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1
【中位线的应用及构造】题集【B】
知识回顾
中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
如图，在
中，
、
分别是
、
的中点，连接
，则
即为
的中位线．
【注意】三角形的中位线与中线不一样，中线是连接三角形的顶点与其对边中点的线段．
中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
如图，
，
．
【总结】：
三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关系，二是数量上的倍分关系
因此，当题目中给出三角形两边的中点时，可以直接连出中位线；
当题目中给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点，作出三角形的中位线
已知三角形两边中点，连接构造中位线
1. 如图，四边形
中，
，
，
，点
，
分别为线段
，
上的
动点（含端点，但点
不与点
重合），点
，
分别是
，
的中点，则
长度的最大值
为 ．
2
【解析】
【标注】
【答案】
如图，连接
，
∵
，
，
∴
，
当点
与点
重合时，
的值最大即
最大，
在
中，
∵
，
，
，
∴
，
∴
的最大值
．
【知识点】中位线定理及其应用
2.
【解析】
如图所示，已知四边形
，
，
，
，
、
分别是
、
上的动点，
、
分别是
、
的中点．若
，
，则
的取值范围
是 ．
【答案】
连接
，过点
作
于
，
∴
，
，
，
∴
，
∵
，
3
【标注】
当
与
点重合时，
有最大值，
当
时，
有最小值．
【知识点】中点类综合计算与证明
3.
【解析】
如图：
，
，
，
、
、
、
分别为
、
、
、
的中点．求证：四边形
为正方形．
【答案】证明见解析．
连接
、
，
∵
、
分别为
、
中点，
∴
为
的中位线，则
，且
，
同理可得：
，且
，
，
，
∴四边形
为平行四边形，
∵
，
，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
，
4
【标注】
∴四边形
为菱形，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴四边形
为正方形．
【知识点】正方形的判定
已知角分线+垂直构造等腰出中位线
1.
【解析】
如图，
中，
，
，
、
分别是其角平分线和中线，过点
作
于
，交
于
，连接
，则线段
的长为 ．
【答案】
法一：∵
是其角平分线，
于
，
∴
是等腰三角形，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∵
是中线，
∴
，
∴
为
的中位线，
∴
．
法二：
5
【标注】
∵
是
的平分线，
∴
，
∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
是
的中点，
又∵点
是
的中点，
∴
是
的中位线，
∴
．
故答案为：
．
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
如图，
的周长为
，点
、
都在边
上，
的平分线垂直于
，垂足为
，
的平分线垂直于
，垂足为
，连接
，若
，则
的长为（ ）．
【答案】A
∵
的周长
，
∴
．
∵
平分
，且
，在
和
中，
∴
≌
，
6
【标注】
∴
，
．
同理，
，
．
∴
的周长，即
，
∴
．
在
中
，
，
∴
是
的中位线，
∴
．故选
【知识点】角分线性质定理
3.
【解析】
如图，在
中，
，
，
是角平分线，
于
，
于
，
，
，则
的长为 ．
【答案】
延长
交
于
，延长
交
于
，
∵
，
是角平分线，
于
，
于
，
∴易证
≌
，
≌
，
∴
，
，
∴
为
的中位线，
∴
，
又∵
，
，
，
∴
，
∴
．
7
【标注】【知识点】中位线定理及其应用
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4. 回答下列问题：
如图，
、
分别是
的外角平分线，过点
作
、
，垂足分别为
、
，连接
．求证：
，
．
图
如图，
、
分别是
的内角平分线，其他条件不变．
、
还平行吗？
与
三边又有怎样的数量关系？ 请你写出猜测，并给予证明．
图
如图，
为
的内角平分线，
为
的外角平分线，其他条件不变，则
、
还平行吗？
与
三边又有怎样的数量关系？ 请你写出猜测，并给予证明．
图
【答案】（1 ）证明见解析．
8
（1 ）
（2 ）
【解析】
（2 ）
（3 ）
，
，证明见解析．
，
，证明见解析．
如图，
图
分别延长
、
交
于
、
，
在
和
中，
∵
，
∴
≌
，
∴
，
，
同理可证，
，
，
∴
，
又∵
，
∴
．
猜想结果：图结论为：
，
．证明如下：
图
分别延长
、
交
于
、
，
在
和
中，
∵
，
∴
≌
，
∴
，
，
同理可证，
，
，
∴
，
，
9
（3 ）
【标注】
又∵
，
∴
．
图的结论为
，
．证明如下：
图
分别延长
、
交
的延长线于
、
，
在
和
中,
∵
，
∴
≌
，
∴
，
，
同理可证，
，
，
∴
，
．
又∵
．
∴
．
【能力】分析和解决问题能力
【能力】推理论证能力
【知识点】角分线性质定理
【知识点】三角形的中位线
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
为等线段构造三角形出中位线
如图，在四边形
中，
，
、
分别是
、
的中点，连接
并延长，分别与
、
的延长线交于点
、
，则
（不需证明）．
（温馨提示：在图中，连接
，取
的中点
，连接
、
，根据三角形中位线定理，证明
，从而
，再利用平行线性质，可证得
．）
10
（1 ）
（2 ）
（1 ）
【解析】
图
如图，在四边形
中，
与
相交于点
，
，
、
分别是
、
的
中点，连接
，分别交
、
于点
、
，判断
的形状，请直接写出结论．
图
如图，在
中，
，
点在
上，
，
、
分别是
、
的中
点，连接
并延长，与
的延长线交于点
，若
，连接
，判断
的
形状并证明．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
等腰三角形，证明见解析．
直角三角形，证明见解析．
等腰三角形；证明如下：
11
（2 ）
取
中点
，连结
，
，
可知
，
，
∴
，
同理
，
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
为等腰三角形．
直角三角形，证明如下：
如图连结
，取
的中点
，连结
、
，
∵
是
的中点，
∴
，
，
∴
．
同理，
，
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
是等边三角形．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
即
是直角三角形．
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【标注】【知识点】构造中位线
已知一边中点，取另一边中点构造中位线
1.
【解析】
【标注】
在四边形
中，对角线
且
、
，
、
分别是边
、
的中点，则
．
【答案】
如图，取
的中点
，连接
、
，
∵
、
分别是边
、
的中点，
∴
且
，
且
，
∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】构造中位线
2.
【解析】
已知四边形
中，
，
、
分别是
、
的中点，
交
于
；
交
于
，
和
交于
点．求证：
．
【答案】证明见解析．
取
中点
，连接
、
．
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【标注】
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】中位线定理及其应用
3.
【解析】
四边形
中，
，
、
分别为
、
的中点，求证：
．
【答案】证明见解析．
取
中点
，连接
、
，
则
、
分别为
和
中位线，
即
，
，
且
，
，
∵
，
∴
为直角三角形，
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【标注】
，
故
．
【知识点】三角形的中位线
【知识点】勾股定理的证明
【能力】推理论证能力
4.
【解析】
【标注】
在
中，
，
，以
为底作等腰直角
，
是
的中点．求
证：
且
．
【答案】证明见解析．
过
作
交
于
，
，
∵
，
∴
，
又∵
，
，
，
∴
，
，
∴
≌
，
∴
，
又∵
，
∴
，
故
，
∴
且
．
【知识点】SAS
