（2）过点A作
，垂足为E
由（1）知
，
，
由勾股定理得
故
的面积
CD = BP
AD = PA
△ADP
PD = PA
∠PDC = 90∘
∠BPA = ∠CDA = 90 + 60 = 150
∘
∘
∘
AE⊥DC
AE = 2 DE = 2
3–
√
A
=
+
= 25 + 12
C2
22
(3 + 2
)
3–
√
2
3–
√
△ABC
S =
A
=
+ 9
3–
√
4
C2
25
3–
√
4
【答案】
例8
证明：设：
，
，
如图：作
∴
，
又∵
∴
，
又∵
∴
AM = m
MN = n
NB = k
△ACM≌△BCD
∠ACM = ∠BCD CM = CD
∠MCN = ∠NCD = 45∘
CN = CN
△MNC≌△DNC
MN = ND
AM = BD = m
∠DBN = 45 + 45 = 90
∘
∘
∘
M
= A
+ N
N 2
M 2
B2
【答案】
例9
AP绕点A逆时针旋转
为AD
连接PD、CD
由题可知
为等边三角形
且
，∴
60∘
△ADP
⎧
⎩
⎨
AD = AP
∠DAC = ∠PAB
AC = AB
△ADC≌△APB
∴
即为PA、PB、PC组成的三角形
且
可知
①当
时
②当
时
③当
时
综上
的度数可能为
或
或
△DCP
∠PDC = ∠APB −60 = 52
∘
∘
∠BPC = 360 −∠BPA −∠APD −DPC
∘
DP = DC
∠BPC = 124∘
CD = CP
∠BPC = 136∘
PC = PD
∠BPC = 112∘
∠BPC
124∘
136∘
112∘
【答案】
(1)
【答案】
(2)
例10
6
（化简后）或
2
+ 2
2–
√
6–
√
32 + 16
3–
√
−
−
−−−−−−−
√
【答案】
(1)
【答案】
(2)
1
是等边三角形
证明：连接
，
，
∵线段
绕
逆时针旋转
得到线段
则
，
∵
∴
且
为等边三角形
在
与
中
∴
，
∴
∵
∴
30 −
α
∘
1
2
△ABE
AD
CD ED
BC
B
60∘
BD
BC = BD
∠DBC = 60∘
∠ABE = 60∘
∠ABD = 60 −∠DBE = ∠EBC = 30 −
α
∘
∘
1
2
△BCD
△ABD △ACD
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
AB = AC
AD = AD
BD = CD
△ABD≌△ACD
∠BAD = ∠CAD =
∠BAC =
α
1
2
1
2
∠BCE = 150∘
∠BEC = 180 −(30 −
α) −150
∘
∘
1
2
∘
=
α = ∠BAD
1
2
第 3 讲 几何变换（二）
自我巩固答案
思维突破 / 初二 / 暑假
【答案】
(3)
在
和
中
∴
，∴
∴
是等边三角形
∵
，
∴
∵
∴
为等腰直角三角形
∴
∵
∴
∵
，∴
△ABD △EBC
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
∠BEC = ∠BAD
∠EBC = ∠ABD
BC = BD
△ABD≌△EBC
AB = BE
△ABE
∠BCD = 60∘
∠BCE = 150∘
∠DCE = 150 −60 = 90
∘
∘
∘
∠DEC = 45∘
△DEC
DC = CE = BC
∠BCE = 150∘
∠EBC =
(180 −150 ) = 15
1
2
∘
∘
∘
∠EBC = 30 −
α = 15
∘
1
2
∘
α = 30∘
【答案】
1
D
【答案】
2
B
【答案】
3
D
【答案】
4
证明：
延长CD至E，使得DE等于BD，连接BE
由题可知
为等边三角形
△BDE
第 3 讲 几何变换（二）
课堂落实答案
思维突破 / 初二 / 暑假
∴
，∴
∴
⎧
⎩
⎨
BD = BE
∠ABD = ∠CBE
BA = BC
△ABD≌△CBE
AD = CE = CD + ED = CD + BD
【答案】
5
由题可知
，
∴
，∴
为等边三角形
∴
，
△BDA≌△CDE ∠ADE = 60∘
AD = ED
△ADE
∠BAD = ∠CED = 60∘
AE = AB + AC = 5
【答案】
(1)
【答案】
(2)
【答案】
(3)
1
D
A
(3, −1)
【答案】
2
60
【答案】
3
（1）由题意得：
∵点
是
的中点
∴
，
∴
为直角三角形，而
∴
，
∵
，∴
（2）证明：
∵
，∴
由旋转变换的性质知：
∴
∴
∴
，而
∴四边形
为平行四边形，而
OC = OD = BD
D BC
CD = BD OD =
BC
1
2
△OBC
OC =
BC
1
2
∠B = 30∘
∠OCD = 90 −30 = 60
∘
∘
∘
OD = CD
∠COD = ∠OCD = 60∘
OD = BD
∠DOB = ∠B = 30∘
∠COA = ∠CAO = ∠B = 30∘
∠AOD = 90 −2 × 30 = 30
∘
∘
∘
∠CAO = ∠AOD = 30∘
AC // OD
AC = OD
ADOC
OC = OD
第 4 讲 四边形综合（一）
例题练习题答案
思维突破 / 初二 / 暑假
∴四边形
是菱形
ODAC
【答案】
例1
证明：
过点N作
于点F，连接DF
∴
由角分线定理可得
，
可得
∴
，∴
∴
，∴CDFN是平行四边形，
又
，∴DEBF是平行四边形，∴
∴
NF⊥AB
NF // CM
NC = NF
AC = AF
△ADC≌△ADF
∠ACD = ∠AFD
∠DCN = ∠DFN
∠DCN + ∠CNF = ∠DFN + ∠CNF = 180∘
CN // DF
CN = DF
DE // BF
BE = DF
CN = BE = DF
【答案】
例2
证明：过点
作
于点
∵
平分
，
∴
∵
，
，
∴
，
N
NF⊥AB
F
AN
∠BAC
∠ACB = 90∘
CN = NF
∠ACB = 90∘
CM⊥AB NF⊥AB
∠ADM + ∠DAM = 90∘
∠ANC + ∠CAN = 90∘
∠DCE = ∠MAC = ∠FNB
∵
平分
，∴
∴
，∴
∴
，又∵
∴
，又∵
在
和
中，
∴
，∴
∴
AN
∠BAC
∠DAM = ∠CAN
∠ADM = ∠ANC
∠CDN = ∠CND
CD = CN
CN = NF
CD = NF
CE = NB
△CDE △NFB
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
CD = NF
∠DCE = ∠FNB
CE = NB
△CDE≌△NFB
∠DEC = ∠FBN
DE // AB
【答案】
例3
38
【答案】
例4
证明：
作
交BC于点H
则四边形BHGF是平行四边形
所以
，
因为
，
所以
，
所以
，所以
因为
，所以
GH // AB
GH = BF = AD FG = BH
DE // BC
GH // AB
∠1 = ∠C
∠A = ∠2
△ADE≌△GHC
DE = HC
BH + CH = BC
DE + FG = BC
【答案】
例5
证明：
连接BE
可得四边形ABEC为平行四边形
∴
，
BF = CF
AO = OC
∴OF为
的中位线，∴
△CAB
AB = 2OF
【答案】
例6
（1）证明：∵△ACE为等边三角形，
∴
，∴四边形ABCD是菱形
（2）证明：∵
，∴
∴
∴四边形ABCD是正方形
OA = OC
EB⊥AC
∠AED = 30∘
∠EAD = 15∘
∠DAC = ∠EAC −∠EAD = 45∘
【答案】
例7
过点A、D作高AF、DE
∴
，
∴
，
∴
EF = AD = 4 CE =
CD =
BC =
1
2
1
4
3
2
BF = BC −EF −CE = 1
2
AF = DE =
CE =
3–
√
3
3–
√
2
AB =
=
A
+ B
F 2
F 2
−
−
−−−−−−−−
√
7–
√
【答案】
例8
过点D作
于点F
则
、
、
均为特殊直角三角形
可得
，
则
DF⊥EC
△ABE
△DFE
△DFC
CD = 2 AC = 3 +
3–
√
S =
AC ⋅(DF + AB) =
1
2
3
+9
3–
√
2
【答案】
例9
（1）证明：在□ABCD中
，且
∵
是
的中点，∴
又∵
，∴
∵
，∴四边形
是平行四边形
（2）解：如图，过点
作
于点
在□ABCD中，∵
，
AD // BC
AD = BC
F
AD
DF =
AD
1
2
CE =
BC
1
2
DF = CE
DF // CE
CEDF
D DH⊥BE
H
∠B = 60∘
AD // BC
∴
，∴
∵
，∴
∴
，
在□
中，
，则
∴在
中根据勾股定理知
∠B = ∠DCE
∠DCE = 60∘
AB = 4
CD = AB = 4
CH =
CD = 2
1
2
DH = 2
3–
√
CEDF
CE = DF =
AD = 3
1
2
EH = 1
Rt △DHE
DE =
=
+ 1
(2
)
3–
√
2
−
−
−−−−−−−
√
13
−−
√
【答案】
例10
（1）证明：在□ABCD中
∴
∵
、
分别是
、
的平分线
∴
∴
∴
，∴
（2）在□ABCD中
∴
，
∴
，
∴
，
在□ABCD中，
，
∴
，
∴
与
成8字型，比例为5
可算得
（此处相似可以用面积回避）
AB // CD
∠ADC + ∠DAB = 180∘
DF
AE
∠ADC
∠DAB
∠ADF = ∠CDF =
∠ADC
1
2
∠DAE = ∠BAE =
∠DAB
1
2
∠ADF + ∠DAE =
(∠ADC + ∠DAB) = 90
1
2
∘
∠AGD = 90∘
AE⊥DF
AD // BC
∠ADF = ∠CFD ∠DAE = ∠BEA
∠CDF = ∠CFD ∠BAE = ∠BEA
DC = FC
AB = EB
AD = BC = 10 AB = DC = 6
CF = BE = 6 BF = BC −CF = 10 −6 = 4
FE = BE −BF = 6 −4 = 2
△AGD
△EGF
DF = 8
2–
√
【答案】
1
证明：
设MA的延长线交BC于点D，延长AM至点N
使
，连接FN、HN
则四边形AHNF为平行四边形
MN = AM
第 4 讲 四边形综合（一）
自我巩固答案
思维突破 / 初二 / 暑假
∴
，
∵
，∴
∵
，∴
∴
，从而得出
FN = AH = AC
∠AFN + ∠FAH = 180∘
∠BAC + ∠FAH = 180∘
∠AFN = ∠BAC
AF = AB
△AFN≌△BAC
∠ADB = 90∘
MA⊥BC
【答案】
1
证明：连接CM
∵
，M是AB的中点
∴
∵
，∴
∴
，∴
∠C = 90∘
CM = AM = AN
MN // AC
∠NMA = ∠CAM
△ACM≌△MNA
MN = AC
【答案】
2
证明：连接EM
∵
是等腰直角三角形
∴
，
可得
，∴
∵
∴
△EBC
EM = BM
EM⊥BM
△BAE≌△EDC
ED = AB
∠DAB = ∠EMB = 90∘
∠AEM + ∠ABM = 180∘
第 4 讲 四边形综合（一）
自我巩固答案
思维突破 / 初二 / 暑假
∴
，∴
∴
，
∵
，∴
∴
是等腰直角三角形
∠DEM = ∠ABM
△DME≌△AMB
DM = AM
∠DME = ∠AMB
∠AMB + ∠EMA = 90∘
∠DME + ∠EMA = 90∘
△ADM
【答案】
3
证明：
连接EP，可得
∴
∴
+
=
S△EPD
S△EPB
S△EDB
ED ⋅PG +
EB ⋅PF =
ED ⋅AB
1
2
1
2
1
2
PF + PG = AB
【答案】
1
证明：连接CM
∵
，M是AB的中点
∴
∵
，∴
∴
，∴
∠C = 90∘
CM = AM = AN
MN // AC
∠NMA = ∠CAM
△ACM≌△MNA
MN = AC
【答案】
2
证明：连接EM
第 4 讲 四边形综合（一）
课堂落实答案
思维突破 / 初二 / 暑假
∵
是等腰直角三角形
∴
，
可得
，∴
∵
∴
∴
，∴
∴
，
∵
，∴
∴
是等腰直角三角形
△EBC
EM = BM
EM⊥BM
△BAE≌△EDC
ED = AB
∠DAB = ∠EMB = 90∘
∠AEM + ∠ABM = 180∘
∠DEM = ∠ABM
△DME≌△AMB
DM = AM
∠DME = ∠AMB
∠AMB + ∠EMA = 90∘
∠DME + ∠EMA = 90∘
△ADM
【答案】
3
证明：
连接EP，可得
∴
∴
+
=
S△EPD
S△EPB
S△EDB
ED ⋅PG +
EB ⋅PF =
ED ⋅AB
1
2
1
2
1
2
PF + PG = AB
第 5 讲 四边形综合（二）
例题练习题答案
思维突破 / 初二 / 暑假
【答案】
1
过点C作
交BD于点O
过点D作
交EF于点M
由题可知四边形OCMD为矩形
设正方形边长为
则
，
则在
中，
故
CO⊥BD
DM⊥EF
a
CO = DM =
a
2–
√
2
DF = BD =
a
2–
√
Rt △DMF
∠F = 30 = ∠DBE
∘
∠EBC = 15∘
【答案】
2
证明：∵
、
是等边三角形
∴
，
设
∴
∴
∴
，
∵
∴
∴△APQ为等边三角形
△BCP
△CDQ
BP = PC = BC
QC = DC = AB
∠PBC = ∠PCB = ∠QCD
∠ABC = α
∠ABP = 60 −α
∘
∠QCP = 180 −α −60 −60 = 60 −α
∘
∘
∘
∘
△ABP≌△QCP
AP = PQ ∠BPA = ∠CPQ
∠BPA + ∠APC = 60∘
∠CPQ + ∠APC = 60∘
【答案】
例1
FG与AE交于点I，由题可知
过G作
于点M
可得
，
，
∴
，
∴
故
，设
在
中：
，
故
AE⊥FG
GM⊥AD
GM = AB ∠MFG + ∠MGF = 90∘
∠FAI + ∠AFG = 90∘
∠DAE + ∠AED = 90∘
∠MFG = ∠DEA ∠MGF = ∠DAE
△DAE≌△MGF
DE = MF = 5
AF = x
Rt △DEF
DF = 12 −x EF = x
AF =
cm
169
24
【答案】
例2
作点B关于AC的对称点E，连接AE交CD于点F
连接CE，过点E作
交CD点G，交AC于点M，连接BM
则此时
的值最小
可得
，设
则
根据勾股定理，得：
即：
解得：
，从而根据面积相等，得：
故：
EN⊥AB
BM + MN = EM + MN
△ABC≌△AEC
EF = x
AF = 20 −x = CF
E
+ E
= F
F 2
C2
C2
+
=
x2
102
(20 −x)2
x = 7.5
EG =
=
= 6
EF ⋅EC
FC
7.5 × 10
12.5
BM + MN = EN = EG + GN = 16
【答案】
例3
过点E作
交BC于点F
∵四边形ABCD是矩形且
，
∴
∴
故易求得：
，
∴
从而可得：
EF⊥BC
AB =
3–
√
BC = 3
∠BDC = 60 = ∠ABE
∘
BE =
AB =
1
2
3–
√
2
EF =
BE =
1
2
3–
√
4
BF = 3
4
FC = 9
4
EC =
=
E
+ F
F 2
C2
−
−
−−−−−−−−
√
21
−−
√
2
【答案】
例4
（1）证明：
∵
，
且D是OB的中点，∴
∴
是等边三角形
∵
是等边三角形
∴
∴四边形ABCE是平行四边形
（2）由条件得：
，
∵
，
，
且
是等边三角形
∴
，
设
，则：
根据勾股定理可得：
解得：
，即
∠OAB = 90∘
∠AOB = 30∘
AD = DB
△ADB
△ADB
∠EAB = ∠BCO = 60∘
∠CEA = ∠CBA = 120∘
CG = AG CO = OB = 8
∠OAB = 90∘
∠AOB = 30∘
OB = 8
△OBC
OA = 4
3–
√
∠GOA = 90∘
OG = x
AG = CG = 8 −x
+
=
x2
(4
)
3–
√
2
(8 −x)2
x = 1
OG = 1
【答案】
例5
4
【答案】
例6
过D作
交CH于点E，交BC于点F
则ABFD为菱形，EF为
的中位线
DF // AB
△CHB
为等腰三角形，HF为斜边中线
则在等腰三角形DFC中，顶角
故
则
∴
△DHC
∠DFC = 80∘
∠FDC = ∠DCF = 50∘
∠DCH = ∠DCF −∠HCF = 40∘
∠DHC = 40∘
【答案】
例7
证明：
过点A作
交BE于点H
BD与AC交于点O
得
，故在
中
，得
可得
，
∴
AH⊥BE
AH = BO
Rt △AHE
AH =
AE
1
2
∠AEB = 30∘
∠CAE = 30∘
∠BAE = 15∘
∠CAE = 2∠BAE
【答案】
例8
（1）∵四边形ABCD是正方形
∴
且
∵
，
∴
可得
，∴
∵
，∴
（2）证明：
过点A作
交ED于点G
由（1）知：△AEF是等腰直角三角形
AB⊥AD
AB = AD
AF⊥AE
∠EAB = ∠FAD
∠AEB = 90 + ∠AEF = ∠AFD
∘
△AEB≌△AFD
AE = AF
AE = 2
EF = 2
2–
√
AG⊥ED
∴
∵
且P是AB的中点
∴可得
∴
，
∴
AG = GF
BE⊥DP
△EBP≌△GAP
EP = PG EB = AG
PF = PG + GF = EP + AG = EP + EB
【答案】
例9
（1）将BP绕点B顺时针旋转
至BQ
连接PQ、CQ
可得
∴
，
，
进而得
，又
故由
，得
从而可得
（2）过点A作
交BP的延长线于点E
则由
可得
是等腰直角三角形
∴由
可得
从而根据勾股定理，可得
90∘
△ABP≌△CBQ
BP = BQ = 2 CQ = AP = 1 ∠APB = ∠BQC
PQ = 2
2–
√
PC = 3
P
= P
+ C
C2
Q2
Q2
∠PQC = 90∘
∠BQC = 135 = ∠APB
∘
AE⊥BP
∠APB = 135∘
△AEP
PA = 1
AE =
= PE
2–
√
2
AB =
=
=
A
+ B
E2
E2
−
−
−−−−−−−−
√
+
1
2
(2 +
)
2–
√
2
2
−
−
−−−−−−−−−−−−
√
5 + 2
2–
√
−
−
−−−−−
√
【答案】
例10
（1）∵六边形ABCDEF是正六边形
∴其每个内角都是120°
将
绕点B逆时针旋转120°到
，连接QP
△BPC
△BQA
可得
∴
，
，
过点B作
交QP于点G，易得
从而由
，得
故
（2）过点C作
交BP的延长线于点H
由
，
得
，
，又
故可得
△BPC≌△BQA
QB = BP = 4 AQ = PC = 2 ∠BPC = ∠AQB
BG⊥QP
QP = 4
3–
√
A
= A
+ Q
P 2
Q2
P 2
∠AQP = 90∘
∠AQB = 120 = ∠BPC
∘
CH⊥BP
∠BPC = 120∘
PC = 2
PH = 1
CH =
3–
√
PB = 4
BC =
=
= 2
B
+ H
H 2
C2
−
−
−−−−−−−−
√
+ 3
52
−
−
−−−
√
7–
√
【答案】
1
分别将
、
沿AC边、AB边翻折得到
、
延长EC、GB交于点F
由
于点D，
可得四边形AEFG是正方形
设
，由
，
△ACD △ADB
△AEC
△AGB
AD⊥BC
∠CAB = 45∘
AD = x
BD = 3 CD = 2
第 5 讲 四边形综合（二）
自我巩固答案
思维突破 / 初二 / 暑假
易得：
，
从而根据勾股定理，得
解得：
，
（舍去）
故
的面积
FC = x −2 BF = x −3
+
=
(x −2)2
(x −3)2
52
= 6
x1
= −1
x2
△ABC
=
= 15
6 × 5
2
【答案】
1
设
，则
，
由勾股定理可得
，解得
则
连接DE，作
点于H，可得
则
DN = xcm
CN = (8 −x) cm EN = xcm
+
=
42
(8 −x)2
x2
x = 5
DN = 5cm
MH⊥DC
△MHN≌△DCE
AM = DH = DN −HN = DN −CE = 1cm
【答案】
2
将BP绕点B顺时针旋转90°至BQ，连接PQ、CQ
可得
∴
，
，
可得
，又
故由
，得
从而可得：
过点A作
交BP的延长线于点E
△ABP≌△CBQ
BP = BQ = 2 CQ = AP = 1 ∠APB = ∠BQC
PQ = 2
2–
√
PC = 3
P
= P
+ C
C2
Q2
Q2
∠PQC = 90∘
∠BQC = 135 = ∠APB
∘
AE⊥BP
第 5 讲 四边形综合（二）
课堂落实答案
思维突破 / 初二 / 暑假
第 6 讲 阶段自检A
期中试卷答案
思维突破 / 初二 / 暑假
则由
，得
是等腰直角三角形
∴由
，得
故根据勾股定理，得
从而由四边形ABCD是直角梯形且
，得
梯形ABCD的面积
∠APB = 135∘
△AEP
PA = 1
AE =
= PE
2–
√
2
AB =
=
=
A
+ B
E2
E2
−
−
−−−−−−−−
√
+
1
2
(2 +
)
2–
√
2
2
−
−
−−−−−−−−−−−−
√
5 + 2
2–
√
−
−
−−−−−
√
AB = BC = 2AD
=
=
+
(AD + BC) ⋅AB
2
15
4
3
2–
√
2
【答案】
1
设
，则
由勾股定理可得：
解得：
DF = x
AF = FC = 8 −x
+
=
62
x2
(8 −x)2
x = 7
4
【答案】
2
在AC上取一点G，使得
可得
∴
，
从而得出：△AOG是等腰直角三角形
∴
，∴
CG = AB = 4
△ABO≌△GCO
OG = OA = 6
2–
√
∠AOB = ∠GOC
AG = 12
AC = 16
【答案】
1
D
【答案】
2
A
【答案】
3
C
【答案】
4
B
【答案】
5
D
【答案】
6
C
【答案】
7
A
【答案】
8
(−2
, −2
)
2–
√
2–
√
【答案】
9
−1
2–
√
【答案】
10
12
【答案】
11
16
【答案】
12
；
3–
√
2
2n −1
−
−
−−−
√
n
【答案】
13
证明：
（1）∵□
，∴
∵
，∴四边形BFDE是平行四边形
∵
，∴四边形BFDE是矩形
（2）∵
，
∴
，∴
∵
，∴
∵
，∴
∴
，∴AF平分
ABCD
DF // BE
DF = BE
DE⊥AB
CF = 3
BF = 4
BC = 5
AD = 5
DF = 5
∠DAF = ∠DFA
DC // AB
∠DFA = ∠FAB
∠DAF = ∠FAB
∠DAB
【答案】
14
（1）
与
平行且相等，证明：
∵
与
关于点
成中心对称
∴
，
∴四边形
是平行四边形
∴
与
平行且相等
（2）∵四边形
是平行四边形
∴
∵
的面积为
∴四边形
的面积
（3）
时，四边形
为矩形
证明：∵
，
AE
BD
△ABC
△DEC
C
AC = CD
BC = CE
ABDE
AE
BD
ABDE
=
=
=
S△ABC
S△BCD
S△CDE
S△ACE
△ABC
5cm2
ABDE
= 4 × 5 = 20cm2
∠ACB = 60∘
ABDE
AB = AC
∠ACB = 60∘
∴
是等边三角形，∴
四边形
是平行四边形
∴
，
∴
，∴四边形
为矩形
△ABC
AC = BC
∵
ABDE
AD = 2AC
BE = 2BC
AD = BE
ABDE
【答案】
15
（1）证明：∵正方形ABCD
∴
，
∴
，∴
∵
，∴
（2）∵
∴
∵
∴
，∴
∵
∴
（8字模型）
AD = CD ∠ADP = ∠CDP = 45∘
△ADP≌△CDP
PA = PC
PA = PE
PC = PE
△ADP≌△CDP
∠DAP = ∠DCP
PA = PE
∠DAP = ∠E
∠DCP = ∠E
∠PFC = ∠DFE
∠CPE = ∠FDE = 90∘
【答案】
16
（1）证明：
∵
，
∴
∵
的平分线BE交AC于点E
∴
，
∴
，
，∴
（2）证明：
∵
，∴
是等腰三角形
可得
，∴
（3）存在，
或
证明：由（1）得
，∴
∴当
时，四边形
是平行四边形
∴
，此时旋转
，且
与
重合
当点
位于此时的
时也符合题意，此时旋转
∠A = 36∘
AB = AC
∠ABC = ∠ACB = 72∘
∠ABC
∠A = ∠ABE = 36∘
∠BEC = ∠BCE = 72∘
AE = BE BE = BC
AE = BC
EF // BC
△AEF
△BA
≌△CA
(SAS)
F ′
E′
C
= B
E′
F ′
36∘
72∘
AE = BC
A
= BC
E′
A
// BC
E′
BC
A
E′
C
// AB
E′
72∘
E′F ′
CE′
E′
F ′
36∘
【答案】
17
（1）证明：∵F是DG的中点
∴
，
，∴
∵
，
∴
，
EF =
DG
1
2
CF =
DG
1
2
EF = CF
EF = DF
CF = DF
∠EFG = 2∠EDG ∠CFG = 2∠CDG
∵
∴
，∴
（2）
是等腰直角三角形；
证明：延长EF交CD于点M
∵F是DG的中点，EG∥DM
∴
∴
，
∵
是等腰直角三角形
∴
，∴
∴
，∴
是等腰直角三角形
∴
，∴
是等腰直角三角形
∠EDF + ∠CDF = 45∘
∠EFC = 90∘
EF⊥FC
△CEF
△EFG≌△MFD
EF = FM
EG = DM
△BEG
BE = EG
BE = DM
CE = CM
△CEM
EF = CM
△CEF
【答案】
(1)
18
证明：
取AP、BP的中点E、F，连接DE、NE、DF、MF
由斜边中线可知
，
由中位线可知
，
∴
，
又∵
，
、
为等腰三角形
∴
又∵四边形DEPF为平行四边形
∴
MF =
BP
1
2
NE =
AP
1
2
DF =
AP
1
2
DE =
BP
1
2
MF = DE
NE = DF
∠PAC = ∠PBC
△AEN
△BFM
∠PFM = 2∠PBC = 2∠PAC = ∠PEN
∠DFP = ∠DEP
第 7 讲 一元二次方程
例题练习题答案
思维突破 / 初二 / 暑假
【答案】
(2)
∴
∴
，∴
∠DEN = ∠DEP + ∠PEN
= ∠DFP + ∠PFM = ∠DFM
△DFM≌△NED
DM = DN
2
2–
√
【答案】
例1
（1）
；（2）1
−3
【答案】
例2
（1）
，
（2）
，
= −1
x1
= −5
x2
= 0
x1
= −2
x2
【答案】
例3
（1）
；（2）
（3）
；（4）无解
x = 2 ±
11
−−
√
x =
2–
√
2
x = 4 ±
15
−−
√
【答案】
例4
（1）
，
（2）
，
（3）
，
（4）
，
= 0
x1
= 6
x2
= −1
x1
= 2
x2
= −1
x1
=
x2
122
111
= 2
x1
=
x2
8
3
【答案】
例5
（1）
，
（2）
，
= 1
x1
= −
x2
1
3
=
+
x1
3–
√
2–
√
=
−
x2
3–
√
2–
√
【答案】
例6
（1）
，
，
，
（2）
，
，
，
=
x1
8
3
= 2
x2
=
x3
4
3
=
x4
2
3
= 1
x1
= −4
x2
= −1
x3
= −2
x4
【答案】
例7
证明：
Δ =
−16 (k −
) =
≥0
(2k + 1)2
1
2
(2k −3)2
【答案】
例8
证明：
原方程化为
−(a + b) x + ab −1 = 0
x2
Δ =
−4 (ab −1) =
+ 4 > 0
(a + b)2
(a −b)2
【答案】
例9
原方程有两个不同的实根
则Δ =
−4a (a −5) = 16a + 1 > 0
(2a −1)2
第 7 讲 一元二次方程
自我巩固答案
思维突破 / 初二 / 暑假
第 7 讲 一元二次方程
思维突破 / 初二 / 暑假
解得
同时要求原方程二次项系数不为零，故
则实数a的取值范围是
且
a > −1
16
a ≠0
a > −1
16
a ≠0
【答案】
例10
由题意得
，
将第二个等式代入第一个不等式和第三个不等式
可以得到
解得
结合为整数的条件，解得
，则
−4 (3 −b) > 0
a2
−4 (7 −b) = 0
(6 −a)2
−4 (5 −b) < 0
(4 −a)2
{
−
+ 16 > 0
a2
(6 −a)2
−
+ 8 < 0
(4 −a)2
(6 −a)2
< a < 3
5
3
a
a = 2
b = 3
【答案】
1
当
时，
当
时，
当
时，原方程可因式分解成
解得
，
m = 1
x = −1
2
m = −1
x = −3
2
m ≠±1
[(m −1) x −3] [(m + 1) x + m] = 0
=
x1
3
m −1
= −
x2
m
m + 1
【答案】
1
（1）
，
；（2）
，
（3）
；（4）
，
（5）
；（6）
，
（7）
，
；（8）
，
= −1 +
x1
17
−−
√
= −1 −
x2
17
−−
√
= −
x1
1
2
= 1 −
x2
3–
√
=
= −1
x1
x2
= −3
y1
= −
y2
1
3
=
= −
x1
x2
1
3
= −4
x1
= 2
x2
=
+
x1
3–
√
2–
√
=
−
x2
3–
√
2–
√
= 1
x1
= −1
x2
【答案】
2
原方程可化为
解得
，
(
+ x + 6) (
+ x −2) = (
+ x + 6) (x + 2) (x −1) = 0
x2
x2
x2
= 1
x1
= −2
x2
课堂落实答案
第 7 讲 一元二次方程
课堂落实答案
思维突破 / 初二 / 暑假
第 8 讲 根与系数的关系（一）
例题练习题答案
思维突破 / 初二 / 暑假
【答案】
1
（1）
，
；（2）
；（3）
，
= 0
x1
= −4
x2
= −
x1,2
3
2
= 1 +
x1
5–
√
= 1 −
x2
5–
√
【答案】
2
原方程可化为
解得
，
(
+ x + 1) (
+ x −2) = (
+ x + 1) (x + 2) (x −1) = 0
x2
x2
x2
= 1
x1
= −2
x2
【答案】
3
证明：
∴得证
Δ = 4
−4 (m −4) =
+ 15 > 0
m2
(2m −1)2
【答案】
1
（1）
，
；（2）
；（3）
，
= 0
x1
= −4
x2
= −
x1,2
3
2
= 1 +
x1
5–
√
= 1 −
x2
5–
√
【答案】
2
原方程可化为
解得
，
(
+ x + 1) (
+ x −2) = (
+ x + 1) (x + 2) (x −1) = 0
x2
x2
x2
= 1
x1
= −2
x2
【答案】
3
证明：
∴得证
Δ = 4
−4 (m −4) =
+ 15 > 0
m2
(2m −1)2
【答案】
例1
（1）4，2；（2）5，
；（3）
，
1
4
−5
2
−1
2
【答案】
例2
（1）
；（2）
，
；（3）
，
2
3
−8
15
−26
3
18
【答案】
例3
（1）7；（2）
；（3）18
5–
√
【答案】
例4
（1）
；（2）
−3
2
25
6
【答案】
例5
（1）
（2）
+ x −1 = 0
x2
−10x + 8 = 0
x2
思维突破 / 初二 / 暑假
【答案】
例6
设方程的两根为和
由韦达定理得
，
则
a
2a
m = −(a + 2a) = −3a n = 2a2
=
=
n
m2
2a2
9a2
2
9
【答案】
例7
由韦达定理得
，
计算出
，
可得新方程为
a + b = 6 ab = −3
+
=
−2ab = 42
a2
b2
(a + b)2
= 9
a2b2
−42x + 9 = 0
x2
【答案】
例8
由于方程有两实根
则
则
由题意得，
，解得
Δ = 4
−4 (
−5) = 4 (9 −4a) ≥0
(a −2)2
a2
a ≤9
4
−5 = 4 (a −2)
a2
a = 1
【答案】
例9
由韦达定理可得
，
由条件可得
，解得
代入计算得
+
= t
x1
x2
=
x1x2
t
2
−t + 1 = 2
t
2
t = −2
= −5
−1
t4
t −1
【答案】
例10
由于方程有两实根
解得
由韦达定理可得
，
当
时取得最小值18
Δ = 4
−4 (
+ 3) = 4 (6k + 6) ≥0
(k + 3)2
k2
k ≥−1
α + β = −2 (k + 3) αβ =
+ 3
k2
+
=
−2αβ −2 (α + β) + 2
(α −1)2
(β −1)2
(α + β)2
= 4
−2 (
+ 3) + 4 (k + 3) + 2 = 2
−54
(k + 3)2
k2
(k + 7)2
k = −1
【答案】
1
设正确的两根为
、
，由韦达定理可得
，
则
与无关
解得
计算得到
，
故
x1
x2
+
= −
x1
x2
b
a
=
x1x2
c
a
+
=
= −
1
x1
1
x2
+
x1
x2
x1x2
b
c
a
+
=
+
=
1
x1
1
x2
1
4
1
8
3
8
=
=
x1
x2
16
3
−
=
b
a
32
3
=
c
a
256
9
=
−
= 160
6c + b
a
6 × 256
9
32
3
第 8 讲 根与系数的关系（一）
自我巩固答案
第 8 讲 根与系数的关系（一）
课堂落实答案
思维突破 / 初二 / 暑假
第 9 讲 根与系数的关系（二）
例题练习题答案
思维突破 / 初二 / 暑假
【答案】
1
（1）1；（2）7
【答案】
2
（1）
；（2）
（其他答案合理也可）
−
x + 1 = 0
x2
13
6
−4x + 3 = 0
x2
【答案】
3
两根之和等于
，可算出
，
，
，解得
−5
2
= −2
x1
= −
x2
1
2
=
= 1
k
2
x1x2
k = 2
【答案】
4
不存在
【答案】
5
36
【答案】
1
（1）
；（2）2；（3）4
−1
【答案】
2
（1）
；（2）
（其他答案合理也可）
+ x −2 = 0
x2
4
−45x + 1 = 0
x2
【答案】
3
解得
+
=
= −
= −1
1
x1
1
x2
+
x1
x2
x1x2
8 + m
10
m = 2
【答案】
例1
解：设
、
为方程的两根
由题意得：
由韦达定理可得
，
解得
，
x1
x2
= 3
−7
x2
x1
+
= 101
x1
x2
⋅
= k −2
x1
x2
{
= 27
x1
= 74
x2
k = 2000
【答案】
例2
设
、
为方程的两根
x1
x2
则
化简得
解得
或
|
−
| =
x1
x2
−4
(
+
)
x1
x2
2
x1x2
−
−
−−−−−−−−−−−−−
√
=
= 1
−2 (a + 3)
(
)
a −1
2
2
−
−
−−−−−−−−−−−−−−−
√
−10a −27 = 0
a2
a = 5 + 2
13
−−
√
a = 5 −2
13
−−
√
【答案】
例3
由题意知α + β = 2
= α ⋅
= α (2α + 4) = 2
+ 4α = 8α + 8
α3
α2
α2
+ 8β + 6 = 8 (α + β) + 14 = 30
α3
【答案】
例4
由韦达定理可得
，
则两根均为负数
原式
α + β = −4 αβ = 1
=
+
= −(α + β) = 4
α2
−−
√
β2
−−
√
【答案】
例5
、可视为方程
的两根
由韦达定理可得
，
则
m n
−x −1 = 0
x2
m + n = 1 mn = −1
+
= (m + n) [
−3mn] = 4
m3
n3
(m + n)2
【答案】
例6
可化为
∵
，则
、
可视为方程
不相等的两实根
由韦达定理可得
，
故
+ 99b + 19 = 0
b2
19 ⋅
+ 99 ⋅
+ 1 = 0
(
)
1
b
2
1
b
ab ≠1
a ≠1
b
a
1
b
19
+ 99x + 1 = 0
x2
a +
= −
1
b
99
19
a ⋅
=
1
b
1
19
= a +
+ 4 ×
= −
+
= −5
ab + 4a + 1
b
1
b
a
b
99
19
4
19
【答案】
例7
（1）
；（2）
m > 0
m < −1
【答案】
(1)
【答案】
(2)
例8
①
；②
①
；②
m > −1
2
m < −1
2
m > −1
4
m < −1
4
【答案】
例9
设方程的两正根为
、
，由韦达定理可得
，解得
当m为1时仍然成立，所以
Δ = 4
−4 (m −1) (−m) = 4 (2
+ m + 1) ≥0
(m + 1)2
m2
x1
x2
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
+
= −
> 0
x1
x2
2 (m + 1)
m −1
= −
> 0
x1x2
m
m −1
0 < m < 1
0 < m ≤1
【答案】
例10
不存在
与
没有公共部分
k ≤−1 k ≥1
2
【答案】
1
原式可化为[(k −3) x + 4] [(k −5) x + 2] = 0
第 9 讲 根与系数的关系（二）
自我巩固答案
思维突破 / 初二 / 暑假
第 9 讲 根与系数的关系（二）
课堂落实答案
思维突破 / 初二 / 暑假
由题可知
可得
，
所以
，因为k为整数
所以
并且k为整数
k ≠3, 5
= −
x1
4
k −3
= −
x2
2
k −5
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
−
≥0
4
k −3
−
≥0
2
k −5
k < 3
【答案】
1
125
22
【答案】
2
，解得
当
时取到最小值
Δ = 8 (2 −3m) ≥0
m ≤2
3
+
=
−2
= 2
−3m + 2 = 2
+
x2
1
x2
2
(
+
)
x1
x2
2
x1x2
m2
(m −
)
3
4
2
7
8
m = 2
3
8
9
【答案】
3
，则
，
、
为方程
的两不等实根，所以
ab ≠1
a ≠1
b
a
1
b
3
+ 65673124x + 5 = 0
x2
=
a
b
5
3
【答案】
4
由韦达定理可得
，故
αβ = 8
−
= 7β −
= 8
56
α
β2
β2
【答案】
5
，
，
+
= 2
αn
βn
= −
−n
αnβn
n2
+
= −
= 2 (
−
)
1
αn
1
βn
2
n (n + 1)
1
n + 1
1
n
+
+
+
+ ⋯+
+
= 2 (
−1) = −
1
α1
1
β1
1
α2
1
β2
1
α2014
1
β2014
1
2015
4028
2015
【答案】
1
，解得
8 = |
−
| =
=
x1
x2
−4
(
+
)
x1
x2
2
x1x2
−
−
−−−−−−−−−−−−−
√
−80
a2
−
−
−−−−
√
a = ±12
第 10 讲 整数根问题
例题练习题答案
思维突破 / 初二 / 暑假
【答案】
2
考虑两根之和、两根之积和判别式，需满足
，解得
⎧
⎩
⎨
Δ ≥0
m + 2 > 0
m −5 > 0
m > 5
【答案】
3
由韦达定理得
，
则
当
时取到最大值
当某一个根无限接近5，另一个根无限接近6时，的最小值无限接近0
综上
+
= 11
x1
x2
= 30 + a
x1x2
a =
−30 =
(11 −
) −30 = −
+
x1x2
x1
x1
(
−
)
x1
11
2
2
1
4
=
=
x1
x2
11
2
a
1
4
a
0 < a ≤1
4
【答案】
例1
（1）由题可知
（2）十字相乘法分解因式得
可知
，
由题意
为整数，则正整数m为2的正约数1或2
Δ =
≥0
(m −2)2
(mx −2) (x −1) = 0
= 1
x1
=
x2
2
m
=
x2
2
m
【答案】
例2
（1）当
时，
当
，
（2）当
时，
，满足题意
当
时，十字相乘法分解因式得
可知
，
由题意知
为整数，故
m = 0
x = 3
m ≠0
Δ =
≥0
(2m −1)2
m = 0
x = 3
m ≠0
(mx −m −1) (x −3) = 0
= 3
x1
= 1 +
x2
1
m
x2
m = ±1
【答案】
例3
（1）根据求根公式可以得到
此时无论n为正负，始终成立
（2）将方程变为
十字相乘法分解因式得
解得
，
要求
是与
不相等的正整数，故
，
=
x1,2
2m + n ±
n2
−−
√
2m
m
−(m + 2) x + 2 = 0
x2
(mx −2) (x −1) = 0
= 1
x1
=
x2
2
m
x2
x1
m = 1
n = 1
【答案】
例4
①若
，可知
满足题
a = 1
x = 1
思维突破 / 初二 / 暑假
②若
，十字相乘法可得
解得
，
为整数
则
或
，则
或3或0或2
综上可知
或3或0或2
a ≠1
[(a −1) x + a + 1] (x −1) = 0
= 1
x1
=
= −1 +
x2
a + 1
1 −a
2
1 −a
a −1 = ±1
±2
a = −1
a = ±1
【答案】
例5
由根与系数关系可得
设
,
，
得到
得到
或
解得
或
>
x1
x2
+
= 6 −a
x1
x2
= a
x1x2
(
+ 1) (
+ 1) = 7
x1
x2
{
+ 1 = 7
x1
+ 1 = 1
x2
{
+ 1 = −1
x1
+ 1 = −7
x2
a = 16
a = 0
【答案】
例6
由根与系数的关系可得，
，
则两整数根分别为1、5或
、
则
，
或5
+
= m + 1
x1
x2
= 5
x1x2
−1
−5
m + 1 = ±6 m = −7
【答案】
例7
由韦达定理
，
两式相加消去m：
∴
，即
由两根均为正整数，不妨设
则
或
∴
或
，∴
或7
+
= 12 −m
x1
x2
= m −1
x1x2
+
+
= 11
x1x2
x1
x2
+
+
+ 1 = 12
x1x2
x1
x2
(
+ 1) (
+ 1) = 12
x1
x2
≥
x1
x2
{
+ 1 = 6
x1
+ 1 = 2
x2
{
+ 1 = 4
x1
+ 1 = 3
x2
{
= 5
x1
= 1
x2
{
= 3
x1
= 2
x2
m =
+ 1 = 6
x1x2
【答案】
例8
（1）
；（2）2
k < 5
2
【答案】
例9
根据判别式可以得到
若使得m与
均为正整数
则m取值只可能为4
Δ=
+ 20
m2
=
Δ
−−
√
+ 20
m2
−
−
−−−−−
√
【答案】
1
由题意可知，
为完全平方数
可设
则
由、为整数，且
和
同奇偶可知
或
解得
或
Δ =
−4a
(a −6)2
Δ =
−16a + 36 =
(t ≥0)
a2
t2
−
= (a −8 + t) (a −8 −t) = 28
(a −8)2
t2
a
t
a −8 + t a −8 −t
{ a −8 + t = 14
a −8 −t = 2
{ a −8 + t = −2
a −8 −t = −14
a = 16
a = 0
第 10 讲 整数根问题
自我巩固答案
第 10 讲 整数根问题
课堂落实答案
思维突破 / 初二 / 暑假
第 11 讲 概率初步
思维突破 / 初二 / 暑假
【答案】
1
由韦达定理
，注意到两根均为质数
则一根为2一根为2011，
+
= 2013
x1
x2
∴a = 4022
【答案】
2
由韦达定理得
，
两式相减消去m得
又
、
为正整数，可得方程的两根分别为2和3，
+
= −m
x1
x2
= −m + 1
x1x2
(
−1) (
−1) = 2
x1
x2
x1
x2
m = −5
【答案】
3
若
，解得
若
，
则
为正整数，则
综上
r = 0
x = 1
r ≠0 (x −1) [rx −(r + 7)] = 0
1 + 7
r
r = 1, 7
r = 0, 1, 7
【答案】
1
由韦达定理得：
，
则
，解得
+
= −1 −
x1
x2
1
k
= 1 −
x1x2
1
k
(
−1) (
−1) = 3
x1
x2
k = 1, −1
7
【答案】
2
，这里t是整数，解得
，
Δ = 4
+ 9 =
k2
t2
k = 0
±2
【答案】
3
原方程可因式分解为
解得方程的两根为
，
，
，又两根为负整数且不相等，可知
[(a + 1) x −4] [(a −1) x −6] = 0
=
x1
4
a + 1
=
x2
6
a −1
∴(a + 1) |4 (a −1) |6
a = −2
例题练习题答案
【答案】
例1
B
【答案】
例2
D
【答案】
例3
D
【答案】
例4
m + n = 8
【答案】
例5
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
（1）
；（2）
；（3）
(1, 1)
(1, 2)
(1, 3)
(1, 4)
(1, 5)
(1, 6)
(2, 1)
(2, 2)
(2, 3)
(2, 4)
(2, 5)
(2, 6)
(3, 1)
(3, 2)
(3, 3)
(3, 4)
(3, 5)
(3, 6)
(4, 1)
(4, 2)
(4, 3)
(4, 4)
(4, 5)
(4, 6)
(5, 1)
(5, 2)
(5, 3)
(5, 4)
(5, 5)
(5, 6)
(6, 1)
(6, 2)
(6, 3)
(6, 4)
(6, 5)
(6, 6)
1
6
1
9
11
36
【答案】
例6
设锁为
，
，钥匙为，，
其中对应的开锁为
，
列举法一共有6种可能：
，
，
，
，
，
所以概率
A
B
a
b
c
aA
bB
aA
aB
bA
bB
cA
cB
P =
=
2
6
1
3
【答案】
例7
（1）
（2）
（3）
×
+
×
+
×
=
1
2
1
4
1
4
1
4
1
4
1
2
5
16
×
+
×
+
×
=
1
2
1
4
1
4
1
2
1
4
1
4
5
16
×
+
×
+
×
=
1
2
1
2
1
4
1
4
1
4
1
4
3
8
【答案】
例8
先赢4局结束比赛，设张赢为A，李赢为B
AA，ABA，ABBA，ABBB
BAA，BABA，BABB，BBAA
BBAB，BBB（可以用树状图解决）
所以老张获得最后胜利的概率为11
16
【答案】
例9
（1）将不合格记为
，3件合格的记为
、
、
A
B1
B2
B3
第 11 讲 概率初步
自我巩固答案
思维突破 / 初二 / 暑假
共12种情况，其中两个
的有6种
即抽到都是合格品的概率为
（2）
大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.9
抽到合格品的概率等于0.9
根据题意得：
解得：
A
B1
B2
B3
A
B1A
B2A
B3A
B1
AB1
B2B1
B3B1
B2
AB2
B1B2
B3B2
B3
AB3
B1B3
B2B3
B
∴
=
=
P(B,B)
6
12
1
2
1
2
∵
∴
x + 3 = 0.9(4 + x)
x = 6
【答案】
例10
（1）0.3，0.7
（2）70
【答案】
1
满足条件的可能性次数：不出现正面：1种可能；只出现1次正面：10种可能；出现2次：
36种（插入法）可能；出现3次：56种；出现4次：35种；出现5次：6种，共计144种，
所以P =
=
144
210
9
26
【答案】
1
1
5
【答案】
2
将所有情况列举出来，共六种情形，满足条件的有四种，可知概率为
=
4
6
2
3
【答案】
3
1 −(1 −
) (1 −
) =
3
10
7
10
79
100
【答案】
4
（1）
；（2）设该加入x个绿球，知
，解得
=
3
6 + 9 + 3
1
6
=
3 + x
18 + x
1
4
x = 2
第 11 讲 概率初步
课堂落实答案
思维突破 / 初二 / 暑假
第 12 讲 阶段自检B
期末试卷答案
思维突破 / 初二 / 暑假
【答案】
1
C
【答案】
2
B
【答案】
3
1
3
【答案】
4
（1）
；（2）
4 ×
=
(
)
1
4
2
1
4
3 ×
=
(
)
1
4
2
3
16
【答案】
5
列表法将所有情况列举出来，共有8种情况是满足条件的，故概率为
=
8
20
2
5
【答案】
1
C
【答案】
2
A
【答案】
3
A
【答案】
4
B
【答案】
5
A
【答案】
6
A
【答案】
7
C
【答案】
8
1
5
【答案】
9
，
−2
−3
2
【答案】
10
k > −1
4
【答案】
11
或
m ≤0
m ≠1
【答案】
12
有两个不相等的实数根
【答案】
13
由题意画树形图如下：
从树形图看出，所有可能出现结果共有9个
这些结果出现的可能性相等
标号之和等于4的结果共有3种
所以P（标号之和等于4）=
=
3
9
1
3
【答案】
14
（1）公式法：
，
（2）因式分解，公式法均可：
，
（3）因式分解：
，
（4）无解
=
x1
−1 +
5–
√
2
= −
x2
1 +
5–
√
2
= −
x1
1
2
= 3
x2
= −
x1
1
2
=
x2
2
7
【答案】
15
（1）证明：
所以这个方程有两个不等实数根
（2）因式分解：
解得两根
得到不等式组
解得
Δ = 4
−4 (
−2n) = 4 > 0
(n −1)2
n2
(x −n) [x −(n −2)] = 0
= n −2 <
= n
x1
x2
{ n −2 ≥−2
n ≤4
0 ≤n ≤4
【答案】
16
设方程的两根为
、
由根与系数的关系可得
，
由条件可得不等式组
解该不等式组得
或
α
β
α + β = 2t −1
−1
t2
αβ =
1
−1
t2
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
+
=
= 2t −1 > 0
1
α
1
β
α + β
α ⋅β
−1 ≠0
t2
Δ = −4t + 5 ≥0
< t < 1
1
2
1 < t ≤5
4
【答案】
(1)
【答案】
(2)
17
0
301
