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【中位线的应用及构造】题集【A】
知识回顾
中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
如图，在
中，
、
分别是
、
的中点，连接
，则
即为
的中位线．
【注意】三角形的中位线与中线不一样，中线是连接三角形的顶点与其对边中点的线段．
中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
如图，
，
．
【总结】：
三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关系，二是数量上的倍分关系
因此，当题目中给出三角形两边的中点时，可以直接连出中位线；
当题目中给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点，作出三角形的中位线
已知三角形两边中点，连接构造中位线
A.
B.
C.
D.
1. 如图，矩形
中，
，
，点
是
边上任意一点，
，
，
分别是
，
，
的中点，则
的长为（ ）．
2
【解析】
【标注】
【答案】B
连接
，
∵四边形
是矩形，
∴
，
，
∵
是
的中点，
∴
，
由勾股定理得，
，
∵
、
分别是
、
的中点，
∴
是
的中位线，
∴
．
故选：．
【知识点】矩形的性质
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
如图，在四边形
中，点
，
分别是边
，
的中点，连
，若
，
，且
，则
的长为（ ）．
【答案】B
连接
，
∵点
，
分别是边
，
的中点，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
故选．
3
【标注】【知识点】直接用勾股求边长
3.
【解析】
【标注】
如图，矩形
中，
，
，
为
的中点，
为
边上任意一点，
，
分别
为
，
的中点，求
的长．
【答案】．
如图，连接
．
∵
为
中点，
，
∴
．
∵四边形
是矩形，
∴
．
在
中，
，依据勾股定理得
，
∴
．
∵
，
分别为
，
的中点，
∴
．
【知识点】中位线定理及其应用
4.
4
【解析】
【标注】
如图所示，在四边形
中，
，
、
分别是
、
的中点，
、
分别是
、
的中点，猜一猜
与
的位置关系，并证明你的结论．
【答案】证明见解析．
如图所示，连接
、
、
、
，
∵
、
分别是
、
的中点，
、
分别是
、
的中点，
∴
，
．
又∵
，
∴
．
∵
，
，
∴
，同理
．
∴四边形
是平行四边形，
∵
，
∴四边形
是菱形．
∴
．
【知识点】构造中位线
已知角分线+垂直构造等腰出中位线
1. 如图，
是
的边
的中点，
平分
，
于点
，且
，
，
，则
的周长为 ．
【答案】
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【解析】
【标注】
如图，延长
交
于点
，
∵
平分
，
，
∴
，
，
又
是
的中点，
∴
，
，
∴
的周长
．
【知识点】三角形中位线定理
2.
【解析】
【标注】
如图，在
中，
，
，
平分
，
于点
，
的延长
线交
于点
，
为
的中点，则
．
【答案】
∵
平分
，
，
∴
，
，
∴
∵
，
为
的中点，
∴
，
故答案为：．
【知识点】中位线定理及其应用
6
A.
B.
C.
D.
3.
【解析】
【标注】
如图，在
中，点
在
上，
，
于点
，
是
的中点，连接
，
若
，
，则
的长为（ ）．
【答案】C
∵
，
于点
，
∴
．
∵
是
的中点，
∴
．
∴
是三角形
的中位线，
∴
．
∵
，
，
∴
．
∴
．
【知识点】中位线定理及其应用
A.
B.
C.
D.
4.
【解析】
如图所示，在
中，
是
的中点，
平分
，
．若
，
，则
的长为（ ）．
【答案】B
延长
交
于点
，如图，
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【标注】
∵
，
，
，
∴
≌
，
∴
，
是
的中点，
∴
是
的中位线，
∴
，
∵
，
，
∴
．
故选：．
【知识点】中位线定理及其应用
为等线段构造三角形出中位线
1.
【解析】
如图，四边形
中，点
是对角线
的中点，点
，
分别是
，
的中点，
，
，则
的度数是 ．
【答案】
在
中，∵
，
是
和
的中点，
∴
且
，
在
中，∵
，
是
和
的中点，
∴
且
，
∵
，
∴
，
∴
．
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【标注】【知识点】中位线定理及其应用
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
【标注】
如图，在四边形
中，已知
，
、
、
分别是
、
、
的中点，
，
，则
的度数为（ ）．
【答案】D
由题意可得：
∵
、
、
分别是
、
、
的中点，
∴
，
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
故选
．
【知识点】三角形中位线定理；三角形的倒角问题
3.
【解析】
如图，在
中，
，
点在
上，
，
、
分别是
、
的中点，连结
并延长，与
的延长线交于点
，若
，连接
，判断
的形状并证明．
【答案】
是直角三角形．
如图连接
，取
的中点
，联结
、
，
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【标注】
∵
是
的中点，
∵
，
，
∴
．
同理，
，
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
是等边三角形．
∴
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
即
是直角三角形．
【知识点】直角三角形的判定
已知一边中点，取另一边中点构造中位线
如图，四边形
中，
，点
、
分别为边
、
的中点．若四边形
的面积
为
，
，则
的长为（ ）．
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A.
B.
C.
D.
【解析】
【标注】
【答案】A
取
中点
，连接
、
，
∵
和
分别为中位线，
∴
，
，
，
．
∵
，
∴
，
∵
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
．
【知识点】构造中位线
四边形
