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1
中点四边形综合 题集【B】
中点四边形的证明：
对角线特征
图形
证明
中点四边形
特殊性
平行四边形
互相平分
平行四边形
矩形
对角线相等
先是平行四边形，
再
推
出
或
其他
菱形
菱形
对角线垂直
先是平行四边形，
再
推出
或其他
矩形
正方形
对角线
既相等
又垂直
先是平行四边形，
再
、
推出
、
或其他
正方形
【总结归纳】：
所有四边形的中点四边形一定是平行四边形，在此基础上：
（1）若原四边形的对角线相等，则中点四边形就是菱形
（2）若原四边形的对角线垂直，则中点四边形就是矩形
（3）若原四边形的对角线既垂直又相等，则中点四边形就是正方形
（4）若原四边形的对角线既不垂直又不相等，则中点四边形就只能是平行四边形了
1. 如图，任意四边形
中，
，
，
，
分别是
，
，
，
上的点，对于四边形
的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（
）．
2
A
B
C
D
H
E
F
G
A.
B.
C.
D.
【解析】
【标注】
当
，
，
，
是各边中点，且
时，四边形
为菱形
当
，
，
，
是各边中点，且
时，四边形
为矩形
当
，
，
，
不是各边中点时，四边形
可以为平行四边形
当
，
，
，
不是各边中点时，四边形
不可能为菱形
【答案】D
．当
，
，
，
是四边形
各边中点，且
时，存在
，故四边形
为菱形，故
正确．
．当
，
，
，
是四边形
各边中点，且
时，存在
，故四边形
为矩形，故正确．
．如图所示，当
，
，
，
不是四边形
各边中点时，若
，
，则
四边形
为平行四边形，故正确．
．如图所示，当
，
，
，
不是四边形
各边中点时，若
，
则四边形
为菱形，故
错误．
故选
．
【知识点】中点四边形
3
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
如图，四边形
中，
、
、
、
分别是
、
、
、
的中点．
A
B
C
D
E
F
G
H
判断四边形
是何种特殊的四边形，并说明你的理由．
要使四边形
是菱形，四边形
还应满足的一个条件是 ．
要使四边形
是矩形，四边形
还应满足的一个条件是 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
四边形
为平行四边形，理由见解析
四边形
为平行四边形，
证明：在
中，
、
为
、
中点，
∴
为
的中位线，
∴
，
．
在
中，
、
为
、
中点，
∴
为
的中位线，
∴
，
，
∴
，
，
∴四边形
为平行四边形．
条件为：
，
在
中，
、
为
、
中点，
∴
，
．
由（）可知，
，四边形
为平行四边形，
∵
，
∴
，
∴四边形
是菱形．
条件为
，
在
中，
、
为
、
中点，
∴
，
，
4
【标注】
由（）可知，
，四边形
为平行四边形．
∵
，
∴
，
∴四边形
为矩形．
【知识点】矩形的判定-从平行四边形
（1 ）
1
2
3
（2 ）
3.
（1 ）
【解析】
我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．如图，
、
、
、
分别
是四边形
各边的中点．
求证：四边形
是平行四边形．
如果我们对四边形
的对角线
与
添加一定的条件，则可使四边形
成为特
殊的平行四边形，请你经过探究后直接填写答案：
当
时，四边形
为 ．
当
时，四边形
为矩形．
当
且
时，四边形
为 ．
【答案】（1 ）
1
2
3
（2 ）
证明见解析．
菱形
正方形
连接
、
，
因为
、
，分别为
、
的中点，
所以
，
同理
，
5
1
2
3
（2 ）
【标注】
所以
，
同理可知
．
于是四边形
是平行四边形．
由于对角线相等，
因为
，
，分别为
、
的中点，
所以
，
同理
，
所以
；
同理可知
，
．
又因为
，
所以
，
又因为是四边形
是平行四边形．
所以四边形
为菱形．
由于四边形
是平行四边形．
当
时，
，
故四边形
为矩形．
由于四边形
是平行四边形，
当
时，
，
故四边形
为矩形；
时，
四边形
为正方形．
【知识点】中位线定理及其应用
4. 已知：如图，四边形
四条边上的中点分别为
、
、
、
，顺次连接
、
、
、
，得到四边形
（即四边形
的中点四边形）．
6
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
四边形
的形状是 ，证明你的结论．
当四边形
的对角线满足 条件时，四边形
是矩形．
你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
平行四边形
互相垂直
菱形的中点四边形是矩形．
四边形
的形状是平行四边形．
理由：如图，连接
．
∵
、
分别是
、
中点，
∴
，
，
同理
，
，
∴
，
，
∴四边形
的形状是平行四边形．
当四边形
的对角线满足互相垂直的条件时，四边形
是矩形
．
理由：如图，连接
、
，
∵
、
、
、
分别是四边形
四条边上的中点，
7
（3 ）
【标注】
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
又∵四边形
是平行四边形，
∴平行四边形
是矩形．
菱形的中点四边形是矩形．
理由：如图，连接
、
，
∵
、
、
、
分别是四边形
四条边上的中点，
∴
，
，
，
，
，
∴
，
，
∴四边形
的形状是平行四边形,
∵四边形
是菱形，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴平行四边形
是矩形．
【知识点】中点四边形
（1 ）
5. 如图，点
、
、
、
分别为线段
、
、
、
的中点．
求证：四边形
是平行四边形．
8
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，若点
为
的中点，
，求证：
．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
∵
是
的中点，
是
的中点，
∴
是
的中位线，
∴
，
，
同理得：
是
的中位线，
∴
，
，
∴
，
，
∴四边形
是平行四边形．
∵
，
∴设
，
，
，
∴
，
，
∵四边形
是平行四边形，
∴
，
∴
，
∴
，
∵点
为
的中点，
∴
，
∴
．
【知识点】平行四边形性质综合应用
6. 如图，四边形
中，点
、
、
、
分别是边
、
、
、
的中点，顺次连接
、
、
、
，得到的四边形
叫中点四边形．
9
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
【解析】
求证：四边形
是平行四边形．
如图，当四边形
变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：
当四边形
变成平行四边形时，它的中点四边形是 ．
当四边形
变成矩形时，它的中点四边形是 ．
当四边形
变成菱形时，它的中点四边形是 ．
当四边形
变成正方形时，它的中点四边形是 ．
根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
平行四边形 ; 菱形 ; 矩形 ; 正方形
中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系决定的．
连接
．
∵
、
分别是
、
的中点，
∴
是
的中位线．
∴
，
．
同理得
，
．
∴
，
．
∴四边形
是平行四边形．
10
（2 ）
（3 ）
【标注】
填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形．
中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系决定的．
【知识点】中位线定理及其应用
图
（1 ）
（2 ）
（3 ）
7.
（1 ）
【解析】
我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
如图，四边形
中，点
，
，
，
分别为边
，
，
，
的中点．则中点
四边形
是 形．
如图，点
是四边形
内一点，且满足
，
，
，
点
，
，
，
分别为边
，
，
，
的中点，试猜想中点四边形
的形状并
证明．
图
若改变（）中的条件，使
，其他条件不变，直接写出中点四边形
的形状是 形．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
平行四边
四边形
是菱形，证明见解析．
正方
如图中，连接
，
11
图
（2 ）
（3 ）
图
∵点
，
分别为边
，
的中点，
∴
，
，
∵点
，
分别为
，
的中点，
∴
，
，
∴
，
，
∴中点四边形
是平行四边形．
如图，连接
，
，
∵
，
∴
，即
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
点
，
，
分别为边
，
，
的中点，
∴
，
，
∵四边形
是平行四边形，
∴四边形
是菱形．
如图中，设
与
交于点
，
图
与
交于点
，
与
交于点
，
∵
≌
，
∴
，
∵
，
12
【标注】
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴四边形
是菱形，
∴四边形
是正方形．
【知识点】中点四边形
（1 ）
1
2
（2 ）
（3 ）
（4 ）
8. 如图，四边形
中，
、
、
、
分别是
、
、
、
的中点，我们称四边形
为四边形
的中点四边形．
求证：中点四边形
为平行四边形．
试猜想：（直接写出关系，不必证明）
中点四边形
的周长与四边形
的对角线有什么关系？
中点四边形
的面积与四边形
的面积又有什么关系？
试猜想：当四边形
的对角线
具备什么条件时，中点四边形
分别为矩
形、菱形、正方形？请完成下表．
对角线
、
的关系
四边形
的形状
矩形
菱形
正方形
根据上述研究结论，请完成下列问题：
平行四边形的中点四边形是 ；
矩形的中点四边形是 ；
菱形的中点四边形是 ；
正方形的中点四边形是 ．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
证明见解析．
．
．
13
方法一：
方法二：
方法三：
（1 ）
1
2
（2 ）
【解析】
（3 ）
（4 ）
垂直 ; 相等 ; 垂直且相等
平行四边形 ; 菱形 ; 矩形 ; 正方形
如图，连接
，
∵
、
、
分别是
、
、
、
的中点，
∴
、
是
和
的中位线，
∴
，
，
∴可得
且
，
∴四边形
为平行四边形．
连接
、
，
由中位线定理可知
，
，
∴四边形
为平行四边形．
连接
、
，
由
，
，
可得四边形
为平行四边形．
14
（3 ）
（4 ）
【标注】【知识点】中点类综合计算与证明
