第 1 讲 二次函数（一）
例题练习题答案
思维突破 / 初二 / 春季
【答案】
例1
判断下列哪些函数是二次函数，说明原因，并指出二次函数的a、b、c．
①y = kx + b；②y =
3x
x + 4
；
③y = 4(x + 1)2 −8x；④y = (x + 11)2 −x2；
⑤y =
√5
2
(x −3)(x + 6)；⑥y = ax2 + x．
①不是，无二次项；②不是，无二次项；
③是，a = 4，b = 0，c = 4；
④不是，无二次项；
⑤是，a =
√5
2
，b =
3√5
2
，c = −9√5；
⑥不是，a可能为0．
例2
【答案】
(1)
【答案】
(2)
【答案】
(3)
【答案】
(4)
通过观察y = x2的函数图象，判断下列说法是否正确，并说明理由：
对于每个自变量x，有两个函数值和它对应；
错，不符合函数的定义；
对于任意实数x，都有y > 0；
错，f(0) = 0；
若x1、x2互为相反数，则当x = x1和x = x2时，函数的值相等；
对；
对于任意一个函数值y，都有两个自变量x和它对应．
错，f(0) = 0，只有一个．
例3
求出下列二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标：
①y = x2；②y = 2(x −1)2；
【答案】
③y = 3(x + 2)2 −1；④y = −2x2 + 6x + 4．
①开口向上，对称轴x = 0，顶点(0, 0)；
②开口向上，对称轴x = 1，顶点(1, 0)；
③开口向上，对称轴x = −2，顶点(−2, −1)；
④配方得y = −2 x −
3
2
2
+
17
2
，开口向下，
对称轴x =
3
2
，顶点
3
2
,
17
2
．
(
)
(
)
【答案】
例4
①二次函数y = 2x2 + 3x + 2的开口________，对称轴是___________，顶点坐标为_________；
②二次函数y = 3x2 −2x −3的开口________，对称轴是___________，顶点坐标为_________；
③二次函数y = −3x2 + 4x −5的开口________，对称轴是__________，顶点坐标为_________；
④二次函数y = −4x2 −3x −5的开口________，对称轴是__________，顶点坐标为_________．
①向上，对称轴x = −
3
4
，顶点−
3
4
,
7
8
；
②向上，对称轴x =
1
3
，顶点
1
3
, −
10
3
；
③向下，对称轴x =
2
3
，顶点
2
3
, −
11
3
；
④向下，对称轴x = −
3
8
，顶点−
3
8
, −
71
16
．
(
)
(
)
(
)
(
)
【答案】
例5
已知抛物线y = x2 + mx + n的顶点坐标是(−1, −3)，求m和n的值．
由对称轴x = −
m
2
= −1得m = 2，将(−1, −3)代入y = x2 + 2x + n，得n = −2．
A：
例6
二次函数y = ax2 + bx + c（a ≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
4ac −b2
4a
< 0
B：
C：
D：
【答案】
a > 0
c > 0
−
b
2a
< 0
D
A：
B：
C：
D：
【答案】
例7
已知抛物线y = ax2 + bx + c（a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是
（ ）
b2 −4ac < 0
b < 0
c < 0
a + b + c > 0
D
A：
B：
例8
二次函数y = ax2 + bx + c的图象如图所示，反比例函数y =
a
x
与正比例函数y = (b + c)x在同一坐标
系中的大致图象可能是（ ）
C：
D：
【答案】B
例9
【答案】
(1)
【答案】
(2)
已知抛物线f(x) = −x2 + 2x + 2．
该抛物线的对称轴是_________，顶点坐标是________；
对称轴x = 1，顶点(1, 3)；
若该抛物线上两点A x1, y1 ，B x2, y2 的横坐标满足x1 > x2 > 1，试比较f x1 与f x2 的大
小．
当x > 1时，二次函数单调递减，故f x1
< f x2 ．
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
A：
B：
C：
D：
【答案】
例10
向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且满足y = ax2 + bx + c(a ≠0)．若此炮弹在第7秒与
第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
第8秒
第10秒
第12秒
第15秒
B
【答案】
(1)
(2)
例11
已知抛物线y = 2x2 −4x −6上两点A x1, y1 ，B x2, y2 的横坐标满足：1 < x1 < 2，x2 < −2
，试比较y1与y2的大小；
开口向上，对称轴x = 1，
x2离对称轴远，故y2 > y1；
已知抛物线y = −2x2 −4x −6 上两点A x1, y1 ，B x2, y2 的横坐标满足：1 < x1 < 2 ，
x2 < −2，试比较y1与y2的大小；
(
)
(
)
(
)
(
)
【答案】
【答案】
(3)
【答案】
(4)
开口向下，对称轴x = −1，
①当−3 ≤x2 < −2时，y2 > y1
②当−4 < x2 < −3时，
当x2 > −2 −x1时，y2 > y1
当x2 < −2 −x1时，y2 < y1
②当x2 ≤−4时，y2 < y1
已知抛物线y = ax2 −2ax −3(a > 0)上两点A 3, y1 ，B −2, y2 ，试比较y1与y2的大小；
开口向上，对称轴x = 1，
−2离对称轴远，故y2 > y1；
已知抛物线y = ax2 −2ax −3(a ≠0)上两点A 3, y1 ，B −2, y2 ，试比较y1与y2的大小．
①当a > 0时，开口向上，对称轴x = 1，
−2离对称轴远，故y2 > y1；
②当a < 0时，开口向下，对称轴x = 1，
−2离对称轴远，故y1 > y2；
(
)
(
)
(
)
(
)
【答案】
例12
如图，已知二次函数y = ax2 + bx + c的图象，抛物线的对称轴为x = 1，试确定3b −2c的符号．
开口向下：a < 0；对称轴x = 1：a = −
b
2
，b > 0；纵截距c > 1；注意到f(−1) < 0，则有：
a −b + c < 0，即−
3
2
b + c < 0，故3b −2c > 0．
1
已知二次函数y = ax2 + bx + c的一段图象如图所示，试确定a，b，c的正负，并且求出a + b + c的
范围．
第 1 讲 二次函数（一）
自我巩固答案
思维突破 / 初二 / 春季
【答案】①开口向上，a > 0；
②对称轴大于0，b < 0；
③纵截距c = −1；
由f(−1) = 0得到，a −b + c = 0；
得到a = b + 1 > 0 ⇒−1 < b < 0，
∴y = (b + 1)x2 + bx −1，∴−2 < f(1) < 0，
故−2 < a + b + c < 0．
【答案】
1
写出下列二次函数的开口方向，对称轴以及顶点坐标，最值（最大值或最小值）．
①y = 2x2 + 6x −5；②y = −3x2 + 4x −4；③y = −4x2 −6x + 7；④y = 2x2 −5x + 7．
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
①y = 2x2 + 6x −5
向上
x = −
3
2
−
3
2
, −
19
2
最小值−
19
2
②y = −3x2 + 4x −4
向下
x =
2
3
2
3
, −
8
3
最大值−
8
3
③y = −4x2 −6x + 7
向下
x = −
3
4
−
3
4
,
37
4
最大值
37
4
④y = 2x2 −5x + 7
向上
(
)
(
)
(
)
思维突破 / 初二 / 春季
x =
5
4
5
4
,
31
8
最小值
31
8
(
)
A：
B：
C：
D：
【答案】
2
函数y = ax + b与y = ax2 + bx + c在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
C
【答案】
3
已知y = ax2 + bx + c图象如下图所示，则下列说法中，正确的有_____________．
①ab > 0；②a −b + c < 0；③2a + b > 0；④b −a > 0．
①②③④．
4
【答案】
(1)
【答案】
(2)
已知二次函数：y = f(x) = −2x2 + 4x + 5．
求二次函数的开口方向，顶点坐标以及对称轴；
开口向下，顶点坐标为(1, 7)，对称轴为x = 1；
如果x1 = 1 +
3√2，x2 = 1 −
3√2，利用图象性质比较f x1 ，f x2 的大小．
相等.
( )
( )
第 1 讲 二次函数（一）
课堂落实答案
A：
B：
C：
D：
【答案】
1
对于抛物线y = −
1
3
(x −5)2 + 3，下列说法正确的是（ ）
开口向下，顶点坐标(5, 3)
开口向上，顶点坐标(5, 3)
开口向下，顶点坐标(−5, 3)
开口向上，顶点坐标(−5, 3)
A
A：
B：
C：
D：
【答案】
2
在同一直角坐标系中，函数y = mx + m和y = −mx2 + 2x + 2（m ≠0）的图象可能是（ ）
D
3
写出下列二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，最值（说明最大值或最小值）．
第 2 讲 二次函数（二）
例题练习题答案
思维突破 / 初二 / 春季
【答案】
①y = 4x2 −8x + 7；②y = −2x2 −9x；③y = −3x2 −3；④y = 5x2 + 4x −1．
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
①y = 4x2 −8x + 7
向上
x = 1
(1, 3)
最小值3
②y = −2x2 −9x
向下
x = −
9
4
−
9
4
,
81
8
最大值
81
8
③y = −3x2 −3
向下
x = 0
(0, −3)
最大值−3
④y = 5x2 + 4x −1
向上
x = −
2
5
−
2
5
, −
9
5
最小值−
9
5
(
)
(
)
例1
【答案】
(1)
【答案】
(2)
【答案】
(3)
【答案】
(4)
求解下列二次函数的解析式：
已知二次函数y = ax2 + 4x −1，其图象过点(−1, −8)；
y = −3x2 + 4x −1；
已知二次函数y = ax2 + bx −3的图象经过点A(2, −3)，B(−1, 0)；
y = x2 −2x −3；
已知二次函数y = ax2 + bx + c的图象经过点A(2, −2)，B(−1, −8)，C(0, −4)；
y = −x2 + 3x −4；
已知二次函数的图象经过点A(1, 4)，B(−1, 6)，C(3, 26)．
y = 3x2 −x + 2．
例2
求解下列二次函数的解析式：
【答案】
(1)
【答案】
(2)
【答案】
(3)
【答案】
(4)
已知二次函数y = 2(x −h)2 + k，其图象的顶点为(2, 3)；
y = 2x2 −8x + 11；
已知二次函数y = a(x −3)2 + 4，其图象过点(4, 6)；
y = 2x2 −12x + 22；
已知二次函数的顶点为(−1, −2)，且图象过点(−2, 1)；
y = 3x2 + 6x + 1；
已知二次函数的对称轴为x = −2，且过点(−4, 5)和−3,
7
2
．
y =
1
2
x2 + 2x + 5．
(
)
例3
【答案】
(1)
【答案】
(2)
【答案】
(3)
求解下列二次函数的解析式：
已知二次函数y = x2 + bx + c与x轴的两个交点的坐标为(1, 0)和(3, 0)；
y = x2 −4x + 3；
已知二次函数与x轴交于两点(−2, 0)和(3, 0)，且经过点(2, 4)；
y = −x2 + x + 6；
已知一元二次方程ax2 + bx + c = 0的两根为x1 =
1
2
，x2 = −2，且二次函数y = ax2 + bx + c的
图象经过点1,
1
2
．
y =
1
3
x2 +
1
2
x −
1
3
．
(
)
例4
(1)
求解下列二次函数的解析式：
已知二次函数的图象经过点A(3, −2)和B(1, 0)，且对称轴是直线x = 3；
【答案】
【答案】
(2)
【答案】
(3)
y =
1
2
x2 −3x +
5
2
；
已知二次函数当x = 4时有最小值−3，且它的图象与x轴两个交点之间的距离为6；
y =
1
3
x2 −
8
3
x +
7
3
；
已知一个二次函数图象经过(−1, 10)、(2, 7)和(1, 4)三点．
y = 2x2 −3x + 5．
例5
【答案】
(1)
【答案】
(2)
【答案】
(3)
【答案】
(4)
求解下列抛物线平移后的解析式：
将抛物线y = x2，向左平移一个单位，向上平移一个单位；
y = x2 + 2x + 2；
将抛物线y = (x −1)2，向右平移一个单位，向下平移一个单位；
y = x2 −4x + 3；
将抛物线y = 3(x + 2)2 −5，向右平移三个单位，向上平移两个单位；
y = 3x2 −6x；
将抛物线向左平移两个单位，向下平移三个单位，得到的二次函数解析式为
y = −2(x + 1)2 −1，求原抛物线的解析式．
y = −2x2 + 4x．
【答案】
例6
将抛物线y = x2 + x −2先关于x轴作对称变换，得到的抛物线再关于y轴作对称变换，求最终得到的
抛物线解析式．
y = −x2 + x + 2．
(1)
例7
思考：y = x2 −1与y = x2 −1 的图象与性质；
|
|
【答案】
【答案】
(2) 思考：y = x2 + 4|x| + 3与y = x2 −4|x| + 3的图象与性质．
【答案】
(1)
【答案】
(2)
【答案】
(3)
例8
已知二次函数y = x2 + bx + c的图象如下图所示，其解析式为____________；
y = x2 −2x；
已知二次函数的图象经过原点及点−
1
2
, −
1
4
，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，
则该二次函数的解析式为__________________；
y = x2 + x或y = −
1
3
x2 +
1
3
x；
已知经过原点的二次函数在x = 3时，取到最小值−3，则其解析式为______________；
y =
1
3
x2 −2x；
(
)
【答案】
(4)
【答案】
(5)
已知二次函数y = ax2 + bx + c的顶点是(1, 16)，且与x轴交于A、B两点，已知AB = 8，其解析
式为____________；
y = −x2 + 2x + 15；
已知二次函数y = x2 + bx + c的图象经过点3 + √3, 2 和3 −√3, 2 ，其解析式为
___________．
y = x2 −6x + 8．
(
) (
)
【答案】
例9
平面直角坐标系xOy中，抛物线y = ax2 −4ax + 4a + c与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点
C，点A的坐标为(1, 0)，OB = OC，抛物线的顶点为D，求此抛物线的解析式，并写出D的坐标．
对称轴x = −
b
2a
= 2，点A(1, 0)，则点B(3, 0)
点C(0, 3)，4a + c = 3，代入A(1, 0)得a + c = 0
解方程组得到a = 1，c = −1
所以y = x2 −4x + 3，点D(2, −1)
例10
【答案】
(1)
【答案】
(2)
如图，已知二次函数y = −
1
2
x2 + bx + c的图象经过A(2, 0)、B(0, −6)两点．
求这个二次函数的解析式；
y = −
1
2
x2 + 4x −6；
设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．
6．
1
已知二次函数y = ax2 + 4ax + 4a −1的图象是c1．
第 2 讲 二次函数（二）
自我巩固答案
思维突破 / 初二 / 春季
【答案】
(1)
【答案】
(2)
求c1关于R(1, 0)成中心对称的图象c2的函数解析式；
y = −ax2 + 8ax −16a + 1；
在（1）的条件下，设抛物线c1、c2与y轴的交点分别为A，B，当AB = 18时，求a的值．
a = −
4
5
或1．
【答案】
1
求下列抛物线解析式：
①已知抛物线过点(2, 0)，(−1, 0)，(1, 4)；
②已知抛物线过点(−1, 0)，(3, 0)，(0, −3)．
①y = −2x2 + 2x + 4；②y = x2 −2x −3．
【答案】
2
已知二次函数y = x2 + kx −12的图象向右平移4个单位后，经过原点，求k的值．
平移后的解析式为：y = (x −4)2 + k(x −4) −12 = x2 + (k −8)x + 4 −4k．解方程得k = 1．
3
【答案】
(1)
【答案】
(2)
抛物线y = x2 + ax + b的顶点为A(5, 0)．
求抛物线的解析式；
顶点为(5, 0)，可知该二次函数解析式为y = (x −5)2 = x2 −10x + 25；
若抛物线与y轴交于B，求△AOB的面积．
易知B点的坐标为(0, 25)，SΔAOB =
1
2
⋅| OA | ⋅| OB | =
1
2
⋅5 ⋅25 =
125
2
．
4
如图，已知抛物线与x轴交于A(−1, 0)，E(3, 0)两点，与y轴交于点B(0, 3)．
第 2 讲 二次函数（二）
课堂落实答案
思维突破 / 初二 / 春季
【答案】
(1)
【答案】
(2)
求抛物线的解析式；
设二次函数解析式为y = a(x + 1)(x −3), (a < 0)，代入B点坐标，易得a = −1，所以该
抛物线的解析式为y = −x2 + 2x + 3；
设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积．
将二次函数解析式化为顶点式，得y = −(x −1)2 + 4，可知顶点D坐标为(1, 4)，过D
作DF⊥x轴于点F ，y 轴和线段DF 将四边形AEDB 分为三部分，
S四边形AEDB = S △ABO + S梯形OBDF + S △DEF =
1
2
AO ⋅BO +
1
2
(BO + DF) ⋅OF +
1
2
DF ⋅EF = 9
1
【答案】
(1)
【答案】
(2)
(3)
求下列二次函数的解析式：
已知二次函数经过A(0, 1)，B(1, 7)，C(2, 17)三点；
y = 2x2 + 4x + 1；
已知二次函数经过A(3, 0)，B(5, 0)两点，且最大值为4；
y = −4x2 + 32x −60；
已知二次函数经过y = ax2 + bx −1与x轴交于两点(1, 0)，(−4, 0)．
第 3 讲 二次函数（三）
例题练习题答案
思维突破 / 初二 / 春季
【答案】
y =
1
4
x2 +
3
4
x −1．
【答案】
2
将抛物线y = ax2 −5x + c向上平移3个单位，向左平移2个单位，平移后得到的抛物线顶点坐标为
1
2
,
11
4
，求a，c的值．
a = 1，c = 6．
(
)
【答案】
例1
已知二次函数y = 3x2 + x −10，求它与坐标轴的交点．
x轴：
5
3
, 0 和(−2, 0)；
y轴：(0, −10)．
(
)
【答案】
(1)
【答案】
(2)
例2
二次函数y = x2 −mx + 3的图象与x轴交于点(1, 0)，则该二次函数与x轴的另一个交点是
____________；
(3, 0)
已知抛物线y = ax2 + 2ax + a2 + 2与x轴的一个交点为(−3, 0)，则关于x的一元二次方程
ax2 + 2ax + a2 + 2 = 0的解为_______________．
x1 = −3，x2 = 1
【答案】
(1)
【答案】
(2)
例3
已知二次函数y = x2 + 3x −b与x轴有两个不同交点，求b的取值范围；
b > −
9
4
；
已知函数y = kx2 + 4x + 4与x轴有唯一交点，求k的取值；
k = 1或k = 0；
【答案】
(3) 已知抛物线y = (k −1)x2 −2x −1，是否存在k值，使得无论x取何值，y ≥0．若存在，求出k的
取值范围，若不存在，请说明理由．
4 + 4(k −1) ≤0
k −1 > 0
，无解，不存在．
{
【答案】
例4
设二次函数y = ax2 + bx + c，当x = −2时取得最大值为10，并且它的图象在x轴上截得的线段长为
4，求a，b，c的值．
a = −
5
2
，b = −10，c = 0．
【答案】
例5
已知抛物线y = −x2 + bx + c与y轴交于A，与x轴交于B、C，且BC = 4，S △ABC = 6，求抛物线解
析式．
y1 = −x2 + 2x + 3，y2 = −x2 −2x + 3，y3 = −x2 + 2√7x −3，y4 = −x2 −2√7x −3．
【答案】
例6
判断抛物线y = x2 + 2x −3与下列直线的交点个数，并求出所有交点坐标：
①直线x = 0；②直线y = 0；③直线y = x + 3；
④直线y = 4x −4；⑤直线y = −6x −37．
①1个，(0, −3)；②2个，(1, 0)(−3, 0)；
③2个，(−3, 0)(2, 5)；④1个，(1, 0)；⑤无．
【答案】
例7
判断下列抛物线与直线有几个交点，并求出所有交点坐标：
①抛物线y = −x2 + 8x −1，直线y = 2x + 4；
②抛物线y = −x2 + 12x −21，直线y = 2x + 4；
③抛物线y = −x2 + 14x −34，直线y = 2x + 4．
①2个，(1, 6)，(5, 14)；
②1个，(5, 14)；
③无．
【答案】
(1)
【答案】
(2)
例8
已知抛物线y = x2 −x + k与直线y = x + 6有交点，求k的取值范围；
k ≤7；
已知抛物线y = x2 + 3x −b与直线y = bx −3只有一个公共点，求b的取值．
b = 3或b = −1．
第 3 讲 二次函数（三）
自我巩固答案
思维突破 / 初二 / 春季
例9
【答案】
(1)
【答案】
(2)
【答案】
(3)
已知P(−3, m)和Q(1, m)是抛物线y = 2x2 + bx + 1上的两点．
求b的值；
b = 4；
判断关于x的一元二次方程2x2 + bx + 1 = 0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，
请说明理由；
x =
−2 ± √2
2
；
将抛物线y = 2x2 + bx + 1的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交
点，求k的最小值．
k的最小值是2．
【答案】
例10
二次函数y = x2 −mx + m的图象与x轴交于A x1, 0 ，B x2, 0 且x2
1
+ x2
2
= 3，求m．
m = −1．
(
)
(
)
【答案】
1
当b为何值时，抛物线y = x2 −2x + 4在直线y = x + b上截得的弦长等于2√2．
b =
11
4
1
【答案】
(1)
【答案】
(2)
已知函数y = ax2 −6x + 9．
若函数与x轴有两个不同的交点，求a的取值范围；
a < 1，a ≠0
若函数与x轴有且只有一个交点，求a的取值；
a = 1或a = 0
第 3 讲 二次函数（三）
课堂落实答案
思维突破 / 初二 / 春季
【答案】
(3) 若函数与x轴没有交点，求a的取值范围．
a > 1
【答案】
2
已知二次函数y = 3x2 + 3x −13与直线y = −8x + 7，求它们交点的坐标．
3x2 + 3x −13 = −8x + 7，得到3x2 + 11x −20 = 0，解方程即得
4
3
, −
11
3
，(−5, 47)
(
)
【答案】
3
已知将抛物线y = 2x2进行平移，使得新的抛物线在x轴上截得的线段长为1，在y轴上的截距为4，
求平移后得到的抛物线的解析式．
设平移后抛物线解析式为y = 2x2 + bx + c，
依题意，c = 4，且
√b2 −8c
2
= 1，故b = ± 6．
所以解析式为y = 2x2 ± 6x + 4．
【答案】
4
函数y =
k2 −1 x2 + 2kx + 1与函数y = −x有一个公共点，求k的取值．
若k = ± 1，满足题意．
若k ≠1且k ≠−1，令k2 −1 x2 + 2kx + 1 = −x，则k2 −1 x2 + (2k + 1)x + 1 = 0，
由Δ = 0得：k = −
5
4
．
综上得k = ± 1或k = −
5
4
．
(
)
(
)
(
)
【答案】
1
①已知二次函数y = 4x2 −5x + 1，求它与坐标轴的交点；
②已知二次函数y = 4x2 −7x −15，求它与坐标轴的交点．
①与x轴交点：(1, 0)、
1
4
, 0 ；
与y轴交点：(0, 1)；
(
)
第 4 讲 二次函数（四）
例题练习题答案
思维突破 / 初二 / 春季
②与x轴交点：(3, 0)、−
5
4
, 0 ；
与y轴交点：(0, −15)．
(
)
【答案】
2
已知二次函数y = 6x2 + 14x + 1与直线y = x −1，求它们交点的坐标．
交点：−
1
6
, −
7
6
，(−2, −3)
(
)
3
【答案】
(1)
【答案】
(2)
已知二次函数y = x2 −2ax + a −2．
求证该二次函数与x轴有两个不同的交点；
Δ = 4a2 −4a + 8 = 4 a −
1
2
2
+ 7 > 0，所以总有两个不同交点．
当a取何值时，该二次函数在x轴上截得的线段长最短，最短线段长为多少？
x1 −x2 =
√Δ
|a|
=
4 a −
1
2
2
+ 7 ≥√7，当a =
1
2
时，截得线段最短，为√7．
(
)
|
|
√(
)
【答案】
例1
求解下列不等式：
①x2 + 3x + 2 > 0；②x2 + 2x + 1 > 0；
③x2 + 2x + 1 ≥0；④x2 + 2x + 2 > 0；
⑤2x2 + 3x −2 > 0；⑥x2 + 3x + 1 > 0；
⑦−4x2 −5x + 6 > 0；⑧−2x2 + 3x −2 > 0；
⑨−3x2 −4x + 1 > 0；⑩−2x2 + 5x −3 < 0．
①x > −1或x < −2；②x ≠−1；
③任意实数；④任意实数；
⑤x >
1
2
或x < −2；⑥x >
√5 −3
2
或x < −
√5 + 3
2
；
⑦−2 < x <
3
4
；⑧无解；
⑨−
2 + √7
3
< x <
√7 −2
3
；⑩x >
3
2
或x < 1．
【答案】
例2
解不等式：2 ≤x2 + 5x + 8 < 3．
−5 −√5
2
< x ≤−3或−2 ≤x <
−5 + √5
2
．
【答案】
例3
不画图解下列一元二次不等式：
①(x −2)(x −3) > 0；②(x −1)(x + 2) < 0；
③−x2 + 3x −2 ≥0；④−x2 + 5x + 2 ≤0．
①x > 3或x < 2；②−2 < x < 1；
③1 ≤x ≤2；④x ≤
5 −√33
2
或x ≥
5 + √33
2
．
【答案】
例4
解下列不等式：
①
x + 1
x + 5
< 0；②
x
9 −x
≤0；③
x + 2
5 −x
> 1；④
x −10
x −4
≥3．
①−5 < x < −1；②x ≤0或x > 9；
③
3
2
< x < 5；④1 ≤x < 4．
【答案】
例5
求不等式x −1 < (x −1)2 < 3x + 7的整数解的个数．
4个．
【答案】
例6
解不等式：5|x| + 24 < x2．
x > 8或x < −8．
【答案】
例7
解关于x的不等式：x2 + (m −1)x −m ≥0．
当m > −1时，x ≤−m或x ≥1；
当m = −1时，x为任意实数；
当m < −1时，x ≤1或x ≥−m．
例8
关于x的不等式x2 + (p −2)x + 2p + 1 > 0对任意的实数x均成立，求实数p的取值范围．
第 4 讲 二次函数（四）
自我巩固答案
思维突破 / 初二 / 春季
第 4 讲 二次函数（四）
课堂落实答案
思维突破 / 初二 / 春季
【答案】0 < p < 12．
【答案】
1
关于x的不等式mx2 −(2m + 1)x + 3m + 1 < 0对于任意实数x均成立，求实数m的取值范围．
m < −
√2
4
．
【答案】
1
解下列不等式：
①4x2 −4x > 15；②14 −x2 ≥x；③4x2 −x −6 < 0；
④(2x −1)2 −(3x + 2)2 > 9；⑤−
2
3
x2 −2x < x + 1；⑥
3x −1
2x −3
≥0．
①x < −
3
2
或x >
5
2
；②
−1 −√57
2
≤x ≤
−1 + √57
2
；③
1 −√97
8
< x <
1 + √97
8
；
④−2 < x < −
6
5
；⑤x <
−9 −√57
4
或x >
−9 + √57
4
；⑥x ≤
1
3
或x >
3
2
．
【答案】
2
关于x的不等式x2 + mx + n ≤0的解集是−2 ≤x ≤3，求m，n．
根据题意，−2和3是方程x2 + mx + n = 0的两个根，
利用韦达定理可得，−m = −2 + 3，n = (−2) × 3．解得m = −1，n = −6．
【答案】
3
关于x的方程x2 + 2(m −1)x + 3m2 = 11有两个不相等的实根，求m的取值范围．
根据题意，Δ = 4(m −1)2 −12m2 + 44 > 0，解之得−3 < m < 2．
1
解下列不等式：
第 5 讲 二次函数（五）
例题练习题答案
思维突破 / 初二 / 春季
【答案】
①2x2 + 8x + 3 > 0；②(x + 3)(x −6) ≤−8；③
x + 1
x −5
≥2；④9x2 + 28 > 84(x −2)．
①x > −2 +
√10
2
或x < −2 −
√10
2
；②−2 ≤x ≤5；③5 < x ≤11；④x ≠
14
3
．
【答案】
2
解不等式：12 ≤3x2 + 5x + 13 < 2x2 + 27．
−5 + √13
6
≤x < 2或−7 < x ≤
−5 −√13
6
．
【答案】
例1
已知抛物线y = 3x2 −18x + 13的图象经过17, y1 、21, y2 ，比较y1和y2的大小．
对称轴x = −
b
2a
= 3，开口方向向上，
当x > 3，y随着x增大而增大，
所以y1 < y2．
(
) (
)
【答案】
例2
①求二次函数y = x2 −2x + 5在3 ≤x ≤6时的最大值和最小值；
②求二次函数y = −x2 −5x + 2在1 ≤x ≤3时的最大值和最小值；
③求二次函数y = 2x2 −8x −7在0 ≤x ≤6时的最大值和最小值．
①当x = 3，y取得最小值8，
当x = 6，y取得最大值29；
②当x = 3，y取得最小值−22，
当x = 1，y取得最大值−4；
③当x = 2，y取得最小值−15，
当x = 6，y取得最大值17．
例3
①已知二次函数y = x2 −6x在m ≤x ≤5时的最大值和最小值分别是0和−9，求m可能的取值；
②已知二次函数y = x2 −6x在m ≤x ≤5时的最大值和最小值分别是−5和−9，求m的取值范围．
【答案】①m = 0；②1 ≤m ≤3．
【答案】
例4
已知二次函数y = x2 −2bx在0 ≤x ≤5时的最小值是−5，求b的值．
对称轴x = −
b
2a
= b．
①当b ≤0时，函数在0 ≤x ≤5单调递增，
最小值在x = 0时取得，此时y = 0 ≠−5，故舍去；
②当0 < b < 5时，函数在0 ≤x ≤5的最小值在x = b时取得，此时y = b2 −2b2 = −5，
b1 = √5，b2 = −√5（舍去）；
③当b ≥5时，函数在0 ≤x ≤5单调递减，
最小值在x = 5时取得，
此时y = 25 −10b = −5，b = 3，舍去．
综上所述：b = √5．
例5
【答案】
(1)
【答案】
(2)
某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套，经过一段时间的经营发现，当每套机械设备的月租
金为270元时，恰好全部租出，在此基础上，当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少
租出一套，且没租出的一套设备每月需支出费用（维护费、管理费等）10元，设每套设备的月租
金为x元，租赁公司出租该型号设备的月收益（收益= 租金收入−支出费用）为y元．
求y与x之间的函数关系式；
根据题意得：
y = x 40 −
x −270
10
−
x −270
10
× 10
= −
1
10
x2 + 66x + 270
= −
1
10
(x −330)2 + 11160（x > 270）
当月租金分别为300元和360元时，租赁公司的月收益分别是多少元？此时出租多少套机械设
备？
当月租金为300元时，少租
300 −270
10
= 3套
公司收益为300 × 37 −3 × 10 = 11070元；
当月租金为360元时，少租
360 −270
10
= 9套
(
)
【答案】
(3)
公司收益为360 × 31 −9 × 10 = 11070元；
当月租金分别为300元和360元时，租赁公司的月收益都是11070元，此时应该出租
31套，租金为360元，租出去有坏的风险；
当租金为多少时，租赁公司出租该型号设备月收益最大？最大月收益是多少？
当x = 330时，y最大为11160
∴当x = 330时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大，最大月收益是11160元．
例6
【答案】
(1)
【答案】
(2)
【答案】
(3)
如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在
距O点
5
2
米的B处发现球在自己的正上方达到最高点M，距地面约
49
24
米高，球落地后又一次弹起．
已知，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的
一半．
求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的解析式；
y = −
1
6
x2 +
5
6
x + 1；
足球第一次落地点C距守门员多少米？
6米；
求足球第一次落地后弹起抛物线的解析式．
y = −
1
6
x −6 −
7√2
4
2
+
49
48
．
(
)
例7
用长度为20米的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边
长为2x米．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属
框围成的图形的最大面积（矩形包括四条边）．
【答案】S = −3 + 2√2 x2 + 20x 0 < x < 10 −5√2 ．
当矩形两邻边各为60 −40√2 m，10√2 −10 m时，
图形有最大面积，最大面积为300 −200√2 m2．
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
A：
B：
C：
D：
【答案】
例8
y = x2 + (1 −a)x + 1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1 ≤x ≤3时，y在x = 1时取得最大值，
则实数a的取值范围是（ ）
a ≤−5
a ≥5
a = 3
a ≥3
B
例9
【答案】
(1)
如图，Rt △ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B
两点的坐标分别为(−3, 0)、(0, 4)，抛物线y =
2
3
x2 + bx + c经过B点，且顶点在直线x =
5
2
上．
求抛物线对应的函数关系式；
∵抛物线y =
2
3
x2 + bx + c的顶点在直线x =
5
2
上，
∴设所求抛物线的函数关系式为y =
2
3
x −
5
2
2
+ m
∵点B(0, 4)在此抛物线上，
(
)
【答案】
(2)
【答案】
(3)
∴4 =
2
3
×
−
5
2
2
+ m解得m = −
1
6
．
∴所求函数关系式为：y =
2
3
x −
5
2
2
−
1
6
=
2
3
x2 −
10
3
x + 4
若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否
在该抛物线上，并说明理由；
在Rt △ABO中，OA = 3，OB = 4
∴AB = √OA2 + OB2 = 5
∵四边形ABCD是菱形
∴BC = CD = DA = AB = 5
∴C、D两点的坐标分别是(5, 4)、(2, 0)
当x = 5时，y =
2
3
× 52 −
10
3
× 5 + 4 = 4
当x = 2时，y =
2
3
× 22 −
10
3
× 2 + 4 = 0
∴点C和点D在所求的抛物线上
若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设
点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐
标．
设直线CD对应的函数关系式为y = kx + b ′
则
5k + b ′ = 4
2k + b ′ = 0
，解得
k =
4
3
b ′ = −
8
3
∴y =
4
3
x −
8
3
∵MN∥y轴，M的横坐标为t
∴N点的横坐标也为t，则
yM =
2
3
t2 −
10
3
t + 4，yN =
4
3
t −
8
3
( )
(
)
{
{
第 5 讲 二次函数（五）
自我巩固答案
思维突破 / 初二 / 春季
∴l = yN −yM = −
2
3
t2 +
14
3
t −
20
3
= −
2
3
t −
7
2
2
+
3
2
当t =
7
2
时，l取得最大值
最大值为
3
2
，此时M
7
2
,
1
2
(
)
(
)
1
【答案】
(1)
【答案】
(2)
已知二次函数y = x2 + 2x + c．
当c = −3时，求出该二次函数的图象与x轴的交点坐标；
解方程x2 + 2x −3 = 0，解得x1 = −3，x2 = 1，所以交点为(−3, 0)和(1, 0)；
当−2 < x < 1时，该二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围．
−3 < c ≤0或c = 1
1
【答案】
(1)
【答案】
(2)
已知二次函数与x轴交于点(−1, 0)，(3, 0)，与y轴交于点(0, 3)．
求二次函数的解析式；
y = −x2 + 2x + 3；
当−2 ≤x ≤m时，二次函数的最大值和最小值分别是4和−5，求m的取值范围．
最大值是整个二次函数的最大值，说明能取到顶点，故m ≥1；
由f(−2) = −5，对称轴为x = 1
由对称性可知f(−2) = f(4)
由y的最小值为−5，可知m ≤4，
综上1 ≤m ≤4．
2
某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金
500万元添置机器设备进行批量生产．已知生产每件产品的成本为40元，在销售过程中发现，年
【答案】
(1)
【答案】
(2)
销售单价定为100元时，年销售量为20万件，销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件，设销
售单价为x元，年获利（年获利= 年销售额−生产成本−投资）为z万元．
试写出z与x之间的函数关系式；
z = −
1
10
x2 + 34x −2200；
销售单价定为多少元时年获利最大？相应的年销售量为多少万件？年获利为多少万元？
单价为170元时获利最大，此时，年销售量为13万件，年获利为690万元．
3
【答案】
(1)
【答案】
(2)
如图，抛物线y = −x2 + bx + c与直线y =
1
2
x + 2交于C，D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为
3,
7
2
．点P是y轴右侧抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．
求抛物线的解析式；
将C(0, 2)，D 3,
7
2
代入即可求出y = −x2 +
7
2
x + 2；
若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明
理由．
由平行四边形的性质得到：PF = OC = 2，
只需解方程：−m2 +
7
2
m + 2
−
1
2
m + 2
= 2，可得：m = 1, 2；
解方程：
1
2
m + 2
−
−m2 +
7
2
m + 2
= 2，
可得：m =
3 + √17
2
或m =
3 −√17
2
（舍去），
(
)
(
)
(
) (
)
(
) (
)
第 5 讲 二次函数（五）
课堂落实答案
思维突破 / 初二 / 春季
综上m = 1, 2,
3 + √17
2
．
【答案】
1
求二次函数y = 3x2 + 12x −4在−3 ≤x ≤1时的最大值和最小值．
开口向上，对称轴x = −2，可得x = −2时，有最小值−16；x = 1时，有最大值11．
【答案】
2
已知二次函数y = −x2 −px + 4在−3 ≤x ≤1时有最大值8，求p的值．
开口向下，对称轴x = −
p
2
，分成三种情况讨论即可．
①−
p
2
≥1，即p ≤−2时，
x = 1时，有最大值−1 −p + 4 = 8，得p = −5；
②−
p
2
≤−3，即p ≥6时，
x = −3时，有最大值−9 + 3p + 4 = 8，得p =
13
3
（舍去）；
③−3 < −
p
2
< 1，即−2 < p < 6时，
有最大值
p2
4
+ 4 = 8，得p = 4或p = −4（舍去）；
综上：p = 4或p = −5．
3
【答案】
(1)
某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利
33万元．该生产线投入后，从第1年到第x年的维修、保养费累计为y（万元），且y = ax2 + bx，若
第一年的维修、保养费为2万元，第二年的维修、保养费为4万元．
求y的解析式；
y = x2 + x(x > 0)；
第 6 讲 二次函数（六）
例题练习题答案
思维突破 / 初二 / 春季
【答案】
(2)
【答案】
(3)
投产后，这个企业计划在五年内收回投资，这个计划能实现吗？
能，设第x年时，创利为z（万元），则z = 33x −x2 + x −100(x > 0)．当x = 5时，
z = 35 > 0，企业已经创利，因此计划能实现；
投产后，这个企业在第几年累计创利达到最大值，最大值为多少？
第16年创利最多，156万元．
(
)
例1
【答案】
(1)
【答案】
(2)
(3)
已知二次函数y = (t + 1)x2 + 2(t + 2)x +
3
2
，在x = 0和x = 2时的函数值相等．
求二次函数的解析式；
根据题意可得：二次函数的对称轴为x = 1，
则−
2(t + 2)
2(t + 1)
= 1，解得t = −
3
2
．
∴函数的解析式为y = −
1
2
x2 + x +
3
2
；
若一次函数y = kx + 6与二次函数的图象都经过点A(−3, m)，求m和k的值；
∵二次函数图象过A(−3, m)
∴m = −
1
2
(−3)2 + (−3) +
3
2
= −6
又∵一次函数经过点A
∴−3k + 6 = −6，解得k = 4；
设二次函数的图象与x轴交于点B ， C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B ， C间
的部分（含点B和点C）向左平移n(n > 0)个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的
直线y = kx + 6向上平移n个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，n
的取值范围．
【答案】∵平移前的二次函数与x轴的两个交点为(−1, 0)和(3, 0)
∴平移后的二次函数图象G为：
y = −
1
2
(x + n)2 + x + n +
3
2
(−n −1 ≤x ≤3 −n)
同理平移后的一次函数的图象为：y = 4x + 6 + n
①若平移后的直线和抛物线相切，
即−
1
2
(x + n)2 + x + n +
3
2
= 4x + 6 + n只有一个根
∴Δ = [−(n + 3)]2 −4 −
1
2
−
1
2
n2 −
9
2
= 0
解得n = 0，与n > 0矛盾，所以不可能相切
②若平移后直线和抛物线有不相切的公共点，
两个临界点为(−n −1, 0)和(3 −n, 0)
分别把这两个临界点代入平移后的直线方程得
4(−n −1) + 6 + n = 0和4(3 −n) + 6 + n = 0，
分别解得n =
2
3
和n = 6，∴
2
3
≤n ≤6．
( )(
)
例2
【答案】
(1)
【答案】
(2)
已知抛物线y = kx2 + 2kx −3k交x轴于A、B两点（A在左侧），交y轴于C点，且二次函数有最大值
4．
求二次函数的解析式；
由题意易知：y = −x2 −2x + 3；
在抛物线上是否存在点P，使△PBC是直角三角形？若存在，求出坐标，不存在，请说明理
由；
B(1, 0)，C(0, 3)，设P t, −t2 −2t + 3 ，
①当C是Rt △PBC直角顶点时，过点P作y轴的垂线垂足为E，则△CPE∽△BCO
(
)
【答案】
(3)
∴
OC
OB
=
PE
CE
=
−t
3 −−t2 −2t + 3
= 3
解得t = −
7
3
，此时P −
7
3
,
20
9
．
②当B是Rt △PBC直角顶点时，过点P作x轴的垂线垂足为F，则△PBF∽△BCO
∴
OC
OB
=
BF
FP
=
−t + 1
t2 + 2t −3
= 3
解得t = −
10
3
，此时P −
10
3
, −
13
9
．
③当P是Rt △PBC直角顶点时，这样的点P不存在．
综上所述：P1 −
7
3
,
20
9
，P2 −
10
3
, −
13
9
．
在抛物线对称轴上是否存在点Q，使△QBC是等腰三角形？若存在，求出坐标，不存在，请说
明理由．
用两点间距离公式分三种情况讨论可得
Q(−1, 6)（舍）、Q(−1, 1)、Q −1, ± √6 、Q(−1, 0)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
例3
【答案】
(1)
【答案】
(2)
已知抛物线与x轴交于A(−1, 0)、B(3, 0)两点，与y轴交于点C(0, 3)，顶点为D．
求抛物线的解析式；
y = −x2 + 2x + 3；
若M是抛物线上的一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求点M的坐标．
由题易知：∠DCB = 90 ∘，
所以M和C(0, 3)关于对称轴x = 1对称，
因此M(2, 3)．
例4
【答案】
(1)
(2)
平面直角坐标系xOy中，抛物线y = ax2 −4ax + 4a + c与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点
C，点A的坐标为(1, 0)，OB = OC，抛物线的顶点为D．
求此抛物线的解析式；
y = x2 −4x + 3；
若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB = ∠ACB，求点P的坐标；
【答案】
【答案】
(3)
点M为△ABC的外接圆圆心
要使得∠APB = ∠ACB只需要△APM是以AP为底边的等腰三角形即可，
∵MA = MB = MC = √5，
∴P1 2, 2 + √5 ,P2 2, −2 −√5 ．
若此抛物线的对称轴上的点M满足∠AMD = ∠ACB，求点M的坐标．
∠AMD = ∠ACB即∠AMB = 2∠ACB，
以M为圆心画一个圆过A、B、C三点，
所以点M为线段BC的中垂线与对称轴x = 2的交点，
所以点M(2, 2)，
根据对称性，点M还可以是(2, −2)．
(
)
(
)
例5
【答案】
(1)
【答案】
(2)
已知二次函数对称轴为x = 2，与x轴交于A、B两点（A在左侧），AB = 6，与y轴交于C(0, 5)．过
点A，斜率为1的直线l与抛物线另一个交点为P．
求二次函数的解析式及点P的坐标；
y = −x2 + 4x + 5，P(4, 5)；
若点Q为抛物线上，AP段之间的动点，求△APQ面积最大时，点Q的坐标，并计算出最大面
积；
将直线l平移，与抛物线相切的时，切点为Q，此时△APQ的面积最大
设直线l ′的解析式为：y = x + m
联立抛物线解析式：y = −x2 + 4x + 5
y = −x2 + 4x + 5
y = x + m
得x2 −3x −5 + m = 0
Δ = 9 −4(m −5) = 0，此时m =
29
4
当m =
29
4
时，方程x2 −3x −5 + m = 0的解为x =
3
2
，所以Q
3
2
,
35
4
此时点Q到直线l的距离：d1 =
29
4
−1
√2
=
25√2
8
，
S =
1
2
× 5√2 ×
25√2
8
=
125
8
{
(
)
第 6 讲 二次函数（六）
思维突破 / 初二 / 春季
【答案】
(3) 若l的斜率变为2，求△APQ面积最大时，点Q的坐标．
当斜率为2时，同理求得此时P(3, 8)，
∴AP = 4√5
设点Q t, −t2 + 4t + 5 （−1 ≤t ≤3），
点Q到直线AP：y = 2x + 2的距离d =
2t + 2 + t2 −4t −5
√5
=
(t −1)2 −4
√5
≤
4
√5
，
当d取得最大值时，t = 1，
∴此时Q(1, 8)．
(
)
|
|
|
|
1
【答案】
(1)
【答案】
(2)
【答案】
(3)
正方形边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂
直．
证明：Rt △ABM ∽Rt △MCN；
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B = ∠C = 90 ∘，
又∵AM⊥MN，
∴∠AMN = 90 ∘，
∴∠AMB + ∠NMC = 90 ∘，
而∠AMB + ∠BAM = 90 ∘，
∴∠BAM = ∠NMC，
∴Rt △ABM ∽Rt △MCN；
设BM = x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系；并求出面积的最大值；
y = −
1
2
x2 + 2x + 8, (0 < x < 4)，面积最大值为10；
当x为何值时，Rt△ABM∽Rt△AMN，并求出AM的长．
AM = 2．
自我巩固答案
1
【答案】
(1)
【答案】
(2)
(3)
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y = x2 + bx + c的图象与x轴交于A，B两点，A点在原点的左
侧，B点的坐标为(3, 0)，与y轴交于C(0, −3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
求这个二次函数的表达式．
将B、C两点的坐标代入y = x2 + bx + c，得
9 + 3b + c = 0
c = −3
，
解之，得
b = −2
c = −3
，所以二次函数的解析式为y = x2 −2x −3．
连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP ′C，那么是否存在点P，使四边形
POP ′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
假设抛物线上存在点P，使得四边形POP ′C为菱形，连接PP ′交CO于点E，
∵四边形POP ′C为菱形，∴PC = PO，即P点的纵坐标为−
3
2
由x2 −2x −3 = −
3
2
，得x1 =
2 + √10
2
，x2 =
2 −√10
2
（不合题意，舍去）
所以存在这样的点，此时P点的坐标为
2 + √10
2
, −
3
2
，
当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最
大面积．
{
{
(
)
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
思维突破 / 初二 / 春季
【答案】
当x =
3
2
时，四边形ABPC的面积最大，此时P点坐标为
3
2
, −
15
4
，四边形的面积为
75
8
．
(
)
2
【答案】
(1)
【答案】
(2)
【答案】
(3)
如图，已知A(2, 0)，C 1, 3√3 ，将△AOC绕AC中点旋转180°，点O落到点B的位置，抛物线
y = ax2 −2√3x经过点A，点D为抛物线的顶点．
求抛物线的解析式，并说明点B是否在抛物线上；
y = √3x2 −2√3x，点B 3, 3√3 在抛物线上；
若点P是线段OA上一点，且∠APD = ∠OAB，求点P的坐标；
PD/ / AB，PD：y = 3√3x −4√3 ⇒P
4
3
, 0 ；
若点M是x轴上一点，以M，A，D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上，
写出M的坐标．
M(−1, 0)或M(1, 0)或M(3, 0)
(
)
(
)
(
)
1
二次函数y = ax2 + bx + c (a ≠0)与一次函数y = ax + c在同一坐标系中的图象为（ ）
A：
B：
C：
D：
【答案】D
A：
B：
C：
D：
【答案】
2
不论m取任何实数，抛物线y = a(x + m)2 −m(a ≠0)的顶点都（ ）
在x轴上
在y轴上
在直线y = −x上
在直线y = x上
D
3
下列说法正确的个数为（ ）
①形如y = ax2 + bx + c的函数称为二次函数；
②不论a是正数还是负数，抛物线y = ax2的顶点都是坐标原点；
③抛物线y = x2 −x + 1，当x > 0时，y随x的增大而增大；
④在抛物线y = 2x2，y = −x2，y = x2中，抛物线y = 2x2开口最大，抛物线y = −x2开口最小．
A：
B：
C：
D：
【答案】
0
1
2
3
B
A：
B：
C：
D：
【答案】
4
将抛物线y = ax2 + bx + c沿x轴翻折后，所得到的抛物线解析式为（ ）
y = −ax2 + bx + c
y = −ax2 −bx + c
y = −ax2 −bx −c
y = −ax2 + bx −c
C
A：
B：
C：
D：
【答案】
5
一次函数 y = 2x + 1与二次函数y = x2 −4x + 3的图象交点个数（ ）
只有一个
有两个
一个或两个
无交点
B
A：
B：
C：
D：
【答案】
6
Rt △ABC三个顶点都在抛物线y = 2x2上，并且斜边平行于x轴，则斜边上的高为（ ）
1
2
√2
2
1
√2
A
7
二次函数y = −3x2 + 6x + 1在−1 ≤x ≤
3
2
时，最大值和最小值是（ ）
A：
B：
C：
D：
【答案】
4，−8
4，
13
4
13
4
，−8
4，0
A
A：
B：
C：
D：
【答案】
8
若m，n（m < n）是关于x的方程1 −(x −a)(x −b) = 0的两个根，且a < b，则a，b，m，n的大小
关系是（ ）
m < a < b < n
a < m < n < b
a < m < b < n
m < a < n < b
A
【答案】
9
如图是二次函数 y = ax2 + bx + c的图象的一部分，图象过点A(−3, 0)，对称轴为x = −1．
下列四个结论：①b2 > 4ac；②2a + b = 0；③a −b + c = 0；④5a < b，正确的是_________．
①④
【答案】
10
二次函数y = ax2 + 4x + a的最大值是3，则a = ________．
−1
【答案】
11
若二次函数y = x2 −mx + 3的图象与x轴只有一个交点，则m = _______．
±2√3
12
已知抛物线y = ax2 + bx + c（a ≠0）的对称轴是x = 1，且经过点(3, −1)，则a −b + c =
__________．
【答案】−1
【答案】
13
已知直线y = 5x + k与抛物线y = x2 + 3x + 5交点的横坐标为1，则k = ______，交点坐标为
________．
4；(1, 9)
【答案】
14
关于x的一元二次方程m −
1
2
x2 + (m −1)x + m =
1
2
有两个不相等的实根，则实数m的取值范围为
___________．
0 < m <
2
3
且m ≠
1
2
(
)
【答案】
15
计算题：
①已知二次函数y = ax2 + bx + c过点1,
1
3
，−2, −
5
3
，(3, 5)，求二次函数的解析式．
②已知二次函数y = ax2 + bx + c过(−3, 0)，(1, 0)两点，与y轴的交点为(0, 4)，求二次函数的解析
式．
①y =
1
3
x2 + x −1；
②y = −
4
3
x2 −
8
3
x + 4．
(
) (
)
【答案】
16
解二次不等式：
①解关于x的不等式：2x2 −9x + 3 ≤0；
②解关于x的不等式：−x2 + 2x −5 < 0．
①
9 −√57
4
≤x ≤
9 + √57
4
；②全体实数．
17
小胡在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线y = −
1
5
x2 +
8
5
x，其中y(m)是
球的飞行高度，x(m)是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m，如图所示．
【答案】
(1)
【答案】
(2)
【答案】
(3)
请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴；
开口向下；对称轴x = 4；顶点4,
16
5
；
请求出球飞行的最大水平距离；
8米；
若小胡再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满
足怎样的抛物线，求出其解析式．
y = −
16
125
x2 +
32
25
x
(
)
18
【答案】
(1)
【答案】
(2)
【答案】
(3)
某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发
现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
求平均每天销售量y（箱）与售价x（元/箱）之间的函数关系式（其中x ≥50）；
y = −3x + 240(50 ≤x ≤55)；
求该批发商平均每天的销售利润w（元）与售价x（元/箱）之间的函数关系式；
w = −3x2 + 360x −9600(50 ≤x ≤55)；
当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少元？
w = −3x2 + 360x −9600，对称轴为x = 60，
在50 ≤x ≤55时，二次函数单调增大，
∴当x = 55时，w有最大值1125元．
19
抛物线经过A(4, 0)，B(1, 0)，C(0, −4)三点，抛物线的顶点为D．
【答案】
(1)
【答案】
(2)
【答案】
(3)
求出抛物线的解析式及D的坐标；
y = −x2 + 5x −4；D
5
2
,
9
4
；
求△DCA的面积；
15
2
；
在抛物线上找一点P，使得△PCA面积和△BCA面积一样．（不包括B点）
y = x −1与y = −x2 + 5x −4的交点(3, 2)，
y = x −7与y = −x2 + 5x −4的交点2 + √7, √7 −5 ，2 −√7, −√7 −5 ，
所以点P的坐标为(3, 2)或2 + √7, √7 −5 或2 −√7, −√7 −5 ．
(
)
(
) (
)
(
) (
)
20
【答案】
(1)
【答案】
(2)
(3)
已知P(−3, m)和Q(1, m)是抛物线y = 2x2 + bx + 1上的两点．
求b的值；
b = 4；
试判断关于x的一元二次方程2x2 + bx + 1 = 0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没
有，请说明理由；
有，实数根为x = −1 ±
√2
2
将抛物线y = 2x2 + bx + 1的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交
点，求k的最小值．
第 8 讲 锐角三角形
例题练习题答案
思维突破 / 初二 / 春季
【答案】平移后的解析式为y = 2x2 + 4x + k + 1，
只需使方程2x2 + 4x + k + 1 = 0无实根即可；
则Δ = 16 −8(1 + k) < 0 ⇒k > 1；
则k的最小值为2．
【答案】
21
已知二次函数y = x2 + mx + 2，当0 ≤x ≤1时，y的最小值为1，请结合图象的性质，求出m的值．
将二次函数化为顶点式：y =
x +
m
2
2
−
m2
4
+ 2，
其图像开口向上，对称轴为x = −
m
2
，
讨论对称轴与x（0 ≤x ≤1）取值之间的关系：
当x = −
m
2
＜0，即m > 0时，
最小值在x = 0处取得，此时y = 2与题意矛盾，此时m无解；
当0 ≤x = −
m
2
< 1，即−2 < m ≤0时，
最小值在x = −
m
2
处取得，此时y = −
m2
4
+ 2 = 1，解得m1 = 2，m2 = −2，经检验，
不满足−2＜m ≤0，舍去；
当x = −
m
2
≥1，即m ≤−2时，
最小值在x = 1处取得，此时y = 3 + m = 1，解得m = −2，经检验符合题意；综上，
m = −2．
(
)
【答案】
例1
在直角△ABC中，已知∠C = 90 ∘，a = 6，b = 8，分别求∠A、∠B的三个三角函数值．
sinA =
3
5
，cosA =
4
5
，tanA =
3
4
sinB =
4
5
，cosB =
3
5
，tanB =
4
3
【答案】
例2
已知在直角△ABC中，∠C = 90 ∘，sinA =
2
5
，BC = 10，求AB、AC．
AB = 25，AC = 5√21
【答案】
(1)
【答案】
(2)
例3
在Rt △ABC中，∠C为直角，已知cosA =
5
13
，求sinA、tanA的值；
sinA =
12
13
，tanA =
12
5
在Rt △ABC中，∠C为直角，已知sinA =
1
3
，求cosA、tanA的值．
cosA =
2√2
3
，tanA =
√2
4
A：
B：
C：
D：
【答案】
例4
在Rt △ABC中，∠C = 90 ∘，sinA =
4
5
，则cosB的值等于（ ）
3
5
4
5
3
4
√5
5
B
例5
(1)
已知α为锐角，计算下列问题：
若sinα = 3cosα，求sinα，cosα；
【答案】
【答案】
(2)
【答案】
(3)
将sinα = 3cosα代入sin2α + cos2α = 1中可得
sinα =
3√10
10
，cosα =
√10
10
若sin2α −cos2α =
1
2
，求tan2α的值；
sin2α + cos2α = 1
sin2α −cos2α =
1
2
，解得
sin2α =
3
4
cos2α =
1
4
∴tan2α = 3
若sinα + cosα =
5
4
，求sinα ⋅cosα，sinα的值．
∵(sinα + cosα)2 = sin2α + cos2α + 2sinα ⋅cosα = 1 + 2sinα ⋅cosα =
25
16
∴sinα ⋅cosα =
9
32
，(sinα −cosα)2 =
7
16
∴sinα =
5 ± √7
8
{
{
【答案】
例6
计算：
①4cot30 ∘−2sin60 ∘+ 2cos60 ∘；
②cos230 ∘+ sin245 ∘−tan245 ∘；
③sin260 ∘+ cos230 ∘；
④sin260 ∘+ cos260 ∘；
⑤2sin30 ∘+ 2cos60 ∘+ 4tan45 ∘；
⑥
2sin30 ∘
2cos30 ∘−1
．
①3√3 + 1；②
1
4
；③
3
2
④1；⑤6；⑥
√3 + 1
2
【答案】
例7
在△ABC中，∠C为直角，已知AB = 2√3，BC = 3，求∠B和AC．
∠B = 30 ∘，AC = √3
【答案】
(1)
【答案】
(2)
例8
已知cos 180 ∘−α
=
2
3
，求sinα；
√5
3
已知sinα =
1
2
，求cos 180 ∘−α ．
±
√3
2
(
)
(
)
【答案】
例9
计算：
①4cos150 ∘−√2sin135 ∘+ 2cot60 ∘；
②tan60 ∘⋅cos150 ∘+
1
tan120 ∘
．
①−
4√3
3
−1；②−
3
2
−
√3
3
例10
【答案】
(1)
如图，在等腰Rt△ABC中，∠C = 90 ∘，延长CB到点D，使AB = BD，连接AD．
利用右图计算tan22.5 ∘；
设AC = BC = 1，则AB = BD = √2，∠D = 22.5 ∘
∴tan22.5 ∘=
AC
CD
=
AC
BD + BC
=
1
√2 + 1
= √2 −1
【答案】
(2) 试自己画图计算tan15 ∘．
如图，△ABC中
∠ABC = 30 ∘，AB = BD，∴∠D = 15 ∘
设AC = 1，则AB = BD = 2，BC = √3
∴tan15 ∘=
AC
CD
=
AC
BD + BC
=
1
2 + √3
= 2 −√3
【答案】
1
一个三角形的边长分别为a、a、b，另一个三角形的边长分别为b、b、a，其中a > b，若两个三角
形的最小内角相等，试求
a
b
的值．解决了这个问题后，你是否知道了18 ∘的三角函数值呢？72 ∘的
三角函数值呢？
△ABC是以a、a、b为边长的三角形
△ABD是以b、b、a为边长的三角形
由图可知AB = AC = a，BC = BD = b
CD = AC −AD = a −b
过B作BE⊥AC于E点，设∠A = α
有∠ABD = ∠A = α，∠C = 90 ∘−
α
2
，∠CBE =
α
2
过A作AF⊥BC于F
可得sin∠BAF = sin
α
2
=
b
2a
第 8 讲 锐角三角形
自我巩固答案
思维突破 / 初二 / 春季
△BCE中，sin∠CBE = sin
α
2
=
a −b
2b
∴
b
2a
=
a −b
2b
，解得
a
b
=
1 + √5
2
令α = 36 ∘，∴
α
2
= 18 ∘
可得sin18 ∘= cos72 ∘=
√5 −1
4
cos18 ∘= sin72 ∘=
√10 + 2√5
4
【答案】
1
计算：
①sin60 ∘+ cos245 ∘+
tan30 ∘
tan60 ∘
；
②
1
2
−1
−2cos30 ∘+ √27 + (2 − π )
0．
①
√3
2
+
5
6
；②2√3 + 3
( )
【答案】
2
已知90 ∘< α < 180 ∘，sinα =
1
4
，求cosα，tanα的值．
cosα = −
√15
4
，tanα = −
√15
15
3
(1)
在Rt △ABC中，∠C为直角，解下列问题：
已知b = 8，∠A = 30 ∘，求a，c；
第 8 讲 锐角三角形
课堂落实答案
思维突破 / 初二 / 春季
【答案】
【答案】
(2)
a =
8
3
√3，c =
16
3
√3
已知cosA =
8
17
，b = 20，求tanA，a．
tanA =
15
8
，a =
75
2
A：
B：
C：
D：
【答案】
4
当45 ∘< α < 90 ∘时，sinα，cosα，tanα的大小关系是（ ）
sinα < cosα < tanα
cosα < sinα < tanα
tanα < sinα < cosα
tanα < cosα < sinα
B
5
【答案】
(1)
【答案】
(2)
已知tanα = 2，求值：
3sinα −2cosα
sinα + cosα
；
4
3
2
3
sin2α +
1
4
cos2α．
7
12
1
计算：
第 9 讲 解三角形
例题练习题答案
思维突破 / 初二 / 春季
【答案】
①sin245 ∘−cos230 ∘÷
tan60 ∘−
1
tan60 ∘
；
②
sin60 ∘−sin30 ∘
cos30 ∘+ cos60 ∘
；
③sin245 ∘+ cos245 ∘；
④( π −3)
0 + √18 −2sin45 ∘−
1
8
−1
．
①
1
2
−
3√3
8
；②2 −√3；③1；④2√2 −7
(
)
( )
2
【答案】
(1)
【答案】
(2)
在Rt△ABC中，∠C为直角，解下列问题：
已知a = 5，∠B = 60 ∘，求b；
5√3
已知a = 5√2，b = 5√6，求∠A．
30 ∘
【答案】
3
已知α为锐角，若tanα = 3，求3sinα + cosα的值．
sinα
cosα
= tanα，1 + tan2α =
1
cos2α
∴sinα =
3
√10
，cosα =
1
√10
∴3sinα + cosα = √10
例1
(1)
解下列直角三角形：
在Rt △ABC中，∠C = 90 ∘，∠A = 30 ∘，BC = 5，求AB，AC；
【答案】
【答案】
(2)
【答案】
(3)
∠B = 60 ∘，AC = 5√3，AB = 10
在Rt △ABC中，∠C = 90 ∘，AC = 2，BC = 1，求tanB，sinA；
tanB = 2，sinA =
√5
5
已知在直角三角形ABC中，∠C = 90 ∘，sinA =
2
5
，BC = 20，求AB，AC．
AB = 50，AC = 10√21
例2
【答案】
(1)
【答案】
(2)
如图，已知△ABC中，∠A = 45 ∘，∠B = 30 ∘．
若AC = 2，求AB和BC的长；
AB = √2 + √6，BC = 2√2
若AB = 1 + √3，求AC和BC的长．
AC = √2，BC = 2
例3
【答案】
(1)
【答案】
(2)
如图，已知△ABC，∠A = 135 ∘，∠B = 30 ∘．
若AC = 2，求AB和BC的长；
AB = √6 −√2，BC = 2√2
AB = √3 −1，求AC和BC的长．
AC = √2，BC = 2
例4
已知：如图，在Rt △ABC中，∠C = 90 ∘，AC = √3，点D为BC边上一点，且BD = 2AD，
∠ADC = 60 ∘，求△ABC的周长．
【答案】Rt △ACD中，根据勾股定理可得CD = 1，AD = 2
∴BD = 2AD = 4，∴BC = BD + CD = 5
Rt △ABC中，根据勾股定理可得AB = 2√7
∴C △ABC = 5 + 2√7 + √3
【答案】
例5
如图，已知在测点C处，测得一铁塔顶端A的仰角∠ACE = α，BD = a，仪器的高度CD = b，求铁
塔的高AB．
Rt△AEC中，AE = EC ⋅tanα = BD ⋅tanα = a ⋅tanα
BE = CD = b，∴AB = AE + EB = atanα + b
【答案】
例6
如图，两建筑物的水平距离为32.6m，从A点测得D点的俯角α为35°，测得C点的俯角β为43°，求
这两个建筑物的高度．
设高的建筑物与地面交点为B，过D作DE⊥AB于E
∴∠ACB = β，∠ADE = α
Rt△ABC中，AB = BC ⋅tanβ
Rt△ADE中，AE = ED ⋅tanα = BC ⋅tanα
∴CD = EB = AB −AE = 32.6 tan43 ∘−tan35 ∘
(
)
例7
如图，已知C、D两点与物体AB的底端B点在一直线上，并且CD = a，仪器CC ′，DD ′的高都是b，
在C ′，D ′两点测得物体的顶点A的仰角分别是α，β，求物体AB的高．
【答案】C ′D ′ = ED ′ −EC ′ = AE ⋅cotβ −AE ⋅cotα = CD = a
∴AE =
a
cotβ −cotα
∴AB = AE + EB =
a
cotβ −cotα
+ b
【答案】
例8
如图所示，甲乙两座高楼，站在乙楼顶点C处测得甲楼顶部点A的仰角为30 ∘，测得甲楼底部点B处
的俯角为45 ∘，若甲楼高为50米，求甲乙两楼间的距离BD及乙楼的高度CD．
过C作CE⊥AB于E
∴∠ACE = 30 ∘，∠BCE = 45 ∘，BD = CD
设BD = CD = x，可得BE = EC = x
AE = EC ⋅tan30 ∘=
√3
3
x
∴AB = AE + EB =
√3
3
x + x = 50
解得x = 75 −25√3
例9
(1)
小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为20米，摩天轮匀速旋转1周需要12
分钟，小明乘坐最底部的车厢（离地面约0.5米）开始观光．
2分钟后，小明离地面的高度是多少？
【答案】
【答案】
(2)
【答案】
(3)
2分钟后，摩天轮转过
360 ∘× 2
12
= 60 ∘
此时距地面的高度为0.5 +
20 −20cos60 ∘
= 10.5米
摩天轮启动多少时间后，小明离地面的高度将首次达到8.5米？
此时摩天轮转过的角度为
cosα =
20 −(8.5 −0.5)
20
= 0.6 ≈sin37 ∘
∴α ≈90 ∘−37 ∘= 53 ∘
摩天轮启动时间为
53 ∘× 12
360 ∘
= 1
23
30
，即1分46秒
小明将有多长时间连续保持在离地面30.5米以上的空中？（参考数据：sin37 ∘≈0.6，
tan37 ∘≈0.75）
首次距离地面30.5米时，摩天轮转过的角度为
cosα =
20 −(30.5 −0.5)
20
= −0.5，∴α = 120 ∘
∴距离地面30.5米以上摩天轮转角为
180 ∘−120 ∘
× 2 = 120 ∘
∴
120 ∘× 12
360 ∘
= 4，即小明将有4分钟连续保持在离地面30.5米以上的空中
(
)
(
)
例10
(1)
已知：在△ABC中，AB = AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上的一点，点E在线段DF的延长线
上，点M在线段DF上，且∠BAE = ∠BDF，∠ABE = ∠DBM．
如图1，当∠ABC = 45 ∘时，线段DM与AE之间的数量关系是_________；
【答案】
【答案】
(2)
【答案】
(3)
DM =
√2
2
AE
如图2，当∠ABC = 60 ∘时，线段DM与AE之间的数量关系是_________；
DM =
1
2
AE
①当∠ABC = α 0 ∘< α < 90 ∘时，线段DM与AE之间的数量关系是_________；
②在（2）的条件下延长BM到P，使MP = BM，连接CP，若AB = 7，AE = 2√7，求sin∠ACP
的值．
①DM = AE ⋅cosα
②易得A、E、B、D四点共圆
∴∠AEB = ∠ADB = 90 ∘，即AE⊥BE
∴BE = √21
连接AD交CP于N，过N作NQ⊥AC于Q
∴△BPC≌△BEA
∴∠BPC = ∠BEA = 90 ∘，M、D是中点
∴DM∥PC，∴∠DCN = ∠BDM
cos∠DCN =
DC
NC
= cos∠BDM =
DM
BD
∴NC =
DC ⋅BD
DM
=
7√7
4
BM =
1
2
BP =
1
2
BE =
√21
2
∴tan∠DCN =
ND
DC
= tan∠BDM =
BM
MD
∴ND =
DC ⋅BM
MD
=
7√3
4
，AD =
√3
2
AB =
7√3
2
(
)
∴AN = AD −ND =
7√3
4
NQ = AN ⋅sin∠NAQ =
7√3
8
∴sin∠ACP =
NQ
NC
=
√21
14
例11
【答案】
(1)
【答案】
(2)
如图，在△ABC中，AB = AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线
上，且∠CBF =
1
2
∠CAB．
求证：直线BF是⊙O的切线；
连接AE
∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB = 90 ∘
∴∠1 + ∠2 = 90 ∘，∵AB = AC
∴∠1 =
1
2
∠CAB，∵∠CBF =
1
2
∠CAB
∴∠1 = ∠CBF
∴∠CBF + ∠2 = 90 ∘，即∠ABF = 90 ∘
∵AB是⊙O的直径
∴直线BF是⊙O的切线
若AB = 5，sin∠CBF =
√5
5
，求BC和BF的长．
由题易得BC = 2BE = 2AB ⋅sin∠BAE = 2AB ⋅sin∠CBF = 2√5
过C作CG⊥BF于G
第 9 讲 解三角形
自我巩固答案
思维突破 / 初二 / 春季
∴CG = BC ⋅sin∠CBF = 2BG = 4
∵△CGF∽△ABF
∴
CG
AB
=
GF
BF
=
BF −BG
BF
，可得BF =
20
3
1
【答案】
(1)
【答案】
(2)
如图，等腰直角三角形ABC中，∠C = 90 ∘，且∠CBD = 30 ∘．
求
DC
AD
的值；
DC
AD
=
√3 + 1
2
利用上图，计算sin15 ∘，cos15 ∘，tan15 ∘．
sin15 ∘=
√6 −√2
4
cos15 ∘=
√6 + √2
4
tan15 ∘= 2 −√3
第 9 讲 解三角形
课堂落实答案
思维突破 / 初二 / 春季
【答案】
2
如图，△ABC中，∠C = 90 ∘，sinB =
3
5
，D是BC上一点，∠ADC = 45 ∘，DC = 6，求tan∠BAD．
tan∠BAD =
1
7
3
【答案】
(1)
【答案】
(2)
如图所示，城管幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑
滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上．（参考数据：√2 ≈1.414，√3 ≈1.732，
√6 ≈2.449，以上结果均保留到小数点后两位）
改善后滑滑板会加长多少米？
AC = BC = AB ⋅sin45 ∘= 2√2米，AD = 2AC = 4√2米
所以滑板加长AD −AB = 4√2 −4 ≈1.66米
若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样
改造是否可行？请说明理由．
CD = AC ⋅cot30 ∘= 2√6米
所以BD = CD −BC = 2√6 −2√2米
BD = 2√6 −2√2 ≈2.07 < 3米，所以可行
1
在Rt△ABC中，∠C = 90 ∘，∠B = 35 ∘，AB = 7，则BC的长为（ ）
第 10 讲 相似三角形进阶（一）
例题练习题答案
思维突破 / 初二 / 春季
A：
B：
C：
D：
【答案】
7sin35°
7
cos35 ∘
7cos35°
7tan35°
C
【答案】
2
在Rt△ABC中，∠C = 90 ∘，tanB = √2，AB = 6，求AC，BC及sinA，cosA，tanA．
AC = 2√6，BC = 2√3
sinA =
√3
3
，cosA =
√6
3
，tanA =
√2
2
【答案】
3
据交管部门统计，高速公路超速行驶是引发交通事故的主要原因．某校数学课外小组的几个同学
想尝试用自己所学的知识检测车速，高速公路某路段的限速是：每小时80千米（即最高时速不超
过80千米），如图，他们将观测点设在到公路l的距离为0.1千米的P处．这时，一辆轿车由乙向甲
匀速直线驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO = 59 ∘，∠BPO = 45 ∘
．试计算AB 并判断此车是否超速？（精确到0.001 ）（参考数据：sin59 ∘≈0.8572 ，
cos59 ∘≈0.5150，tan59 ∘≈1.6643）
AO = OP ⋅tan59 ∘，BO = OP ⋅tan45 ∘
∴车速为3600 ×
AB
3
= 3600 ×
AO −BO
3
≈79.716千米/小时
∴没有超速
【答案】
(1)
【答案】
(2)
例1
如图所示，已知□ABCD中，M为AB上靠近A的三等分点，N为AB的中点，DM、DN分别交
AC于P、Q两点，则AP: PQ: QC = ______________；
3: 1: 8
如图，△ABC中，D为BC的中点，E为AC边上的一点，BE交AD于O，且
AE
AC
=
1
n
，试计算
AO
AD
．
过D作DF/ / BE交AC于F
设AE = 1，则AC = n
∴EC = AC −AE = n −1
∵D是中点，∴EF =
1
2
EC =
n −1
2
∴
AO
AD
=
AE
AF
=
AE
AE + EF
=
2
n + 1
例2
(1)
如图，AB/ / CD，AC、BD交于点E，EF/ / CD交BC于F，求证：
1
AB
+
1
CD
=
1
EF
；
【答案】
【答案】
(2)
证明：
由题得△CEF ∽△CAB，△BFE ∽△BCD
∴
EF
AB
=
CF
CB
，
EF
CD
=
BF
BC
∴
EF
AB
+
EF
CD
=
CF
CB
+
BF
BC
= 1
即
1
AB
+
1
CD
=
1
EF
1
S △ABC
+
1
S △DBC
=
1
S △EBC
．
证明：
由题得△CEF ∽△CAB，△BFE ∽△BCD
∴
EF
AB
=
CF
CB
，
EF
CD
=
BF
BC
∴
EF
AB
+
EF
CD
=
CF
CB
+
BF
BC
= 1即
1
AB
+
1
CD
=
1
EF
S △EBC
S △ABC
=
EC
AC
=
FC
BC
，
S △EBC
S △DBC
=
BE
BD
=
BF
BC
S △EBC
S △ABC
+
S △EBC
S △DBC
= 1即
1
S △ABC
+
1
S △DBC
=
1
S △EBC
【答案】
例3
如图，平行四边形ABCD中，E为CD上一点，AE交BD于点O，AE的延长线交BC延长线于点F，证
明：OA2 = OE ⋅OF．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB/ / DC、AD/ / BC
∴△AOB ∽△EOD，△DOA ∽△BOF
∴
OF
OA
=
OB
OD
，
OA
OE
=
OB
OD
∴
OF
OA
=
OA
OE
，即OA2 = OE ⋅OF
例4
【答案】
(1)
【答案】
(2)
如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ADE = ∠ABC = 90 ∘．
证明：△ABD∽△ACE；
证明：
∵∠AED = 90 ∘−∠A = ∠ACB，∠A为公共角
∴△ADE ∽△ABC，∴
AB
AC
=
AD
AE
∴△ABD ∽△ACE
设BD = 4，求CE的长．
由对应边成比例
BD
CE
=
AB
AC
=
1
√2
∴CE = 4√2
【答案】
例5
如图，在△ABC中，∠ABC = 60 ∘，点P是△ABC内一点，使得∠APB = ∠BPC = ∠CPA，PA = 6，
PC = 8，求PB的长．
由题可知∠APB = ∠BPC = ∠CPA = 120 ∘
∠ABP + ∠CBP = 60 ∘= ∠ABP + ∠BAP
∴△ABP∽△BCP
∴
BP
AP
=
PC
BP
，BP2 = AP ⋅CP
∴BP = 4√3
例6
【答案】
(1)
【答案】
(2)
如图，△ABC中，∠ACB = 90 ∘，CD⊥AB于D，M是CD上的点，DH⊥BM于H，DH的延长线交
AC的延长线于E．求证：
△AED∽△CBM；
证明：
∵∠ADE = 90 ∘+ ∠CDE，∠CMB = 90 ∘+ ∠CDE
∴∠ADE = ∠CMB
∵∠A + ∠ABC = 90 ∘= ∠ABC + ∠MCB
∴∠A = ∠MCB
∴△ACD∽△CBD，△AED∽△CBM
AE ⋅CM = AC ⋅CD．
证明：由（1）得
AE
CB
=
AD
CM
∴AE ⋅CM = CB ⋅AD
又∵
CB
CD
=
AC
AD
，∴CB ⋅AD = AC ⋅CD
∴AE ⋅CM = AC ⋅CD
例7
(1)
如图，正方形DEFG的顶点分别在△ABC的三边上．
如果BC = 100，高AH = 80，求线段DG；
【答案】
【答案】
(2)
设DG与AH交于I，则
AI
AH
=
DG
BC
设DG = x，则AI = 80 −x，
80 −x
80
=
x
100
解得x =
400
9
如果△ADG、△DBE、△GFC面积分别为1、1、3，求线段DG．
设高AH交DG于I，设DG = x
则BE = AI =
2
x
，CF =
6
x
AH = x +
2
x
，BC =
8
x
+ x
由
AI
AH
=
DG
BC
可得
2
x
x +
2
x
=
x
x +
8
x
，解得x = 2
例8
(1)
如图，⊙O经过⊙P的圆心P，与⊙P相交于A、B两点，AC是⊙O的弦，CB的延长线交⊙P于D，
CP交AB于E，CP的延长线交AD于M．求证：
AP ⋅AC = AE ⋅CP；
【答案】
【答案】
(2)
证明：连接PB，可知PA = PB
∴∠PAB = ∠PBA = ∠PCA
又∵∠APE = ∠CPA，∴△APE∽△CPA
∴
AP
CP
=
AE
AC
，即AP ⋅AC = AE ⋅CP
CM⊥AD．
证明：连接DP
由题可知PD = PA = PB
∠PDB = ∠PBD = ∠BPC + ∠BCP = ∠BAC + ∠PAB = ∠PAC
又∵∠PCB = ∠PCA，PC = PC
∴△PCD≌△PCA，∴CD = CA
∴CM⊥AD
例9
(1)
如图，△ABC中，点E、P在边AB上，且AE = BP，过点E、P作BC的平行线，分别交AC于点F，
Q．记△AEF的面积为S1，四边形EFQP的面积为S2，四边形PQCB的面积为S3．
若S1 + S3 = S2，则
PE
AE
= _________；
【答案】
【解析】
【答案】
【解析】
(2)
2
过点A作AH⊥BC于H，分别交EF、PQ于M、N
由题得△AEF∽△APQ
设EF = a，PQ = b，AM = h
则AN =
b
a
h，MN =
b
a
−1 h
S1 =
1
2
ah，S2 =
1
2
(a + b)
b
a
−1 h
S3 =
1
2
(a + 2b)h
∴
1
2
ah +
1
2
(a + 2b)h =
1
2
(a + b)
b
a
−1 h
解得b = 3a，∴
PE
AE
= 2
若S1 + S2 = S3，则
PE
AE
= _________．
√2
1
2
(a + 2b)h −
1
2
ah =
1
2
(a + b)
b
a
−1 h
解得b =
1 + √2 a
∴
PE
AE
= √2
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
例10
如图，□ABCD 中，CE⊥AB ，交AB 延长线于E ，CF⊥AD ，交AD 延长线于F ，求证：
AC2 = AB ⋅AE + AD ⋅AF．
第 10 讲 相似三角形进阶（一）
自我巩固答案
思维突破 / 初二 / 春季
【答案】证明：
由题得∠FDC = ∠FAB = ∠EBC，∠CFD = ∠CEB
∴△CDF∽△CBE，∴
CD
CB
=
DF
BE
=
AB
AD
∴AB ⋅BE = AD ⋅DF
AB ⋅AE = AB(AB + BE) = AB2 + AB ⋅BE
AD ⋅AF = AD(AD + DF) = AD2 + AD ⋅DF
AC2 = AE2 + CE2 = (AB + BE)2 + CE2
= AB2 + BE2 + 2AB ⋅BE + CE2
= AB2 + CB2 + 2AB ⋅BE
= AB2 + AD2 + AB ⋅BE + AD ⋅DF
=
AB2 + AB ⋅BE + AD2 + AD ⋅DF
= AB ⋅AE + AD ⋅AF
(
) (
)
【答案】
1
已知△ABC，AB = 18，AC = 12，点D，E，F分别在BC，CA，AB上，且四边形DEAF是菱形，求
此菱形的边长．
设菱形边长为x，则BF、AF、AE、EC的长度分别为18 −x，x，x，12 −x
由四边形DEAF是菱形可知DF/ / AC，DE/ / AB
∴
BF
AF
=
BD
DC
=
AE
EC
∴
18 −x
x
=
x
12 −x
，解得菱形边长x = 7.2
【答案】
2
如图，ABCD是正方形，A、E、F、G在同一条直线上，并且AE = 5，EF = 3，求FG．
设正方形边长为5x
由题可得△AEB ∽△FED，△ADF ∽△GCF
∴DF =
EF
AE
⋅AB = 3x，∴FC = 2x
∴
FG
AF
=
FC
DF
=
2
3
，∴FG=
16
3
【答案】
3
如图，直角梯形ABCD中，BC/ / AD，∠BAD = 90 ∘，AC⊥BD，已知
BC
AD
= k，求
AC
BD
的值．
如图，BD和AC的交点为E
由题得∠ECB + ∠EBC = 90 ∘= ∠EBA + ∠EBC
∴∠ECB = ∠EBA，∴△CBA∽△BAD
∴
AC
BD
=
BC
BA
=
BA
AD
=
BC
BA
⋅
BA
AD
= √k
√
4
如图，在△ABC中，D，E为AB，AC边上的点，已知∠ADE = ∠ACB，证明：∠DBE = ∠DCE．
第 10 讲 相似三角形进阶（一）
课堂落实答案
思维突破 / 初二 / 春季
【答案】证明：∵∠ADE = ∠ACB，∴△ADE∽△ACB
∴
AD
AC
=
AE
AB
，∴△ABE∽△ACD
∴∠DBE = ∠DCE
【答案】
1
如图，正方形EFGH内接于△ABC，如果AC = 3，BC = 4，AB = 5，则EF = ________．
60
37
【答案】
2
如图，在△ABC中，DE/ / BC，DF/ / AC，求证：
AD
DB
=
AE
DF
=
FC
BF
．
证明：由题得四边形DECF是平行四边形
∴EC = DF
由DE/ / BC可知
AD
DB
=
AE
EC
=
AE
DF
思维突破 / 初二 / 春季
由DF/ / AC可知
AD
DB
=
FC
BF
∴
AD
DB
=
AE
DF
=
FC
BF
3
【答案】
(1)
【答案】
(2)
如图，△ABC中，三内角平分线交于点O，过点O作OA的垂线分别交AB，AC于点M，N，求证：
BO2 = BM ⋅BC；
证明：由题得∠MBO = ∠OBC
∠MAO = ∠NAO
AO = AO
∠AOM = ∠AON
∴△AMO≌△ANO
∴∠AMO = ∠ANO
∴∠BMO = ∠CNO = 90 ∘+
1
2
∠BAC
∴∠BOC = 90 ∘+
1
2
∠BAC
∴△BOC∽△BMO
∴
BO
BM
=
BC
BO
，即BO2 = BM ⋅BC
OM2 = BM ⋅CN．
证明：同理可得△CNO∽△COB
∴△ONC∽△BMO，∴
ON
BM
=
CN
OM
∵MO = NO，∴OM2 = BM ⋅CN
{
第 11 讲 相似三角形进阶（二）
例题练习题答案
例1
【答案】
(1)
【答案】
(2)
如图，△ABC中，AB = AC，AD⊥BC于D，DE⊥AC于E，M为DE中点，AM与BE交于点N，AD与
BE相交于点F，求证：
△ADM∽△BCE；
证明：由题得△ADC∽△DEC
∴
AD
DE
=
DC
EC
，即
AD
1
2
DM
=
1
2
BC
EC
∴
AD
DM
=
BC
EC
，∴△ADM∽△BCE
AM⊥BE．
证明：由（1）可得∠AMD = ∠BEC
而∠AMD = ∠DEB + ∠MNE
∠BEC = ∠DEB + ∠DEC
∴∠MNE = ∠DEC = 90 ∘，即AM⊥BE
【答案】
例2
如图，△ABC中，∠ACB = 90 ∘，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB，交CD于E，交BC于F，求证：
CE2
DE2
=
AB
AD
．
证明：由题得△ACF∽△ADE
∴∠CFE = ∠AED = ∠CEF，∴CF = CE
∴
AC
AD
=
CF
DE
=
CE
DE
∴
CE2
DE2
=
AC2
AD2
=
AD ⋅AB
AD2
=
AB
AD
【答案】
例3
△ABC中，AD是角平分线，AD的中垂线交BC延长线于F，求证：FD2 = FB ⋅FC．
设AD中垂线交AB于M，AC于N，连接DM、DN
由题得四边形AMDN是菱形
∴MD/ / AC，MB/ / ND
∴△BMD∽△DNC
∴
FD
FB
=
ND
MB
=
NC
MD
=
FC
FD
即FD2 = FB ⋅FC
【答案】
(1)
(2)
例4
在矩形ABCD中，由8个边长均为1的正方形组成的“L型”模板如图1放置，则BC边的长度为
_________；
12√5
5
如图2，正方形ABCD的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分
别落在边AD、AB、BC、CD上，则DE的长为_________．
【答案】2
例5
【答案】
(1)
【答案】
(2)
已知在梯形ABCD中，AD/ / BC，AD < BC，且AD = 5，AB = CD = 2．
如图，P为AD上的一点，满足∠BPC = ∠A，求AP的长；
由题可知∠PAB = ∠CDP = ∠BPC
∵∠APB + ∠PBA = ∠DPC + ∠DCP = ∠APB + ∠DPC
∴∠APB = ∠DCP，∠ABP = ∠DPC
∴△ABP∽△DPC，设AP = x
x
2
=
2
5 −x
，解得x = 1或4
如果点P在AD边上移动（与A、D不重合），且满足∠BPE = ∠A，PE交直线BC于点E，同时
交直线DC于点Q，当CE = 1时，写出AP的长．
设AP = x，CQ = y
由（1）可知△ABP∽△DPQ
∵AD/ / BE，∴△QCE∽△QDP
①若E在BC上
△ABP∽△DPQ，
x
y + 2
=
2
5 −x
△QCE∽△QDP，
y
y + 2
=
1
5 −x
两式相除得x = 2y，代入第一式消去y得：
x2 −4x + 4 = 0，即x = 2
②若E在BC的延长线上
△CQE∽△ABP，可知y =
x
2
，DQ = 2 −
x
2
△ABP∽△DPQ，
x
2
=
2 −y
5 −x
x2 −6x + 4 = 0，即x = 3 −√5
A：
B：
C：
D：
【答案】
(1)
A：
B：
C：
(2)
例6
如图，Rt△ABC中，∠BAC = 90 ∘，AB = AC，AC边上有点D，连接BD，以BD为腰作等腰直
角三角形BDE，DE交BC于F，那么下面结论：①△ABD∽△CBE；②∠BCE = 90 ∘；③
DF ⋅EF = BF ⋅CF；④BC −CE = √2CD，其中正确的有（ ）
①②
①②③
②③④
①②③④
D
两块三角板（△ABC和△DEC），摆在同一个平面内，其中∠ACB和∠ECD是直角，且∠CAB
和∠CDE为30 ∘，点F、G、H分别为边BD、AB、AE上的m等分点，即
BF: BD = BG: AB = EH: AE = 1: m，连接FG、HG，那么FG: HG = （ ）
√3m
√3
m
√3
m −1
D：
【答案】
√3(m −1)
C
例7
【答案】
(1)
【答案】
(2)
如图所示：
正方形ABCD及等腰Rt △AEF有公共顶点A，∠EAF = 90 ∘，连接BE、DF，将Rt △AEF绕点
A旋转，在旋转过程中，BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系？结合图1给予证明；
DF与BE互相垂直且相等，证明：
由题得
DA = BA
∠DAF = ∠BAE
AF = AE
，∴△FAD≌△EAB
∴∠ADF = ∠ABE，BE = DF
利用8字型导角，得∠BMF = ∠BAD = 90 ∘
∴综上所述DF与BE互相垂直且相等
将（1）中的正方形ABCD变为矩形ABCD，等腰Rt △AEF变为Rt △AEF，且AD = kAB，
AF = kAE，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？请结合图2说明理由；
BE和DF位置关系不变，数量关系改变，证明：
由题得
AD
AB
=
AF
AE
∠DAF = ∠BAE
，∴△FAD∽△EAB
{
{
【答案】
(3)
∴
EB
FD
=
AE
AF
=
1
k
，∠ADF = ∠ABE
延长DF交EB于M
利用8字型导角，得∠BMF = ∠BAD = 90 ∘
综上所述DF = kBE，DF⊥BE
∴BE和DF位置关系不变，数量关系改变
将（2）中的矩形ABCD变为平行四边形ABCD，将Rt△AEF变为△AEF，且∠BAD = ∠EAF，
其他条件不变，（2）中的结论是否发生变化？结合图3，如果不变，请直接写出结论，如果
变化，直接用k表示线段BE、DF的数量关系．
数量关系不变，无位置关系
DF = kBE
例8
【答案】
(1)
【答案】
(2)
如图，已知四边形ABCD为正方形，∠POQ = 90 ∘，且顶点O在对角线AC上，与AB、BC交于P、
Q两点．
如图①，当点O在AC中点时，
OP
OQ
=________；
1
如图②，当
OA
OC
=
1
2
时，
OP
OQ
=________，并证明；
1
2
，证明：
过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，
【答案】
(3)
由题得△AOM∽△OCN，△OPM∽△OQN
△AOM与△ONC都是等腰直角三角形
∴
OA
OC
=
OM
CN
=
OM
ON
=
1
2
∴
OP
OQ
=
OM
ON
=
1
2
如图③，当
OA
OC
=
3
2
时，
OP
OQ
=________．
3
2
例9
【答案】
(1)
【答案】
(2)
如图1，在Rt△ABC中，∠BAC = 90 ∘，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，
OE⊥OB交BC边于点E．
证明：△ABF∽△COE；
证明：∠BAF = ∠C，∠ADC = ∠BOE = 90 ∘
由四边形内角和知∠OEC = ∠DFO = ∠BFA
∴△ABF∽△COE
当O为AC边中点，AC = 2AB时，如图2，求
OF
OE
的值；
过O作AC垂线交BC于H，则OH/ / AB
第 11 讲 相似三角形进阶（二）
自我巩固答案
思维突破 / 初二 / 春季
【答案】
(3)
由（1）得∠ABF = ∠COE，∠BAF = ∠C
∴∠AFB = ∠OEC，∴∠AFO = ∠HEO
而∠BAF = ∠C，∴∠FAO = ∠EHO
∴△OEH ∽△OFA，∴OF: OE = OA: OH
又∵O为AC的中点，OH/ / AB
∴OH为△ABC的中位线
∴OH =
1
2
AB，OA = OC =
1
2
AC
而
AC
AB
= 2，∴OA: OH = 2: 1
∴OF: OE = 2: 1，即
OF
OE
= 2
当O为AC边中点，AC = n ⋅AB时，请直接写出
OF
OE
的值．
OF
OE
= n
【答案】
1
如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在AB，BC上，且AD = BE，AE，CE相交于点M，求证：
CE2 = EM ⋅EA．
证明：由条件可知AD = BE，CA = AB
∠CAD = 60 ∘= ∠ABE，∴△CAD≌△ABE
可知∠CAE = 60 ∘−∠BAE = 60 ∘−∠ACD = ∠MCE
又∵∠CEA = ∠MEC，∴△CAE∽△MCE
∴
CE
AE
=
ME
CE
，即CE2 = EM ⋅EA
【答案】
2
在△ABC中，∠BAC = 45 ∘，以边AB，AC分别向外作等腰直角三角形，求∠BOD．
∠BAE = ∠DAC = 90 ∘，
AB
AD
=
1
√2
=
AE
AC
∴△ADC∽△ABE
∠BOD = ∠ADC + ∠DAB −∠ABE = 45 ∘
3
【答案】
(1)
【答案】
(2)
如图，在梯形ABCD中，AD/ / BC，AB = CD，BD⊥CD，过点A作AE⊥BD，垂足为点E．
证明：
AD
CB
=
DE
BD
；
证明：
由题得∠ADB = ∠DBC，∠AED = ∠BDC = 90 ∘
∴△AED∽△CDB，∴
AD
CB
=
DE
BD
如果BD平分∠ABC，证明：AE =
1
2
CD．
∵∠C = ∠ABC = 2∠DBC
∴∠ABE = ∠DBC = 30 ∘
∴AE =
1
2
AB =
1
2
CD
4
如图，等腰三角形ABC中，D为底边BC的中点，DE⊥AC于E，F为DE中点，连接AF，BE，证明：
AF⊥BE．
第 11 讲 相似三角形进阶（二）
课堂落实答案
思维突破 / 初二 / 春季
【答案】证明：
连接AD，由题可知AD⊥BC
AD交AE于点G，AF交BE于点H
∵DE⊥AC，∴∠ADF = ∠C
∴△ADE ∽△DCE，∴
AD
CD
=
DE
CE
∵DE = 2DF，CD =
1
2
BC，∴
AD
BC
=
DF
CE
∴△ADF∽△BCE，∴∠DAF = ∠EBC
∵∠AGH = ∠BGD
∴∠AHG = ∠BDG = 90 ∘，∴AF⊥BE
1
在Rt△ABC中，∠BCA = 90 ∘，CD是斜边上的高，已知CD = 12，AD = 16，则BD = ________，
BC = ________．
【答案】9；15
2
【答案】
(1)
【答案】
(2)
如图，在△ABC中，∠ADE = ∠B，∠BAC = ∠DAE．
证明：
AD
AB
=
AE
AC
；
证明：由题得△BAC∽△DAE
∴
AD
AB
=
AE
AC
当∠BAC = 90 ∘时，证明：CE⊥BC．
证明：∵
AD
AB
=
AE
AC
，∠BAD = ∠CAE
∴△BAD∽△CAE，
∴∠ACE = ∠B = 90 ∘−∠ACB
∴CE⊥BC
3
【答案】
(1)
(2)
如图，△ABC中，点E在中线AD上，∠DEB = ∠ABC，证明：
DB2 = DE ⋅DA；
证明：由题得△BED∽△ABD
∴DB2 = DE ⋅DA
∠DEC = ∠DCA．
第 12 讲 动点问题
例题练习题答案
思维突破 / 初二 / 春季
【答案】证明：由题得CD2 = DB2 = DE ⋅DA
∴△ECD∽△CAD，∴∠DEC = ∠DCA
例1
【答案】
(1)
【答案】
(2)
【答案】
(3)
如图，已知直线l1: y =
2
3
x +
8
3
与直线l2: y = −2x + 16相交于点C，l1、l2分别交x轴于A、B两点，
矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合．
求△ABC的面积；
由题知A(−4, 0)，B(8, 0)，C(5, 6)
∴S △ABC =
1
2
AB ⋅yC = 36
求矩形DEFG的边DE与EF的长；
G(8, 0)，∴xD = xG = 8
D在l1上，可得yD = 8，∴D(8, 8)，
yE = yD = 8，E在l2上，可得xE = 4
∴E(4, 8)
∴DE = xD −xE = 4，EF = yD = 8
若矩形DEFG沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t(0 ≤t ≤12)秒，
矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范
围．
设直线EF：x = 4 −t，直线DG：x = 8 −t
①0 ≤t ≤3时，EF与l1交于M
| |
| |
则M 4 −t,
16
3
−
2
3
t
DG与l2交于N，则N(8 −t, 2t)
S = SΔABC −SΔAMF −SΔBGN = 36 −
1
2
AF ⋅yM −
1
2
BG ⋅yN = −
4
3
t2 +
16
3
t +
44
3
②3 < t ≤8时，EF与l1交于M
则M 4 −t,
16
3
−
2
3
t
DG与l1交于N，则N 8 −t, 8 −
2
3
t
S = SMFGN =
1
2
FG ⋅
yM + yN
= −
8
3
t +
80
3
③8 < t ≤12时，DG与l1交于N
则N 8 −t, 8 −
2
3
t
S = SΔANG =
1
2
AG ⋅yN =
1
3
t2 −8t + 48
综上，S =
−
4
3
t2 +
16
3
t +
44
3
(0 ≤t ≤3)
−
8
3
t +
80
3
(3 < t ≤8)
1
3
t2 −8t + 48(8 < t ≤12)
(
)
|
|
| |
(
)
(
)
(| | | |)
(
)
| |
{
例2
如图，在四边形ABCD中，∠DAB = 90 ∘，AB = 4，AD = 3，动点M从D点出发，以每秒1个单位
的速度沿DA向终点A运动，同时动点N从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AB向终点B运动，当
其中一点到达终点时，运动结束．过点N作NP⊥AB，交AC于点P，连接MP，过点P作PQ⊥AD交
AD于点Q，且PQ = AN，AQ = PN，已知动点运动了x(0 < x ≤2)秒，且PN的长为
3x
2
，在这个运动
过程中，当动点运动了
36
37
秒时，MP = MA，则△PMA为等腰三角形，请问是否存在其它的x值使
△MPA为等腰三角形？如果存在请求出x的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】由题意知，DM = x，AN = 2x
①如图1
若PM = PA，∵PQ⊥AD，∴MQ = AQ
∵AQ = PN，∴MQ = AQ = PN =
3
2
x
又∵DM + MQ + QA = AD
∴x +
3
2
x +
3
2
x = 3，即x =
3
4
②如图2
若AP = AM，在Rt△PAN中，由勾股定理得AP = √AN2 + PN2 =
(2x)2 +
3
2
x
2
=
5
2
x
∵AM = 3 −x，∴
5
2
x = 3 −x，解得x =
6
7
③如图3
若AM = PM，过点M作MH⊥AP于H
则AH = PH =
1
2
AP =
5
4
x
在Rt △ACD中，AC = √32 + 42 = 5
√
( )
cos∠CAD =
AH
AM
=
AD
AC
即
5
4
x
3 −x
=
3
5
，解得x =
6
7
综上可得：存在，x =
3
4
或x =
6
7
例3
【答案】
(1)
(2)
如图，△AOB为正三角形，点B坐标为(2, 0)，过点C(−2, 0)作直线l交AO于D，交AB于E，且使
△ADE和△DCO的面积相等．
求证：AC/ / OE；
证明：
连接OE，AC，由题知S △ADE = S △DCO
∴S △ADE + S △DOE = S △DCO + S △DOE
即S △AOE = S △COE
又∵S △BOE = S △COE，∴S △AOE = S △BOE
∴AE = BE
∵△AOC是等边三角形，∴OE⊥AB
由BC = 4，AB = 2，∠B = 60 ∘
∴AC⊥AB，∴AC/ / OE
求直线l的函数解析式．
【答案】
由（1）可得E
3
2
,
√3
2
，设直线l：y = kx + b
将C、E点代入求得k =
√3
7
，b =
2√3
7
∴直线l：y =
√3
7
x +
2√3
7
(
)
例4
【答案】
(1)
【答案】
(2)
【答案】
(3)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = −x2 −(m −1)x + m2 −6交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于
点B(0, 3)，顶点C位于第二象限，连接AB，AC，BC．
求抛物线的解析式；
将B点代入抛物线，解得m = ± 3
∵顶点在第二象限，∴m = 3
∴抛物线解析式为：y = −x2 −2x + 3
点D是y轴正半轴上一点，且在B点上方，若∠DCB = ∠CAB，请你猜想并证明CD与AC的位
置关系；
CD⊥AC，证明：
A(−3, 0)，B(0, 3)，C(−1, 4)
∴AB = 3√2，AC = 2√5，BC = √2
∴AB2 + BC2 = AC2，∴∠CAB + ∠ACB = 90 ∘
∵∠CAB = ∠DCB，∴∠DCB + ∠ACB = 90 ∘
∴CD⊥AC
设与△AOB重合的△EFG从△ABC的位置出发，沿x轴负方向平移t个单位长度(0 < t ≤3)时，
△EFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
当0 < t ≤
3
2
时，如图1，EF交AB于Q
GF交AC于N，过N作MP∥FE交x轴于P
交BF的延长线于M，BF的延长线交AC于K
由△AGN∽△KFN，得
AG
KF
=
PN
MN
即
t
3
2
−t
=
PN
3 −PN
，解得PN = 2t
∴S = SΔFGE −SΔQAE −SΔAGN = −
3
2
t3 + 3t
当
3
2
< t ≤3时，如图2，EF交AB于N
交AC于M，BF交AC于P，
由△AME∽△PMF，得
AE
PF
=
ME
MF
即
3 −t
t −
3
2
=
ME
3 −ME
，解得ME = 2(3 −t)
∴S = SΔMAE −SΔNAE =
1
2
t2 −3t +
9
2
综上S =
−
3
2
t3 + 3t 0 < t ≤
3
2
1
2
t2 −3t +
9
2
3
2
< t ≤3
{
(
)
(
)
例5
(1)
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y = ax2 + 8ax + 16a + 6经过点B(0, 4)．
求抛物线的解析式；
【答案】
【答案】
(2)
【答案】
(3)
由题意知：16a + 6 = 4，解得a = −
1
8
∴抛物线的解析式为y = −
1
8
x2 −x + 4
设抛物线的顶点为D，过点D、B作直线交x轴于点A，点C在抛物线的对称轴上，且C点的纵坐
标为−4，连接BC、AC，求证：△ABC是等腰直角三角形；
证明：由抛物线解析式知顶点D坐标(−4, 6)
∵C纵坐标为−4，且在抛物线的对称轴上
∴C点坐标为(−4, −4)
设直线BD解析式为：y = kx + 4(k ≠0)
有6 = −4k + 4，∴k = −
1
2
∴BD解析式为：y = −
1
2
x + 4
∴直线BD与x轴交点A坐标为(8, 0)
过C作CE⊥y轴于E，则CE = 4，BE = 8
又OB = 4，OA = 8
∴CE = OB，BE = OA，∠CEB = ∠BOA = 90 ∘
∴△CEB≌△BOA（SAS）
∴CB = AB，∠CBE = ∠OAB
∵∠OAB + ∠ABO = 90 ∘
∴∠CBE + ∠ABO = 90 ∘
即∠ABC = 90 ∘，∴△ABC是等腰直角三角形
在（1）的条件下，将直线DB沿y轴向下平移，平移后的直线记为l，直线l与x轴、y轴分别交
于A ′、B ′，是否存在直线l，使△A ′B ′C是直角三角形，若存在求出l的解析式，若不存在，请
说明理由．
存在，y = −
1
2
x −1或y = −
1
2
x −
8
3
①当∠CA ′B ′ = 90 ∘时，如图1所示
设CD交AO延长线于点E
∵A ′B ′ / / AB，∴∠OA ′B ′ = ∠BAO
可知∠ECA ′ = ∠BAO
∴tan∠ECA
′ = tan∠BAO =
1
2
∴EA
′ = 2，A(−2, 0)
∴直线l解析式为：y = −
1
2
x −1
②当∠A ′CB ′ = 90 ∘时，如图2所示
设CD交AA ′交于点F
过点C作CE⊥y轴于点E，△A ′FC≌△B ′EC
∴A ′F = B ′E，∴由①tan∠B ′A ′O =
1
2
设B ′(0, n)，有
−n
4 + 4 + n
=
1
2
∴n = −
8
3
，B 0, −
8
3
∴直线l解析式：y = −
1
2
x −
8
3
综上可得：y = −
1
2
x −1或y = −
1
2
x −
8
3
(
)
例6
【答案】
(1)
【答案】
(2)
【答案】
(3)
如图，在平面直角坐标系xOy中，半圆的圆心点A在x轴上，直径OB = 8，点C是半圆上一点，
∠COA = 60 ∘，二次函数y = a(x −h)2 + k的图象经过点A、B、C，动点P和点Q同时从点O出发，
点P以每秒1个单位的速度从O点运动到点C，点Q以每秒2个单位的速度在OB上运动，当点P运动
到点C时，点Q随之停止运动，点D是点C关于二次函数图象对称轴的对称点，顺次连接点D、P、
Q，设点P的运动时间为t秒，△DPQ的面积为y．
求二次函数y = a(x −h)2 + k的表达式；
连接AC，∵A为半圆圆心，OB = 8
∴AC = AO = 4，又∠COA = 60 ∘
∴△AOC为等边三角形
∴C 2, 2√3 ，易得A(4, 0)，B(8, 0)
∴二次函数图像的对称轴为x = 6，即h = 6
代入解得二次函数表达式：y =
√3
6
(x −6)2 −
2√3
3
当∠DQP = 120 ∘时，直接写出点P的坐标；
P 1, √3
在点P和点Q运动的过程中，△DPQ的面积存在最大值吗？如果存在，请求出此时的t值和
△DPQ面积的最大值；如果不存在，请说明理由．
当t = 4时，△DPQ的面积最大值为8√3，证明：
(
)
(
)
连接BC、DB，延长DB、PQ交于点E
∵OP = t，OQ = 2t，OC = 4，OB = 8
∴
OP
OC
=
OQ
OB
，∠POQ = ∠COB
∴△OPQ∽△OCB，∴∠OPQ = ∠OCB
∵OB为半圆直径，∴∠OPQ = ∠OCB = 90 ∘
在Rt△OPQ中，PQ = √3t，连接CD，点D是C关于函数对称轴的对称点，
∴CD∥OB，由C和对称轴可得D 10, 2√3
∴CD = OB = 8
∴四边形OCDB是平行四边形，OC∥DB
∴∠DEP = ∠OPQ = 90 ∘
在Rt△BEQ中，∠BQE = ∠OQP = 30 ∘
BQ = 8 −2t，∴BE = 4 −t，DE = 8 −t
∴S △DPQ =
1
2
PQ ⋅DE =
1
2√3t(8 −t)
即y = −
√3
2
(t −4)2 + 8√3
∴当t = 4时，△DPQ的面积最大值为8√3
(
)
例7
【答案】
(1)
已知∠ABC = 90 ∘，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC
的内部作等边△ABE和△APQ，连接QE并延长交BP于点F．
如图1，若AB = 2√3，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写出结果）；
2
思维突破 / 初二 / 春季
【答案】
(2)
【答案】
(3)
如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生
新的线段），并加以证明；
EF = BF，证明：
∵△ABE是等边三角形
∴AE = AB，∠BAE = 60 ∘
∵∠BAP = ∠BAE −∠EAP = 60 ∘−∠EAP
∠EAQ = ∠QAP −∠EAP = 60 ∘−∠EAP
∴∠BAP = ∠EAQ
在△ABP和△AEQ中
AB = AE，∠BAP = ∠EAQ，AP = AQ
∴△ABP≌△AEQ，∴∠AEQ = ∠ABP = 90 ∘
∴∠BEF = 180 ∘−∠AEQ −∠AEB = 30 ∘
又∠EBF = 30 ∘，∴EF = BF
若AB = 2√3，设BP = x，以QF为边的等边三角形的面积y，求y关于x的函数关系式．
如图，过F作FD⊥BE于点D
△ABE是等边三角形
∴BE = AB = 2√3，由（2）的∠EBF = 30 ∘
在Rt△BDF中，BD = √3
∴EF = BF =
BD
cos30 ∘
= 2
∵△ABP≌△AEQ，∴QE = BP = x
∴QF = QE + EF = x + 2
∴以QF为边的等边三角形面积
y =
√3
4
(x + 2)2 =
√3
4
x2 + √3x + √3
第 12 讲 动点问题
自我巩固答案
1
【答案】
(1)
【答案】
(2)
【答案】
(3)
已知二次函数y = x2 −(2m + 2)x + m2 + 4m −3 中，m为不小于0的整数，它的图象与轴交于点A
和点B，点A在原点左边，点B在原点右边．
求这个二次函数的解析式；
∵二次函数的图象与x轴有两个交点
∴△= [ −(2m + 2)]2 −4(m2 + 4m −3) = −8m + 16 > 0
∴m < 2
∵m为不小于0的整数，∴m取0、1
当m = 1时，y = x2 −4x + 2，图象与x轴的两个交点在原点的同侧，不合题意，舍去
当m = 0时，y = x2 −2x −3，符合题意
∴二次函数的解析式为：y = x2 −2x −3
点C是抛物线与y轴的交点，已知AD = AC（D在线段AB上），有一动点P从点A出发，沿线段
AB以每秒1个单位长度的速度移动，同时，另一动点Q从点C出发，以某一速度沿线段CB移
动，经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求t的值；
∵AC = AD，∴∠ADC = ∠ACD
∵CD垂直平分PQ，∴DP = DQ
∴∠ADC = ∠CDQ，∴∠ACD = ∠CDQ
∴DQ/ / AC，∴△BDQ ∽△BAC
∴
DQ
AC
=
BD
AB
∵AC = √10，BD = 4 −√10，AB = 4
∴DQ = √10 −
5
2
，∴PD = √10 −
5
2
∴AP = AD −PD =
5
2
，∴t =
5
2
÷ 1 =
5
2
在（2）的情况下，求四边形ACQD的面积．
∵△BDQ ∽△BAC，AB = 4
(
)
AD = AC = √12 + 32 = √10
∴BD = 4 −√10
∴
S △BDQ
S △BAC
=
BD
AB
2
=
4 −√10
4
2
∵S △BAC = 6，∴S △BDQ =
39 −12√10
4
∴S四边形ACQD = 6 −
39 −12√10
4
=
12√10 −15
4
( )
(
)
2
【答案】
(1)
如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点．点E从点A出发，沿AB运动到点B停止．连接EM
并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG，FG．
设AE = x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
当点E与点A重合时，x = 0，y = 2
当点E与点A不重合时，0 ≤x ≤2
在正方形ABCD中，∠A = ∠ADC = 90 ∘
∴∠MDF = 90 ∘
可得△AME≌△DMF（ASA），∴ME = MF
Rt △AME中，设AE = x，AM = 1，ME = √x2 + 1
∴EF = 2ME = 2√x2 + 1
过M作MN⊥BC于N
可得MN = AB = AD = 2AM
Rt△AME∽Rt△NMG
∴
AM
NM
=
ME
MG
，即
ME
MG
=
1
2
∴MG = 2ME = 2√x2 + 1
第 12 讲 动点问题
课堂落实答案
思维突破 / 初二 / 春季
【答案】
(2)
∴y =
1
2
EF ⋅MG =
1
2
× 2√x2 + 1 × 2√x2 + 1 = 2x2 + 2（0 ≤x ≤2）
P是MG的中点，求点P运动路线的长．
如图，PP ′即为P点运动的距离
在Rt △BMG ′中，MG⊥BG ′
∴∠MBG = ∠G ′MG = 90 ∘−∠BMG
∴tan∠MBG =
MG
BG
= 2，∴GG ′ = 4
△MGG ′中，P，P ′分别为中点，∴PP ′是中位线
∴PP ′ =
1
2
GG ′ = 2，∴点P运动路线长为2
1
【答案】
(1)
在矩形ABCD中，AB = 4cm，BC = 8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为
O．
如图1，连接AF，CE，求证：四边形AFCE为菱形；
∵四边形ABCD是矩形，∴AD/ / BC
∴∠CAD = ∠ACB，∠AEF = ∠CFE
∴△AOE≌△COF（AAS）
思维突破 / 初二 / 春季
【答案】
【解析】
(2)
∴OE = OF
∴四边形AFCE为平行四边形
又EF⊥AC
∴四边形AFCE为菱形
如图2，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自
A →F →B →A停止，点Q自C →D →E →C停止．在运动过程中：
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A，C，P，Q四点
为顶点的四边形是平行四边形时，则t = __________；
②若点P，Q的运动路程分别为a，b（单位：cm，ab ≠0），已知A，C，P，Q四点为顶点的
四边形是平行四边形，则a与b满足的数量关系式为________．
4
3
；a + b = 12
①显然当P点在AF上时，Q点在CD上
此时A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形
∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC = QA
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒
∴PC = 5t，QA = 12 −4t
∴5t = 12 −4t，解得t =
4
3
②由题意得，以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P，Q在互相
平行的对应边上，分三种情况讨论：
i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP = CQ，即a = 12 −b，得a + b = 12；
ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ = CP，即12 −b = a，得a + b = 12；
iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP = CQ，即12 −a = b，得a + b = 12
综上a + b = 12
第 13 讲 旋转综合
例题练习题答案
例1
【答案】
(1)
【答案】
(2)
如图1，在Rt△ABC中，∠A = 90 ∘，AB = AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD = AE，连接DC，
点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是_____，位置关系是_____；
PM = PN；PM⊥PN
探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的
形状，并说明理由；
由旋转知，∠BAD = ∠CAE
∵AB = AC，AD = AE，∴△ABD≌△ACE
∴∠ABD = ∠ACE，BD = CE
同（1）的方法，利用三角形的中位线得
PN =
1
2
BD，PM =
1
2
CE
∴PM = PN，∴△PMN是等腰三角形
同（1）的方法得，PM∥CE
∴∠DPM = ∠DCE
同（1）的方法得，PN∥BD
∴∠PNC = ∠DBC
∵∠DPN = ∠DCB + ∠PNC = ∠DCB + ∠DBC
∴∠MPN = ∠DPM + ∠DPN
= ∠DCE + ∠DCB + ∠DBC
= ∠BCE + ∠DBC = ∠ACB + ∠ACE + ∠DBC
= ∠ACB + ∠ABD + ∠DBC = ∠ACB + ∠ABC
∵∠BAC = 90 ∘，∴∠ACB + ∠ABC = 90 ∘
∴∠MPN = 90 ∘
∴△PMN是等腰直角三角形
【答案】
(3) 拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD = 4，AB = 10，请直接写出△PMN面
积的最大值．
S △PMN最大=
49
2
例2
【答案】
(1)
【答案】
(2)
如图1，过等边三角形ABC边AB上一点D作DE∥BC交边AC于点E，分别取BC，DE的中点M，N，连
接MN．
发现：在图1中，
MN
BD
= ______；
√3
2
应用：如图2，将△ADE绕点A旋转，请求出
MN
BD
的值；
如图2中，连接AM、AN
∵△ABC，△ADE都是等边三角形
BM = MC，DN = NE
∴AM⊥BC，AN⊥DE
∴
AM
AB
= sin60 ∘，
AN
AD
= sin60 ∘
【答案】
(3)
∴
AM
AB
=
AN
AD
，∵∠MAB = ∠DAN = 30 ∘
∴∠BAD = ∠MAN，∴△BAD∽△MAN
∴
MN
BD
=
AM
AB
= sin60 ∘=
√3
2
拓展：如图3，△ABC和△ADE是等腰三角形，且∠BAC = ∠DAE，M，N分别是底边BC，DE
的中点，若BD⊥CE，请直接写出
MN
BD
的值．
MN
BD
=
√2
2
例3
【答案】
(1)
【答案】
(2)
发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC = a，AB = b．
填空：当点A位于______时，线段AC的长取得最大值，且最大值为______（用含a，b的式子表
示）；
CB的延长线上；a + b
应用：点A为线段BC外一动点，且BC = 3，AB = 1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等
边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．
①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；
②直接写出线段BE长的最大值．
①CD = BE
∵△ABD与△ACE是等边三角形
∴AD = AB，AC = AE，∠BAD = ∠CAE = 60 ∘
∴∠BAD + ∠BAC = ∠CAE + ∠BAC
即∠CAD = ∠EAB
在△CAD与△EAB中，
AD = AB
∠CAD = ∠EAB
AC = AE
∴△CAD≌△EAB，∴CD = BE
②BE最大值为4
{
例4
【答案】
(1)
【答案】
(2)
平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集
中，以达到解决问题的目的．
探究发现：如图1，P是等边△ABC内一点，PA = 3，PB = 4，PC = 5．
求∠APB的度数．
解：将△APC绕点A旋转到△AP ′B的位置，连接PP ′，
则△APP ′是_______三角形．
∵PP ′ = PA = 3， PB = 4，P ′B = PC = 5，
∴P ′P2 + PB2 = P ′B2，∴△BPP ′为_______三角形．
∴∠APB的度数为________．
等边；直角；150 ∘
类比延伸：如图2，在正方形ABCD内部有一点P，连接PA、PB、PC，若PA = 2，PB = 4，
∠APB = 135 ∘，求PC的长；
如图1，把△ABP绕点B顺时针旋转90 ∘得到△BCP ′
则P ′B = PB = 4，P ′C = PA = 2
【答案】
(3)
∵旋转角是90 ∘，∴∠PBP ′ = 90 ∘
∴△BPP ′是等腰直角三角形
∴PP ′ = √2PB = 4√2，∠PP ′B = 45 ∘
∵∠APB = 135 ∘，∴∠CP ′B = ∠APB = 135 ∘
∴∠PP ′C = 135 ∘−45 ∘= 90 ∘
在Rt△PP ′C中，由勾股定理得
PC =
PP ′ 2 + P ′C2 =
(4√2)2 + 22 = 6
拓展迁移：如图3，在四边形ABCD中，AD与BC不平行，AC = BD = a，AC与BD交于点O，且
∠AOD = 60 ∘，比较AD + BC与a的大小关系，并说明理由．
如图2所示，以AC为边向左作等边三角形PAC，连接PB
则PA = PC = AC = BD = a，∠PAC = 60 ∘
∵∠AOD = 60 ∘，∴PA∥BD
∴四边形APBD是平行四边形，∴AD = PB
在△PBC中，可得：PB + BC > PC
即AD + BC > a
√
√
例5
【答案】
(1)
如图①，正方形AEFG的边长为1，正方形ABCD的边长为3，点F在AD上．
求S △DBF；
∵正方形ABCD的边长为3，
∴BD = 3√2
∵正方形AEFG的边长为1，点F在AD上
【答案】
(2)
【答案】
(3)
∴AF = √2，∴DF = 3 −√2
∴SΔDBF =
1
2
× DF × AB =
1
2
× 3 −√2 × 3 =
9
2
−
3√2
2
把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45 ∘得图②，求图②中的S △DBF；
连接AF
∵AF是正方形AEFG的对角线，BD是正方形ABCD的对角线
∴AF∥BD，∴△DFB与△ABD同底等高
∴S △DBF = S △ABD =
9
2
把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，△DBF的面积存在最大值与最小值，请直接
写出最大值_______，最小值_______．
15
2
；
3
2
(
)
例6
(1)
如图1，点O为正方形ABCD的中心．
将线段OE绕点O逆时针方向旋转90 ∘，点E的对应点为点F，连接EF，AE，BF，请依题意补全
图1；
思维突破 / 初二 / 春季
【答案】
【答案】
(2)
【答案】
(3)
根据图1中补全的图形，猜想并证明AE与BF的关系；
AE = BF且AE⊥BF，证明：
如图，延长EA交OF于点H，交BF于点G
∵O为正方形ABCD的中心
∴OA = OB，∠AOB = 90 ∘
∵OE绕点O逆时针旋转90 ∘角得到OF
∴OE = OF，∴∠AOB = ∠EOF = 90 ∘
∴∠EOA = ∠FOB
在△EOA和△FOB中，
OE = OF
∠EOA = ∠FOB
OA = OB
∴△EOA≌△FOB，∴AE = BF
∴∠OEA = ∠OFB，∵∠OEA + ∠OHA = 90 ∘
∴∠OFB + ∠FHG = 90 ∘，∴AE⊥BF
如图2，点G是OA中点，△EGF是等腰直角三角形，H是EF的中点，∠EGF = 90 ∘，AB = 2√2
，GE = 2，△EGF绕G点逆时针方向旋转α角度，请直接写出旋转过程中BH的最大值．
BH的最大值为√5 + √2
{
第 13 讲 旋转综合
自我巩固答案
1
【答案】
(1)
【答案】
(2)
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB = 90 ∘，AC = BC，点D，E分别在AC，BC边上，DC = EC，连接DE
，AE，BD，点M，N，P分别是AE，BD，AB的中点，连接PM，PN，MN．
BE与MN的数量关系是______；
BE = √2MN
将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请写
出证明过程，如果不成立，请说明理由；
如图2中，结论仍然成立，证明：
连接AD、延长BE交AD于点H
∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形
∴CD = CE，CA = CB，∠ACB = ∠DCE = 90 ∘
∵∠ACB −∠ACE = ∠DCE −∠ACE
∴∠ACD = ∠ECB，∴△ECB≌△DCA
∴BE = AD，∠DAC = ∠EBC
∵∠AHB = 180 ∘−(∠HAB + ∠ABH)
= 180 ∘−
45 ∘+ ∠HAC + ∠ABH
= ∠180 ∘−
45 ∘+ ∠HBC + ∠ABH
= 180 ∘−90 ∘= 90 ∘
∴BH⊥AD
∵M、N、P分别为AE、BD、AB的中点
(
)
(
)
【答案】
(3)
∴PM/ / BE，PM =
1
2
BE
PN/ / AD，PN =
1
2
AD
∴PM = PN，∠MPN = 90 ∘
∴BE = 2PM = 2 ×
√2
2
MN = √2MN
若CB = 6，CE = 2，在将图1中的△DEC绕点C逆时针旋转一周的过程中，当B，E，D三点在
一条直线上时，MN的长度为______．
√17 −1或√17 + 1
2
【答案】
(1)
【答案】
(2)
已知：在△ABC中，∠BAC = 60 ∘．
如图1，若AB = AC，点P在△ABC内，且∠APC = 150 ∘，PA = 3，PC = 4，把△APC绕着点A
顺时针旋转，使点C旋转到点B，得到△ADB，连接DP．
①依题意补全图1；
②直接写出PB的长；
①依题意补全图形，如图1所示，
②PB = 5
如图2，若AB = AC，点P在△ABC外，且PA = 3，PB = 5，PC = 4，求∠APC的度数；
如图2
第 13 讲 旋转综合
课堂落实答案
思维突破 / 初二 / 春季
【答案】
(3)
把△APC绕点A顺时针旋转，使点C与点B重合，得到△ADB，连接PD
∴△APC≌△ADB
∴AD = AP = 3，DB = PC = 4
∠PAC = ∠DAB，∠APC = ∠2，
∴∠DAP = ∠BAC，∵∠BAC = 60 ∘
∴∠DAP = 60 ∘，∴△DAP是等边三角形
∴PD = 3，∠1 = 60 ∘
∴PD2 + DB2 = 32 + 42 = 52 = PB2
∴∠PDB = 90 ∘，∴∠2 = 30 ∘，∴∠APC = 30 ∘
如图3，若AB = 2AC，点P在△ABC内，且PA = √3，PB = 5，∠APC = 120 ∘，直接写出PC的
长．
PC = 2
1
(1) 问题发现：
小明遇到这样一个问题：
如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足∠ADE = 60 ∘，DE交等边三角形外角
平分线CE所在直线于点E，试探究AD与DE的数量关系．小明发现，过点D作DF/ / AC，交AB
【答案】
【答案】
(2)
【答案】
(3)
于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出AD与DE的
数量关系：________________；
AD = DE
类比探究：如图2，当点D是线段BC上（除B，C外）任意一点时（其它条件不变），试猜想
AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论；
AD = DE，证明：
如图2，过点D作DF/ / AC，交AB于点F
∵△ABC是等边三角形
∴AB = BC，∠ACB = ∠ABC = 60 ∘
又∵DF/ / AC，∴∠BDF = ∠BFD = 60 ∘
∴△BDF是等边三角形，BF = BD，∠BFD = 60 ∘
∴AF = CD，∠AFD = 120 ∘
∵EC是外角的平分线，∠DCE = 120 ∘= ∠AFD
∵∠ADC是△ABD的外角
∴∠ADC = ∠B + ∠FAD = 60 ∘+ ∠FAD
∵∠ADC = ∠ADE + ∠EDC = 60 ∘+ ∠EDC
∴∠FAD = ∠EDC
在△AFD和△DCE中
∠AFD = ∠DCE
AF = CD
∠FAD = ∠EDC
∴△AFD≌△DCE，∴AD = DE
拓展应用：当点D在线段BC的延长线上，且满足CD = BC（其它条件不变）时，请直接写出△
ABC与△ADE的面积之比．
1
3
{
第 14 讲 新定义问题
例题练习题答案
思维突破 / 初二 / 春季
例1
【答案】
(1)
【答案】
(2)
在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点(−1, −1)，
(0, 0)，√2, √2 ，⋯，都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．
若点P(2, m)是反比例函数y =
n
x
（n为常数，n ≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函
数的解析式；
∵点P(2, m)是“梦之点”，∴m = 2
∵点P(2, 2)在反比例函数y =
n
x
（n为常数，n ≠0）的图象上
∴n = 2 × 2 = 4
∴反比例函数的解析式为y =
4
x
函数y = 3kx + s −1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之
点”的坐标；若不存在，请说明理由；
假设函数y = 3kx + s −1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”(x, x)
则有x = 3kx + s −1，整理，得(3k −1)x = 1 −s
当3k −1 ≠0，即k ≠
1
3
时，解得x =
1 −s
3k −1
当3k −1 = 0，1 −s = 0，即k =
1
3
，s = 1时，x有无穷多解
当3k −1 = 0，1 −s ≠0，即k =
1
3
，s ≠1时，x无解
综上所述，当k ≠
1
3
时，“梦之点”的坐标为
1 −s
3k −1
,
1 −s
3k −1
；当k =
1
3
，s = 1
时，“梦之点”有无数个；当k =
1
3
，s ≠1时，不存在“梦之点”
(
)
(
)
【答案】
(3) 若二次函数y = ax2 + bx + 1（a，b是常数，a > 0）的图象上存在两个不同的“梦之点”
A x1, x1 ，B x2, x2 ，且满足−2 < x1 < 2，x1 −x2 = 2，令t = b2 −2b +
157
48
，试求出t的取
值范围．
∵二次函数y = ax2 + bx + 1（a，b是常数，a > 0）的图象上存在两个不同的“梦之
点”A x1, x1 ，B x2, x2
∴x1 = ax2
1
+ bx1 + 1，x2 = ax2
2
+ bx2 + 1
∴ax2
1
+ (b −1)x1 + 1 = 0，ax2
2
+ (b −1)x2 + 1 = 0
∴x1，x2是一元二次方程ax2 + (b −1)x + 1 = 0的两个不等实根
∴x1 + x2 =
1 −b
a
，x1 ⋅x2 =
1
a
∴x1 −x2
2 =
x1 + x2
2 −4x1 ⋅x2 =
1 −b
a
2
−4 ⋅
1
a
=
b2 −2b + 1 −4a
a2
= 4
∴b2 −2b = 4a2 + 4a −1 = (2a + 1)2 −2
∴t = b2 −2b +
157
48
= (2a + 1)2 −2 +
157
48
= (2a + 1)2 +
61
48
∵−2 < x1 < 2，x1 −x2 = 2
∴−4 < x2 < 0或0 < x2 < 4
∴−4 < x2 < 4，∴−8 < x1 ⋅x2 < 8
∴−8 <
1
a
< 8，∵a > 0，∴a >
1
8
∴(2a + 1)2 +
61
48
>
25
16
+
61
48
=
17
6
∴t >
17
6
(
)
(
)
|
|
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
|
|
例2
对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这
个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的
不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零．例如，下图中的函数有0，1两
个不变值，其不变长度q等于1．
【答案】
(1)
【答案】
(2)
【答案】
(3)
分别判断函数y = x + 1，y =
2
x
，y = x2 −2有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；
函数y = x + 1没有不变值
函数y =
2
x
的不变值为±√2，q = 2√2
函数y = x2 −2的不变值为：2或−1，q = 2 −(−1) = 3
函数y = 2x2 −bx．
①若其不变长度为零，求b的值；
②若1 ≤b ≤3，求其不变长度q的取值范围；
①函数y = 2x2 −bx，令y = x，则x = 2x2 −bx
整理得：x(2x −b −1) = 0
∵q = 0，∴x = 0且2x −b −1 = 0
解得：b = −1
②由①知：x(2x −b −1) = 0
∴x = 0或2x −b −1 = 0
解得：x1 = 0，x2 =
b + 1
2
∵1 ≤b ≤3，∴1 ≤x2 ≤2
∴1 −0 ≤q ≤2 −0，∴1 ≤q ≤2
记函数y = x2 −2x(x ≥m)的图象为G1，将G1沿x = m翻折后得到的函数图象记为G2，函数G的
图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0 ≤q ≤3，则m的取值范围为多少？
∵记函数y = x2 −2x(x ≥m)的图象为G1
将G1沿x = m翻折后得到的函数图象记为G2
∴函数G的图象关于x = m对称
∴G: y =
x2 −2x
(2m −x)2 −2(2m −x)
(x ≥m)
(x < m)
∵当x2 −2x = x时，x3 = 0，x4 = 3
当(2m −x)2 −2(2m −x) = x时，△= 1 + 8m
当Δ < 0，即m < −
1
8
时，q = x4 −x3 = 3
当Δ ≥0，即m ≥−
1
8
时，x5 =
4m −1 + √1 + 8m
2
x6 =
4m −1 −√1 + 8m
2
①当−
1
8
≤m ≤0时，x3 = 0，x4 = 3，
∴x6 < 0，∴x4 −x6 > 3（不符合题意，舍去）
②∵当x5 = x4时，m = 1，当x6 = x3时，m = 1
当0 < m < 1时，x3 = 0（舍去），x4 = 3
此时0 < x5 < x4，x6 < 0，q = x4 −x6 > 3（舍去）
当1 ≤m ≤3时，x3 = 0（舍去），x4 = 3
此时0 < x5 < x4，x6 > 0，q = x4 −x6 < 3
当m > 3时，x3 = 0（舍去），x4 = 3（舍去）
此时x5 > 3，x6 > 0，q = x5 −x6 > 3（舍去）
综上所述：m的取值范围为1 ≤m ≤3或m < −
1
8
{
例3
(1)
我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．
①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有____________；
【答案】
【答案】
(2)
②在凸四边形ABCD 中，AB = AD 且CB ≠CD ，则该四边形_______“ 十字形” ．
（填“是”或“不是”）
①菱形，正方形
②不是
如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，线段AC与BD交于
点E，∠ADB −∠CDB = ∠ABD −∠CBD，当6 ≤AC2 + BD2 ≤7时，求OE的取值范围；
∵∠ADB + ∠CBD = ∠ABD + ∠CDB
∠CBD = ∠CAD,∠CDB = ∠CAB
∴∠ADB + ∠CAD = ∠ABD + ∠CAB
∴180 ∘−∠AED = 180 ∘−∠AEB
∴∠AED = ∠AEB = 90 ∘
∴AC⊥BD
如图1，过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD
∴OA = OD = 1，OM2 = OA2 −AM2
ON2 = OD2 −DN2，AM =
1
2
AC，DN =
1
2
BD
四边形OMEN是矩形
∴ON = ME，OE2 = OM2 + ME2
∴OE2 = OM2 + ON2 = 2 −
1
4
AC2 + BD2
∵6 ≤AC2 + BD2 ≤7
∴2 −
7
4
≤OE2 ≤2 −
3
2
∴
1
4
≤OE2 ≤
1
2
(
)
【答案】
(3)
∴
1
2
≤OE ≤
√2
2
(OE > 0)
如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = ax2 + bx + c（a，b，c为常数，a > 0，c < 0）
与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为(0, −ac)
，记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB、△COD、△AOD、△BOC的面积分别为S1，S2，
S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；
①√s =
s1 +
s2；②√s =
s3 +
s4；③“十字形”ABCD的周长为12√10．
由题意得，A
−b −√Δ
2a
, 0 ，B(0, c)
C
−b + √Δ
2a
, 0 ，D(0, −ac)
∵a > 0，c < 0
∴OA =
√Δ + b
2a
，OB = −c
OC =
√Δ −b
2a
，OD = −ac
AC =
√Δ
a
，BD = −ac −c
∴S =
1
2
AC ⋅BD = −
1
2
(ac + c) ×
√Δ
a
S1 =
1
2
OA ⋅OB = −
c √Δ + b
4a
S2 =
1
2
OC ⋅OD = −
c √Δ −b
4
√
√
√
√
(
)
(
)
(
)
(
)
S3 =
1
2
OA × OD = −
c √Δ + b
4
S4 =
1
2
OB × OC = −
c √Δ −b
4a
∵√S =
S1 +
S2，√S =
S3 +
S4
∴
√−c √Δ + b
√4a
+
√−c √Δ −b
2
=
√−c √Δ + b
2
+
√−c √Δ −b
√4a
∴√4a = 2，∴a = 1
∴S = −c√Δ，S1 = −
c √Δ + b
4
S4 = −
c √Δ −b
4
∵√S =
S1 +
S2
∴S = S1 + S2 + 2
S1S2
∴−c√Δ = −
c√Δ
2
+ 2
c2 ⋅(−4c)
16
∴−
c√Δ
2
= −c ⋅√−c，∴√b2 −4c = √−4c
∴b = 0
∴A −√−c, 0 ，B(0, c)
C √−c, 0 ，d(0, −c)，
∴四边形ABCD是菱形，∴4AD = 12√10
∴AD = 3√10，即：AD2 = 90
∵AD2 = c2 −c，∴c2 −c = 90
∴c = −9或c = 10（舍)
即：y = x2 −9
(
)
(
)
√
√
√
√
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
√
√
√
√
(
)
(
)
例4
给出如下定义：对于⊙O的弦MN和⊙O外一点P（M，O，N三点不共线，且点P，O在直线MN
的异侧），当∠MPN + ∠MON = 180 ∘时，则称点P是线段MN关于点O的关联点．图1是点P为线
段MN关于点O的关联点的示意图．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．
【答案】
(1)
【答案】
(2)
如图2，M
√2
2
,
√2
2
，N
√2
2
, −
√2
2
．在A(1, 0)，B(1, 1)，C √2, 0 三点中，是线段MN关于
点O的关联点的是_________________________；
C
如图3，M(0, 1)，N
√3
2
, −
1
2
，点D是线段MN关于点O的关联点．
①∠MDN的大小为___________________°；
②在第一象限内有一点E √3m, m ，点E是线段MN关于点O的关联点，判断△MNE的形状，
并直接写出点E的坐标；
③点F在直线y = −
√3
3
x + 2上，当∠MFN ≥∠MDN时，求点F的横坐标xF的取值范围．
①60 ∘
②如图3 −1中，结论：△MNE是等边三角形
理由：作EK⊥x轴于K
∵E √3m, m ，∴tan∠EOK =
√3
3
∴∠EOK = 30 ∘，∴∠MOE = 60 ∘
∵∠MON + ∠MEN = 180 ∘
∴M、O、N、E四点共圆
∴∠MNE = ∠MOE = 60 ∘
∵∠MEN = 60 ∘
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
∴∠MEN = ∠MNE = ∠NME = 60 ∘
∴△MNE是等边三角形，易知E √3, 1
③如图3 −2中，由②可知，△MNE是等边三角形，作△MNE的外接圆⊙O ′
∴点E在直线y = −
√3
3
x + 2上
设直线交⊙O ′于E、F，可得F
√3
2
,
3
2
观察图象可知满足条件的点F的横坐标x的取值范围
√3
2
≤xF ≤√3
(
)
(
)
1
【答案】
(1)
在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为x1, y1 ，点Q的坐标为x2, y2 ，且x1 ≠x2，y1 ≠y2，若
P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关
矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图．
已知点A的坐标为(1, 0)，
①若点B的坐标为(3, 1)，求点A，B的“相关矩形”的面积；
②点C在直线x = 3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；
①∵A(1, 0)，B(3, 1)
由定义可知：点A，B的“相关矩形”的底与高分别为2和1
∴点A，B的“相关矩形”的面积为2 × 1 = 2
②由定义可知：AC是点A，C的“相关矩形”的对角线
又∵点A，C的“相关矩形”为正方形
∴直线AC与x轴的夹角为45 ∘
(
)
(
)
【答案】
(2)
设直线AC的解析为：y = x + m或y = −x + n
把(1, 0)代入y = x + m，∴m = −1
∴直线AC的解析为：y = x −1
把(1, 0)代入y = −x + n，∴n = 1
∴y = −x + 1
综上所述，若点A，C的“相关矩形”为正方形，直线AC的表达式为y = x −1或
y = −x + 1
⊙O的半径为√2，点M的坐标为(m, 3)，若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩
形”为正方形，求m的取值范围．
设直线MN的解析式为y = kx + b
∵点M，N的“相关矩形”为正方形
∴由定义可知：直线MN与x轴的夹角为45 ∘
∴k = ± 1，∵点N在⊙O上
∴当直线MN与⊙O有交点时，点M，N的“相关矩形”为正方形
当k = 1时，作⊙O的切线AD和BC，且与直线MN平行，其中A、C为⊙O的切点，直
线AD与y轴交于点D，直线BC与y轴交于点B，连接OA，OC
把M(m, 3)代入y = x + b，∴b = 3 −m
∴直线MN的解析式为：y = x + 3 −m
∵∠ADO = 45 ∘，∠OAD = 90 ∘
∴OD = √2OA = 2，∴D(0, 2)
同理可得：B(0, −2)
∴令x = 0代入y = x + 3 −m，∴y = 3 −m
∴−2 ≤3 −m ≤2，∴1 ≤m ≤5
当k = −1时，把M(m, 3)代入y = −x + b
∴b = 3 + m
第 14 讲 新定义问题
自我巩固答案
思维突破 / 初二 / 春季
∴直线MN的解析式为：y = −x + 3 + m
同理可得：−2 ≤3 + m ≤2，∴−5 ≤m ≤−1
综上所述，当点M，N的“相关矩形”为正方形时，m的取值范围是：1 ≤m ≤5或
−5 ≤m ≤−1
1
【答案】
(1)
【答案】
(2)
【答案】
(3)
在平面直角坐标系中，如果某点的横坐标与纵坐标的和为10，则称此点为“合适点”．例如，点
(1, 9)，(−2020, 2030)⋯都是“合适点”．
求函数y = 2x + 1的图象上的“合适点”的坐标；
联立x + y = 10和y = 2x + 1
解得：x = 3，y = 7
故“合适点”的坐标为(3, 7)
求二次函数y = x2 −5x −2的图象上的两个“合适点”A，B之间线段的长；
联立x + y = 10和y = x2 −5x −2
解得：x = −2或6
故点A、B的坐标分别为：(−2, 12)、(6, 4)
则AB = √(−2 −6)2 + (12 −4)2 = 8√2
若二次函数y = ax2 + 4x + c的图象上有且只有一个“合适点”，其坐标为(4, 6)，求二次函数
y = ax2 + 4x + c的表达式；
将点(4, 6)代入二次函数表达式得：
16a + 16 + c = 6①
联立y = 10 −x和y = ax2 + 4x + c并整理得：
ax2 + 5x + (c −10) = 0
Δ = 25 −4a(c −10) = 0②
联立①②并解得：a = −
5
8
，c = 0
【答案】
(4)
故抛物线的表达式为：y = −
5
8
x2 + 4x
我们将抛物线y = 2(x −n)2 −3在x轴下方的图象记为G1，在x轴及x轴上方图象记为G2，现将
G1沿x轴向上翻折得到G3，图象G2和图象G3两部分组成的记为G，当图象G上恰有两个“合适
点”时，直接写出n的取值范围．
n <
55
8
或10 −
√6
2
< n < 10 +
√6
2
2
【答案】
(1)
【答案】
(2)
(3)
阅读下面的情景对话，然后解答问题：
老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
小华：等边三角形一定是奇异三角形!
小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？
根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角
形”是真命题还是假命题？
设等边三角形的一边为a，则a2 + a2 = 2a2
∴“奇异三角形”的定义，∴是真命题
在Rt△ABC中，AB = c，AC = b，BC = a，且c > b > a，如果Rt△ABC是奇异三角形，求a: b: c
；
∵∠C = 90 ∘，则a2 + b2 = c2①
∵Rt△ABC是奇异三角形，且b > a
∴a2 + c2 = 2b2②
由①②得：b = √2a，c = √3a
∴a: b: c = 1:√2:√3
如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A，B重合），D是半圆
⌢
ADB的中点，C，D
在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE = AD，CB = CE．
【答案】
①求证：△ACE是奇异三角形；
②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．
连接BD
∵①AB是⊙O的直径
∴∠ACB = ∠ADB = 90 ∘
在Rt△ACB中，AC2 + BC2 = AB2
在Rt△ADB中，AD2 + BD2 = AB2
∵点D是半圆
⌢
ADB的中点
∴
⌢
AD =
⌢
BD，∴AD = BD
∴AB2 = AD2 + BD2 = 2AD2
∴AC2 + CB2 = 2AD2
又∵CB = CE，AE = AD
∴AC2 + CE2 = 2AE2
∴△ACE是奇异三角形
②由①可得△ACE是奇异三角形
∴AC2 + CE2 = 2AE2
当△ACE是直角三角形时
由（2）得：AC: AE: CE = 1:√2:√3或
AC: AE: CE = √3:√2: 1
当AC: AE: CE = 1:√2:√3时
AC: CE = 1:√3，即AC: CB = 1:√3
∵∠ACB = 90 ∘，∴∠ABC = 30 ∘
∴∠AOC = 2∠ABC = 60 ∘
当AC: AE: CE = √3:√2: 1时
AC: CE = √3: 1，即AC: CB = √3: 1
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
思维突破 / 初二 / 春季
∵∠ACB = 90 ∘，∴∠ABC = 60 ∘
∴∠AOC = 2∠ABC = 120 ∘
∴∠AOC的度数为60 ∘或120 ∘
A：
B：
C：
D：
【答案】
1
已知α是一个锐角，且cos 90 ∘−α
= 0.5，则α的度数是（ ）
30°
45°
60°
90°
A
(
)
A：
B：
C：
D：
【答案】
2
把Rt△ABC的各边都扩大为原来的3倍，得到Rt△A ′B ′C ′，那么锐角∠A和∠A ′满足（ ）
cosA = 3cosA ′
sinA = sinA ′
3tanA = tanA ′
以上都不对
B
A：
B：
C：
D：
3
在Rt△ABC中，∠C = 90 ∘，∠A = 25 ∘，AB = 25，则AC的长为（ ）
25 ⋅sin25 ∘
25
sin25 ∘
25 ⋅cos25 ∘
25 ⋅tan25 ∘
【答案】C
A：
B：
C：
D：
【答案】
4
已知cosα <
1
2
，那么锐角α的取值范围是（ ）
0 ∘< α < 30 ∘
0 ∘< α < 60 ∘
30 ∘< α < 90 ∘
60 ∘< α < 90 ∘
D
A：
B：
C：
D：
【答案】
5
如图，已知∠A = ∠B，AA1，PP1，BB1均垂直于AB1，且AA1 = 17，PP1 = 16，BB1 = 20，
A1B1 = 12，则AP + BP为（ ）
12
13
14
15
B
A：
B：
C：
D：
【答案】
6
在锐角△ABC中，已知sinA + sin(B + C) = 1，则∠A为（ ）
15°
30°
45°
60°
B
A：
7
已知在正三角形ABC中，有一点P，使得AP = 3，BP = 4，CP = 5，则∠APB为（ ）
90°
B：
C：
D：
【答案】
120°
135°
150°
D
A：
B：
C：
D：
【答案】
8
已知二次函数y = ax2 −2ax + c，点A(−2, m)，B(2, n)在此抛物线上，则m，n的大小关系（ ）
不能确定
m < n
m > n
m = n
A
【答案】
9
已知∠A是锐角△ABC的一个内角，若sinA =
√2
2
，则∠A = _________．
45 ∘
【答案】
10
计算：sin30 ∘+
tan60 ∘
cos45 ∘+ tan45 ∘
= ___________．
2√3 −√6 +
1
2
【答案】
11
一个等腰三角形的三边长分别为5，5，6，那么它的顶角的正弦值为__________．
24
25
【答案】
12
如图，已知正方形DEFG内接于边长为1的正三角形ABC，则正方形的边长是________．
2√3 −3
13
如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，那么cos∠BAC = ________．
【答案】4
5
【答案】
14
计算：cos21 ∘+ cos22 ∘+ ⋯+ cos289 ∘= ________．
44.5
15
【答案】
(1)
【答案】
(2)
计算题：
在Rt △ABC中，∠C = 90 ∘，已知c =
2√3
3
，b = 1，求∠A，∠B和a；
∠A = 30 ∘，∠B = 60 ∘，a =
√3
3
在△ABC中，已知a = 1，∠B = 105 ∘，∠C = 30 ∘，求b．
在Rt △BDC中：
BD = asinC =
1
2
，CD = acosC =
√3
2
由题可知∠A = 45 ∘，在Rt △ADB中：
AB =
BD
sinA
=
√2
2
，AD = ABcosA =
1
2
∴b =
1 + √3
2
16
(1)
定义：在平面直角坐标系xOy中，如果将点P绕点T(0, t)（t > 0），旋转180 ∘得到点Q，那么称线段
QP为“拓展带”，点Q为点P的“拓展点”．
如果t > 1，当点M(2, 1)的“拓展点”N在函数y = −
4
x
的图象上时，求t的值；
【答案】
【答案】
(2)
∵T(0, t)（t > 1）
∴点M(2, 1)的“拓展点”N的坐标为(−2, 2t −1)
当点N(−2, 2t −1)在函数y = −
4
x
的图象上时
2t −1 = −
4
−2
，解得t = 1.5，即t的值是1.5
当t = 1时，点Q为点P(2, 0)的“拓展点”，如果抛物线y = (x −m)2 −1与“拓展带”PQ有交
点，求m的取值范围．
∵t = 1，∴T(0, 1)
∵点Q为点P(2, 0)的“拓展点”，∴点Q(−2, 2)
∵抛物线y = (x −m)2 −1与“拓展带”PQ有交点
∴当抛物线过点(2, 0)时，0 = (2 −m)2 −1
得m = 1或m = 3
当抛物线过点(−2, 2)时，2 = (−2 −m)2 −1
得m = −√3 −2或m = √3 −2
即m的取值范围是−2 −√3 ≤m ≤3
17
【答案】
(1)
【答案】
(2)
如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB = cos∠DAC．
求证：AC = BD；
tanB =
AD
BD
，cos∠DAC =
AD
AC
∴AC = BD
若sinC =
12
13
，BC = 12，求AD的长．
设AD = 12x
∴AC = BD = 13x，CD = 5x
故BC = 18x = 12，故x =
2
3
，AD = 12x = 8
18
【答案】
(1)
【答案】
(2)
在△ABC中，BA = BC，∠BAC = α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺
时针旋转2α得到线段PQ．
若α = 60 ∘且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并
写出∠CDB的度数；
∠CDB = 30 ∘
在图2中，点P不与点B ， M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小
（用含α的代数式表示），并加以证明；
∠CDB = 90 ∘−α；如图2，连接AD，PC
∵AB = BC，M是AC的中点
∴BM⊥AC，即BD为AC的垂直平分线
∴AD = CD，AP = PC，PD = PD
在△APD与△CPD中，
AD = CD
PD = PD
PA = PC
∴△ADP≌△CDP
{
【答案】
(3)
∴∠DAP = ∠DCP，∠ADP = ∠CDP
由PC = PQ得：∠PQC = ∠DCP
故∠DAP + ∠DQP = 180 ∘；∠ADQ = 180 ∘−2α
故∠CDB =
1
2
∠ADQ = 90 ∘−α
对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段
CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ = QD，请直接写出α的范围．
45 ∘< α < 60 ∘
【答案】
19
已知：△ABC中，AB = 4√5，tanB =
1
2
，sinC =
4
5
，求BC的长．
过A作AD⊥BC于D
则∠BDA = ∠CDA = 90 ∘
∵tanB =
1
2
，AB = 4√5
∴在Rt△BDA中，tanB =
AD
BD
=
1
2
∴设AD = x，则BD = 2x
由勾股定理得：x2 + (2x)2 =
4√5 2
解得：x = 4，即AD = 4，BD = 8
∵在Rt△ADC中，sinC =
4
5
=
AD
AC
∴
4
AC
=
4
5
，AC = 5，
由勾股定理得：
DC = √AC2 −AD2 = √52 −42 = 3
∴BC = BD + CD = 8 + 3 = 11
(
)
【答案】
20
函数图象上的任意一点P(x, y)，y −x称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最
大值称为该函数的“特征值”．二次函数y = −x2 + bx + c（bc ≠0）交x轴于点A，交y轴于点B，
点A与点B的“坐标差”相等，若此二次函数的“特征值”为−1，当m ≤x ≤m + 3时，此函数的最
大值为−2m，求m．
y = −x2 + bx + c（bc ≠0）交y轴于点B
∴点B(0, c)
点A与点B的“坐标差”相等，∴点A(−c, 0)
∴−(−c)2 + b(−c) + c = 0
∵bc ≠0，∴c + b = 1
∵y = −x2 + bx + c（bc ≠0）“特征值”为−1
即函数y = −x2 + bx + 1 −b −x = −x2 + (b −1)x + (1 −b)的最大值为−1
∴
−4(1 −b) −(b −1)2
−4
= −1，解得b = 3
∴c = −2，∴y = −x2 + 3x −2
∴y = −
x −
3
2
2
+
1
4
∴当m ≤x ≤m + 3时，此函数的最大值为−2m
①若m ≤
3
2
≤m + 3时，则x =
3
2
时
函数的最大值为
1
4
依题意得：−2m =
1
4
，解得m = −
1
8
②若m >
3
2
时，x = m
函数取最大值为：y = −m2 + 3m −2
依题意得：：−m2 + 3m −2 = −2m
解得：m =
5 −√17
2
<
3
2
（舍），m =
5 + √17
2
③若m + 3 <
3
2
，即m < −
3
2
时，x = m + 3
(
)
函数取最大值为：y = −(m + 3)2 + 3(m + 3) −2 = −m2 −3m −2
依题意得：−m2 −3m −2 = −2m，此方程无实数解
综上所述：m = −
1
8
或m =
5 + √17
2
