文档文本内容
1
与圆有关的计算 题集【B】
1. 不规则图形求面积
基础面积计算
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
【标注】
如图，一块直径为
的圆形卡纸，从中挖去直径分别为、的两个圆，则剩下的卡纸的面积为
（ ）．
【答案】C
由题意得：剩下的卡纸的面积为：
，
故选：．
【思想】数形结合思想
【知识点】扇形的面积公式
【知识点】与圆有关的不规则图形的周长与面积计算
【能力】运算能力
2. 两同心圆的圆心为
，大圆半径为，小圆半径为，大圆的直径与小圆相交于
、
两点，分别以
、
为圆心、以为半径作半圆（如图所示），则阴影部分面积为 平方单位．
2
【标注】
【答案】
【知识点】与圆有关的不规则图形的周长与面积计算
【能力】运算能力
3.
【解析】
【标注】
如图，大半圆
和小半圆
相切于
，大半圆的弦
与小半圆相切于
，且
，
，
则阴影部分的面积为 ．
【答案】
∵
，
与⊙
相切，
∴
，
∴
．
【知识点】勾股定理与实际问题
【知识点】切线的性质定理
【知识点】圆与勾股
【知识点】扇形的面积公式
阴影
4. 如图，在扇形
中，
，
，将扇形
绕点
逆时针旋转
后得到扇形
，当点
在弧
上时，为 ，图中阴影部分的面积为 ．
3
【解析】
【标注】
【答案】
;
连接
，
，
，
由题意可知，
，故
为等边三角形，
∴
．
在
中，
，
．
．
【知识点】扇形的面积公式
阴
扇形
（1 ）
（2 ）
5.
（1 ）
【解析】
已知：如图，有一块含
的直角三角板
的直角边长
的长恰与另一块等腰直角三角板
的斜边
的长相等，把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且
．
若双曲线的一个分支恰好经过点
，求双曲线的解析式．
若把含
的直角三角板绕点
按顺时针方向旋转后，斜边
恰好与轴重叠，点
落在点
，试求图中阴影部分的面积（结果保留）．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
在
中，
，
，
，
4
（2 ）
【标注】
∴
．
∴点
．
设双曲线的解析式为
（
）．
∴
，
解得
．
则双曲线的解析式为
．
在
中，
，
，
，
，
∴
．
由题意得：
，
．
在
中，
，
，
∴
．
∴
．
∴
．
【知识点】反比例函数与圆综合
扇形
阴影
扇形
A.
B.
C.
D.
6.
【解析】
如图，
中，
，
，
，
、
分别为边
，
的中
点，将
绕点
顺时针旋转
到
的位置，则整个旋转过程中线段
所扫过部分的
面积（即阴影部分面积）为（ ）．
【答案】C
连接
，
，
∵
、
分别为边
，
的中点，
5
【标注】
将
绕点
顺时针旋转
到
的位置，
∴
≌
，
利用勾股定理可求得
，
所以利用扇形面积公式可得
．
故选．
【知识点】扇形的面积公式
A.
B.
C.
D.
7.
【解析】
【标注】
如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为
、
、
，则
、
、
的关系是（
）．
【答案】A
设三个半圆的直径分别为：
、
、
，
，
，
.
由勾股定理可得：
，
，
所以
、
、
的关系是：
.
故选
．
【知识点】圆与勾股
8. 如图，在扇形
中，
，半径
．将扇形
沿过点
的直线折叠．点
恰好
落在圆弧上点
处，折痕交
于点
，整个阴影部分的面积为（ ）．
6
A.
B.
C.
D.
【解析】
【标注】
【答案】D
连接
交
于点
．
扇形的面积
，
∵点
与点
关于
对称，
∴
，
．
在
中，
，
∴
．
在
中，
，
∴
．
∴
．
∴
的面积
．
阴影部分的面积
扇形面积
倍的
的面积
．
【知识点】扇形的面积公式
9.
【解析】
如图，在正方形
内有一折线，其中
，
，并且
，
，
．则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
连接
，
7
【标注】
∵
，
，
∴
，
∵
（ 对顶角相等），
∴
，
∴
∵
，
，
∴
，
∴
，
，在
中，
，在
中，
，
∴
，在
中，
，
∴
，圆的面积为：
，
∴ 正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为：
．
【知识点】扇形的面积公式
【知识点】相似三角形的性质
【知识点】相似三角形的判定-两角对应相等
【知识点】勾股定理
【知识点】直接用勾股求边长
【知识点】正方形的性质
【能力】推理论证能力
【思想】数形结合思想
10.
【解析】
如图，
是直角边长为的等腰直角三角形，直角边
是半圆
的直径，半圆
过点
且与
半圆
相切，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
连接
，
，
，
设半圆
的半径是，根据勾股定理，得
8
【标注】
，
解得：
，
∵
是等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
【知识点】与圆有关的不规则图形的周长与面积计算
阴影
A
C
B
11.
【解析】
【标注】
已知三角形
是直角三角形，
厘米，
厘米，求阴影部分的面积（
）．
【答案】
．
（平方厘米）
【知识点】与圆有关的不规则图形的周长与面积计算
【能力】运算能力
阴影
大半圆
小半圆
12. 如图，
中，
，
，
，以
的中点
为圆心，
长为半径
作
圆
．设
，当变化时图中阴影部分的面积为 ．
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【解析】
【标注】
【答案】
∵
，
，且
的中点为
，
∴
,
，
∵
长为半径作
圆
，
∴
,
又∵
，
∴
，
又∵
，
图中阴影部分的面积为
圆
与
之差，
∴阴影部分面积为
．
【知识点】扇形的面积公式
【知识点】与圆有关的不规则图形的周长与面积计算
（1 ）
（2 ）
13. 请回答下列各题：
如图，边长为
与
的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个顶点
为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积是
（取）．
如图，有三个正方形的顶点
、
、
恰好在同一条直线上，其中正方形
的边长为
，求阴影部分的面积．
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（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
连接
，
，则
．
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
连接
，
，
，如图，则
，
∴
，
，
∴
．
【知识点】与圆有关的不规则图形的周长与面积计算
【知识点】判断三角形的高，中线和角平分线
阴影
扇
2. 动点问题
11
网格作图类
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
如图，在边长为的正方形组成的网格中，
的顶点均在格点上，其中点
，
，将
绕点
逆时针旋转
后得到
．
画出
．
在旋转过程中点
所经过的路径长为 ．
求在旋转过程中线段
、
扫过的图形的面积之和．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
画图见解析．
．
如图所示．
由勾股定理得，
，
所以，点
所经过的路径长
．
由勾股定理得，
，
∵
所扫过的面积
，
扫过的面积
，
∴线段
、
扫过的图形的面积之和
，
，
扇形
扇形
扇形
扇形
扇形
扇形
扇形
扇形
12
【标注】
．
【知识点】旋转的性质
【知识点】旋转性质综合应用
【知识点】扇形的面积公式
【知识点】弧长公式
【知识点】坐标系中的旋转
【能力】推理论证能力
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
【解析】
如图，矩形
和平行四边形
，
．
x
y
O
画出矩形
绕点
逆时针旋转
后的矩形
，并写出
的坐标为 ，点
运动到点
所经过的路径的长为 ．
若点
的坐标为
，则点
的坐标 ，请画一条直线平分矩形
与平行四边形
组成图形的面积（保留必要的画图痕迹）．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析，
的坐标为：
，
点
运动到点
所经过的路径的长为
．
，画图见解析．
如图所示：
x
y
O
的坐标为：
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴点
运动到点
所经过的路径的长为：
．
13
（2 ）
【标注】
如图所示：直线即为所求．
x
y
O
∵四边形
是平行四边形，点
的坐标为
，
∴
，则
．
【知识点】作出旋转后的图形
多边形滚动问题
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
如图，正方形
的边长为，以
为圆心，
为直径的半圆经过点
，连接
，
相交于点
，将正方形
从
与
重合的位置开始，绕着点
逆时针旋转
，交点
运动的路径长是
（ ）．
【答案】B
如图，连接
，
∵
是正方形，
∴
，
∴
，
∵
是直径，
∴
，
∴
，
∴
，
∴点
在与
为圆心的圆上，点
的运动轨迹是
，
在⊙
上取一点
，连接
、
、
、
，
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【标注】
则
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
运动的路径长
．
【能力】推理论证能力
【知识点】正方形的性质
【知识点】旋转的性质
【知识点】旋转性质综合应用
【知识点】弧长公式
【知识点】圆周角定理以及应用
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
【标注】
如图，在平面直角坐标系
中，点
的坐标为
，等边三角形
经过平移或轴对称或旋
转都可以得到
．
沿轴向右平移得到
，则平移的距离是 个单位长度．
与
关于直线对称，则对称轴是 ．
绕原点
顺时针旋转可以得到
，则旋转角度是 度，在此旋转过程中，
扫过的图形的面积是 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
轴
;
【知识点】坐标系中的对称-图形的对称
【知识点】坐标系中的平移-图形的平移
【知识点】坐标系中的旋转
【知识点】扇形的面积公式
【知识点】平移的性质
15
【知识点】平移的定义
【知识点】旋转的性质
【知识点】轴对称的定义
【思想】数形结合思想
3.
【解析】
【标注】
如图所示，长为
，宽为
的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点
位置变化为
，由
翻滚到
时被桌面上一小木块挡住，此时长方形木板的边
与
桌面成
角，则点
翻滚到
位置时所经过的路径总长度为
．
【答案】
由
路径为
，由
路径为
，因此由
总路径为
．
【知识点】弧长公式
（1 ）
（2 ）
4. 如图所示，在平面直角坐标系
中，正方形
的边长为，将其沿轴的正方向连续滚动，即
先以顶点
为旋转中心将正方形
顺时针旋转
得到第二个正方形，再以顶点
为旋转中心将
第二个正方形顺时针旋转
得到第三个正方形，依此方法继续滚动下去得到第四个正方
形，．．．，第个正方形．设滚动过程中的点
的坐标为
．
画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形中的点
的坐标．
画出点
运动的曲线（
），并直接写出该曲线与轴所围成区域的面积．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析，第三个正方形中的点
的坐标为
．
点
运动的轨迹与轴所围成区域的面积等于
．
16
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
第三个和第四个正方形的位置如图所示，第三个正方形中的点
的坐标为
．
点
运动的曲线（
）如图所示．
它与轴所围成区域的面积等于
．
【知识点】扇形的面积公式
【知识点】坐标系中的旋转-图形关于特殊点的旋转
【知识点】旋转的性质
【能力】运算能力
5.
【解析】
【标注】
如图，在矩形
中，已知
，
，矩形在直线上绕其右下角的顶点
向右旋转
至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转
至图②位置，
，依次类推，这样连续旋转
次后，顶点
在整个旋转过程中所经过的路程之和是 ．
【答案】
，
，
，
转动一次
的路线长是：
，
转动第二次的路线长是：
，
转动第三次的路线长是：
，
转动第四次的路线长是：，
以此类推，每四次循环，
故顶点
转动四次经过的路线长为：
，
余，
顶点
转动四次经过的路线长为：
．
故答案为：
．
【知识点】数列找规律-具有周期规律的数列
17
6.
【解析】
【标注】
在
中，
，
．将其放入平面直角坐标系，使
点与原点重合，
在轴上，
沿轴顺时针无滑动的滚动，点
再次落在轴时停止滚动，则点
经过的路线与
轴围成图形的面积为 ．
【答案】
∵
，
，
∴
；
根据题意得：
绕点
顺时针旋转
，
落在轴上，
再绕点
顺时针旋转
，
落在轴上，停止滚动，
∴点
的运动轨迹是：先绕点
旋转
，再绕点
旋转
，
∴点
经过的路线与轴围成的图形是：一个圆心角为
，半径为
的扇形，加上
，再
加上圆心角是
，半径是的扇形．
∴点
经过的路线与轴围成图形的面积
．
【知识点】旋转的性质
