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1
二次函数章节复习：新定义【题集C5】
1.
【解析】
【标注】
在平面直角坐标系
中，对于点
和点
，给出如下定义：
若
，则称点
为点
的限变点．若点
在函数
的图象上，当
时，求其限变点
的纵坐标的取值范围 ；若点
在关于的二次函数
的图象上，其限变点
的纵坐标的取值范围是
或
，其中
，令
，求关于的函数解析式 ．
【答案】
;
当
时，
关于的函数解析式为
．
【知识点】与函数有关的新定义
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
【解析】
我们定义两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”．
求抛物线
与轴的“和谐值”．
求抛物线
与直线
的“和谐值”．
求抛物线
在抛物线
的上方，且两条抛物线的“和谐值”为，
求的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
∵
，
2
x
y
O
（2 ）
（3 ）
【标注】
∴抛物线上的点到轴的最短距离为，
∴抛物线
与轴的“和谐值”为．
如图，
点为抛物线
任意一点，作
轴交
直线
于
，
设
，则
，
∴
，
当
时，
有最小值，最小值为
，
∴抛物线
与直线
的“和谐值”为
．
点为抛物线
任意一点，作
轴交抛物线
于
，
设
，则
，
∴
，
当
时，
有最小值，最小值为
，
∴抛物线
与抛物线
的“和谐值”为
，
∴
，
∴
．
【知识点】与函数有关的新定义
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
3. 如果一条抛物线
与轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为
顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，
称为“抛物线系数”．
任意抛物线都有“抛物线三角形”是 （填“真”或“假”）命题．
若一条抛物线系数为
，则其“抛物线三角形”的面积为 ．
若一条抛物线系数为
，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析
式．
在
的前提下，该抛物线的顶点为
，与轴交于
，
两点，在抛物线上是否存在一点
，
过
作
轴于点
，使得
？如果存在，求出
点坐标；如果不存在，
请说明理由．
3
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
假
．
存在，
或
．
∵抛物线与轴的交点个数有三种情况：没交点，一个交点，两个交点，
∴任意抛物线都有“抛物线三角形”是假命题．
故答案为：假．
∵一条抛物线系数为
，
∴
，
，
，
即抛物线解析式为
，
令
，则
，
令
，解得，
，
∴“抛物线三角形”的面积为
．
故答案为：
．
依题意：
，它与轴交于点
和
；
当抛物线三角形是直角三角形时，
根据抛物线的对称性可知它一定是等腰直角三角形，
∴顶点为
，代入
，
得
，解得
（舍去）或
，
∴
．
∵
为等腰直角三角形，且
，
∴
为等腰直角三角形，
设
，
∴
，
则
，
当
时，解得
或
（舍去），
∴
，
当
时，解得
或
（舍去），
∴
；
∴
或
．
【知识点】与函数有关的新定义
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