文档文本内容
1
二次函数与区间最值【题集A】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（5 ）
1.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（5 ）
【解析】
【标注】
已知二次函数
．
若为任意实数，求函数
的最小值；
若
，求函数
的最大值、最小值；
若
，求函数
的最大值、最小值；
若
，求函数
的最大值、最小值；
若为整数，求函数
的最小值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（5 ）
．
最大值为，最小值为．
最小值为
，最大值为.
最大值为
，最小值为．
最小值为．
套用求最值公式：
当
时，的最小值是
．
由图象可知：当
时，函数
随的增大而增大，
当
时，最小，且
，
当
时，最大，且
．
由图象可知：当
时，函数
随的增大而减小，当
时，函数随的增大而增大，
∴当
时，最小，且
．
∵当
时，
；当
时，
，
∴当
时，最大，且
．
由函数图象开口向上，且
，
故当
时，取最大值为
，当
时，取最小值为．
∵函数对称轴为：
，
，又因为为整数，
∴当
时，取最小值为．
【知识点】给定范围求二次函数最值
2
2.
【解析】
【标注】
已知二次函数
( 为常数)，在自变量满足
的情况下，的最小值为
，
则的值为 ．
【答案】
或
∵当
时，随的增大而增大，当
时，随的增大而减小，
∴①若
，
时，取得最小值
，
可得：
，
解得：
或
（舍去）；
②若
，当
时，取得最小值
，
可得：
，
解得：
或
（舍去）．
综上，的值为
或，
故答案为：
或．
【知识点】给定范围求二次函数最值
3.
【解析】
已知函数
在区间
有最大值
，求实数的值．
【答案】
或
．
因为
，
，它的对称轴是直线
，
(1)当
时，即
时，在
随着的增大而减小，
这时，当
时，函数的最大值是
，
∴
，
得
，
∵
，故
．
(2)当
时，即
时，
这时，当
时，函数的最大值是
，
∴
，得
，这与
矛盾．
(3)当
时，即
时，在
随着的增大而增大，
这时，当
时，函数的最大值是
，
，
得
．
3
【标注】
∵
，故
．
故答案为：
或
．
【知识点】定区间动轴函数的最值问题
4.
【解析】
【标注】
已知二次函数
（
为常数），当
时，函数值的最小值为
，则
的值
是 ．
【答案】
或
，
①若
，当
时，
，
解得：
．
②若
，当
时，
，
解得：
（舍）；
③若
，当
时，
，
解得：
或
（舍），
∴
的值为
或
．
【知识点】定区间动轴函数的最值问题
A.
或
B.
或
C.
或
D.
或
5.
【解析】
已知二次函数
（为常数），在自变量的值满足
的情况下，与其对应的
函数值的最小值为，则的值为（ ）．
【答案】B
∵当
时，随的增大而增大，当
时，随的增大而减小，
∴①若
，
时，取得最小值，
可得：
，
解得：
或
（舍）；
②若
，当
时，取得最小值，
可得：
，
解得：
或
（舍）．
③若
，
4
【标注】
∴
时，取得最小值，不为，舍去．
综上，的值为
或．
【知识点】定区间动轴函数的最值问题
6.
【解析】
【标注】
已知函数
在
范围内有最大值
，最小值，在实数的值
为 ．
【答案】 或
配方
，函数的对称轴为直线
，顶点坐标为
．
①当
，即
时，函数最小值为
，不符合题意；
②当
即
时，∵当
时，有最大值，当
时，有最小值，
∴
，解得
；
③当
，即
时，∵当
时，有最小值，当
时，有最大值，
∴
，解得
．∴实数的值为或
．
故答案为或
.
【知识点】利用二次函数解不等式问题
，
A.
或
B.
或
C.
或
D.
或
7.
【解析】
【标注】
已知二次函数
（为常数），在自变量的值满足
的情况下，与其对应
的函数值能最大值为
，则的值为（ ）．
【答案】C
当
时，取时为最大值，
因此
，
解得
（舍），
，
当
时，取时为最大值，（舍），
当
时，取时为最大值，
因此
，
解得
舍，
，
综上，取
和
．
【知识点】二次函数y=a（x-h)^2+k的图象和性质
5
A.
或
B.
或
C.
或
D.
或
8.
【解析】
【标注】
已知二次函数
（为常数），当自变量的值满足
时，与其对应的函数值
的最大值为
，则的值为（ ）．
【答案】B
二次函数
（为常数）的图象开口向下，
顶点为
，函数最大值为．
因为当
时，与其对应的函数值的最大值为
，
故不能取
（含与）间的数．
当
时，函数在
处取得最大值，即
，
解得
或
（不合题意，舍去）；
当
时，函数在
处取得最大值，即
，
解得
或
（不合题意，舍去）．
综上可知，的值为或．
故选．
【知识点】定区间动轴函数的最值问题
A.
或
B.
或
C.
或
D.
或
9.
【解析】
已知二次函数
（为常数），在自变量的值满足
的情况下，与其对应的
函数值的最小值为，则的值为（ ）．
【答案】B
∵当
时，随的增大而增大，当
时，随的增大而减小，
∴①若
，当
时，取得最小值，
可得：
，
解得：
或
（舍）；
②若
，当
时，取得最小值，
可得
，
解得：
或
（舍）．
综上，的值为
或．
故选：．
6
【标注】【知识点】给定范围求二次函数最值
A.
或
B.
或
C.
或
D.
或
10.
【解析】
【标注】
已知
，且
，当为（ ）时，有最小值．
【答案】B
对称轴为
，按照对称轴的位置分类讨论：
（）当
时，
，解得：
或
(舍去)；
（）当
时，
，无解；
（）当
时，
，解得：
或
(舍去)
综上
或，选．
【知识点】二次函数y=a（x-h)^2+k的图象和性质
（
）
（
）
（1 ）
（2 ）
11. 阅读下列材料：
小明在学习中遇到这样一个问题：若
，求二次函数
的最大值．他画图研
究后发现，
和
时的函数值相等，于是他认为需要对
进行分类讨论．
他的解答过程如下：
∵二次函数
的对称轴为直线
，
∴由对称性可知，
和
时的函数值相等．
∴若
，则
时，的最大值为；
若
，则
时，的最大值为
．
请你参考小明的思路，解答下列问题：
当
时，二次函数
的最大值为 ．
若
，求二次函数
的最大值．
7
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
若
时，二次函数
的最大值为
，则的值为 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
若
，的最大值为
，若
，的最大值为
．
或
∵抛物线的对称轴为直线
，
∴当
时，二次函数
的最大值为：
．
∵二次函数
的对称轴为直线
，
∴由对称性可知，当
和
时函数值相等，
∴若
，则当
时，的最大值为
，
若
，则当
时，的最大值为
．
抛物线对称轴为
，
当
，即
时，
与
函数值相等．
时，最大值为：
，
整理得，
，
解得
（舍去），
；
时，最大值为：
，
整理得，
，
解得：
，
（舍去），
所以，的值为或
．
【题型】二次函数给定范围求最值
（1 ）
（2 ）
（3 ）
12. 已知二次函数
（，为常数）．
当
，
时，求二次函数在
上的最小值．
当
时，求二次函数在
上的最小值．
当
时，若在自变量的值满足
的情况下，与其对应的函数值的最小
值为
，求此时二次函数的解析式．
【答案】（1 ）
（2 ）若
，有最小值，
若
，有最小值
，
8
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
（3 ）
若
，有最小值
．
或
当
，
时，二次函数的解析式为
，即
．
∴
在
的范围内，此时二次函数取得最小值
．
的对称轴是
，
①若
，即
时，当
时，有最小值，
②若
，即
时，当
时，有最小值
，
③若
，即
时，当
时，有最小值
．
当
时，二次函数的解析式为
．
它的图像时开口向上，对称轴为
的抛物线，
①若
，即
，
在自变量的值满足
的情况下，与其对应的函数值随的增大而增大，
∴当
时，
为最小值．
∴
，解得
（舍），
．
②若
，即
，
当
时，代入得
为最小值．
∴
，解得
（舍），
（舍）．
③若
，即
，
在自变量的值满足
的情况下，与其对应的函数值随的增大而减小，
∴当
时，代入得
为最小值．
∴
，解得
（舍），
．
综上所述，
或
．
∴此时二次函数的解析式为
或
．
【知识点】二次函数一般式
【思想】分类讨论思想
