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二次函数章节复习：新定义【题集C1】
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
1
2
（1 ）
【解析】
定义：若两条抛物线的对称轴相同则称这两条抛物线为同轴抛物线．
下列关于抛物线的两个命题：
若
，则抛物线
与抛物线
为同轴抛
物线．
若抛物线
与抛物线
为同轴抛物线，则
，
判断上述命题是否是真命题？若是真命题，请说明理由；若是假命题，请举一个反
例．
如图，抛物线：
与抛物线：
是同轴抛物线，顶点分别为
，
，过点
作直线
轴，交抛物线于
，
两点，且
，求的表达
式．
对于抛物线：
上任意一点
，都有点
在抛物线
上，试说明抛物线与抛物线是同轴抛物线．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
假命题，理由见解析．
假命题，理由见解析．
．
证明见解析．
假命题，
理由：当
时，显然
不是抛物线．
假命题，
理由：①当两个抛物线的对称轴是轴时，
，式子
没意义；
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（2 ）
（3 ）
②当两个抛物线的对称轴不是轴时，
，
抛物线
，
∴此抛物线的对称轴为
，
∵抛物线
，
∴此抛物线的对称轴为
，
∵抛物线
与抛物线
为同轴抛物线．
∴
，
∴
；
∵抛物线：
，
∴抛物线的对称轴为
，顶点
坐标为
，
∵抛物线：
与抛物线：
是同轴抛物线，
∴抛物线：
的对称轴为
，
∴
，
∴
，抛物线的顶点
∵
轴，
，
∴
，
，
∴
，
当
时，有
，
∴
，
∴
，
∴
（舍）或
，
∴
，
∴的表达式为
．
∵抛物线：
上任意一点
，
∴当
时，
，
∴
，
，
∴
，
当
时，
，
∴
，
，
∴
，
当
时，
，
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【标注】
∴
，
，
∴
，
∵
，
，
在抛物线上，
设抛物线的解析式为
，
∴
，
∴
，
∴抛物线的解析式为
，
∴抛物线的对称轴为
，
∵抛物线：
的对称轴为
，
∴抛物线与抛物线是同轴抛物线．
【知识点】与函数有关的新定义
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
对于二次函数
和一次函数
，把
称为这两个函数的“再生二次函数”，其中是不为零的实
数，其图象记作抛物线
．现有点
和抛物线
上的点
，请完成：
当
时，求抛物线
的顶点坐标．
判断点
是否在抛物线
上，并求出的值．
通过（）演算可知，对于取任何不为零的实数，抛物线
总过定点，写出定点坐标．
二次函数
是二次函数
和一次函数
的一个
“再生二次函数”吗？如果是，求出的值．如果不是，说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
．
．
抛物线
必过定点
、
．
不是．
将
代入抛物线
中，得：
，
∴此时抛物线的顶点坐标为：
．
点
在抛物线
上，理由如下：
∵将
代入
，得
，
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（3 ）
（4 ）
【标注】
∴点
在抛物线
上．
∵点
在抛物线
上，∴将
代入抛物线
的解析式中，得：
．
∵将抛物线
的解析式展开，得：
．
∴抛物线
必过定点
、
．
不是．
∵将
代入
，得
，
∴二次函数
的图象不经过点
．
∴二次函数
不是二次函数
和一次函数
的
一个“再生二次函数”．
【知识点】与函数有关的新定义
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
设二次函数
，
的图象的顶点分别为
、
，当
，
，且开口方向相同时，
则称
是
的“反倍顶二次函数”．
请写出二次函数
的一个“反倍顶二次函数”；
已知关于的二次函数
和二次函数
，若函数
恰是
的
“反倍顶二次函数”，求的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
∵
，
∴
，
∴二次函数
的顶点坐标为
，
∴二次函数
的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为
，
∴反倍顶二次函数的解析式为
．
，
顶点坐标为
，
，
顶点坐标为
，
由于函数
恰是
的“反倍顶二次函数”，
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【标注】
则
，
解得：
．
【知识点】与函数有关的新定义
