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1
二次函数与实际问题【题集A】
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
某商场以每件
元的价格购进一种商品，每件的销售价元，试销中发现，这种商品每天的销售量为
件．
某天商场卖这种商品的销售利润为
元时，求当天的销售价是多少？
当
时，求商场获得的最大销售利润．
【答案】（1 ）
（2 ）
，
．
最大销售利润为
元．
根据题意，得：
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
．
答：当天的销售价是
元或
元．
设当每件的销售价为元时，获得的利润为元．
由题意可得：
，
，
，
，
∵
，
∴当
时，随的增大而增大．
∴当
时，有最大值，最大值为
元．
故商场获得的最大销售利润为
元．
【知识点】二次函数的利润问题
2. 对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，有这样的关系式：
，其中是上升高
度，是初速，是重力加速度（为方便起见，本题目中取
，是抛出后所经历的时间．如果
将物体以
的速度向上抛，当
时，物体上升到距离最高点
处？
【答案】或
2
【解析】
【标注】
将
，
代入可得：
，
，
，
代入得：
，
∴
，
．
【知识点】二次函数的其他实际问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
如图，张大爷用
米长的篱笆围成一个矩形菜园，菜园一边靠墙（墙长为
米）,平行于墙的一面开
一扇宽度为米的门，张大爷还在菜园内开辟出一个小区域存放化肥，两个区域用篱笆隔开，并有一
扇米的门相连．（注：所有门都用其它材料）
化肥
存放处
设平行于墙的一边长度为米，垂直于墙的一边长度为米，直接写出与的函数关系式，并
写出自变量的取值范围．
设此时整个菜园的面积为
（包括化肥存放处），则的最大值为多少?
若此时整个菜园的面积不小于
（包括化肥存放处），结合图象，直接写出的取值范
围．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
∵
，
∴
，
由题意得：
，
∴
，
∴
．
，
∴当
时，的值最大，最大值
．
3
【标注】
由题意得当
时，
，
或，
由图象得出的取值范围：
，
又
，
∴
．
【知识点】一元二次方程的几何问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
某种水果进价为每千克
元，市场调查发现，该水果每天的销售量（千克）与售价（元/千克）有
如下关系：
，设这种水果每天的销售利润为元．
求与之间的函数关系式．
该水果售价定为每千克多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元．
如果商家为“薄利多销”，规定这种水果售价每千克不高于
元，则商家要想每天获利
元
的销售利润，售价应定为每千克多少元．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
该产品销售价定为每千克
元时，每天销售利润最大，最大销售利润
元．
该农户想要每天获得
元的销售利润，销售价应定为每千克
元．
由题意得出：
，
故与的函数关系式为：
．
，
∵
，
∴当
时，有最大值．最大值为
．
答：该产品销售价定为每千克
元时，每天销售利润最大，最大销售利润
元．
当
时，可得方程
．
解得
，
．
4
【标注】
∵
，
∴
不符合题意，应舍去．
答：该农户想要每天获得
元的销售利润，销售价应定为每千克
元．
【知识点】二次函数的利润问题
（1 ）
（2 ）
5.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，隧道的截面由抛物线
和矩形
构成，矩形的长
为
．宽
为
，以
所
在的直线为轴，线段
的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，轴是抛物线的对称轴，顶点
到坐标原点
的距离为
．
求抛物线的解析式．
现有一辆货运卡车高
，宽
，这辆货运卡车能否通过该隧道（单向通行）？通过计算
说明你的结论．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
可通过．
设解析式为
．
将
点坐标
代入，得
，
将
点坐标
代入，得
，
．
∴
．
∵是单向同行，因此只要隧道最高处能通行即可，
∴应该代入
，
当
时，
．
∵
．
∴可通过．
【知识点】二次函数的通行问题
6.
5
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，利用一面墙（墙的长度为
），用
长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每
个鸡场均留一道
宽的门，设
的长为米．
若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式，并写出自变量的取值范围．
两个鸡场面积和可以等于
吗？如果可以，求出此时
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
，
．
面积和不可以等于
，证明见解析．
，
又
．
，
∴当
时，取最大，
，
∴面积和不可以等于
．
【知识点】二次函数的几何问题
7.
【解析】
一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，当球离抛出地的水平距离为
时，达到最大高度
，则球
被抛出
．
【答案】
由题意可得：抛物线过
，
故设解析式为
，
将
代入得出
，
，
∴
，
当
时，
，
∴球被抛出
．
6
【标注】【知识点】二次函数的轨迹问题
（1 ）
（2 ）
8.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
某农场拟建一个梯形饲养场
，其中
，
分别靠现有墙
，
，其余用新墙砌成，墙
长为米，墙
足够长，两面墙形成的角度为
，新墙
将饲养场隔成
和矩形
两部分．已知新建墙体总长为
米．设
米，梯形饲养场
的面积为米．
求关于的函数表达式．
当为何值时，饲料场
的面积最大，并求出最大面积．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
当
时，饲料场
的面积最大，最大面积为
平方米．
∵四边形
是矩形，
∴
米，
，
∵
，
∴
，
∴
米，
∴
米，
∴
．
∵
，
∴
，
，
∵当
时，随的增大而减小，
∴当
时，
，
答：当
时，饲料场
的面积最大，最大面积为
平方米．
【知识点】二次函数的几何问题
（1 ）
9. 某商场以每件
元的价格购进一批商品，经试销发现，若每件商品售价
元，则每天可卖出
件，
若售价每降低元，则每天可多卖
件，根据相关规定，每件售价
元已达到毛利润上线，不能再涨
价，但也不能以低于进价销售，在销售过程中，商场每天还需支付其它费用共
元．
7
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
写出每天的销售量（件）与销售单价
（元）之间的函数关系式，并指出自变量
的取值范
围．
商场应把售价定为多少元才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1 ）
（2 ）
，
．
元，
元．
根据题意知，
，其中
．
设商场每天获得的利润为
，
则
，
∵
，
∴当
时，
．
答：商场应把售价定为
元才能使每天获得的利润最大，最大利润是
元．
【知识点】二次函数的利润问题
（1 ）
（2 ）
10.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，小区规划在一个长
，宽
的长方形草坪上修建三条同样宽的甬道，使其中两条与
平行，另一条与
平行，场地的其余部分种草，甬道的宽度为
.
用含的代数式表示草坪的总面积；
如果每一块草坪的面积都相等，且甬道的宽为
，那么每块草坪的面积是多少平方米？
【答案】（1 ）
（2 ）每一块草坪的面积是
.
；
当
时，
所以每一块草坪的面积为
答:每一块草坪的面积是
.
8
【标注】【知识点】二次函数的几何问题
（1 ）
1
2
（2 ）
11.
（1 ）
1
2
（2 ）
【解析】
【标注】
某童装专卖店一款童装每件进价为
元，在销售中发现，若销售价为
元，每天可售出
件，
年春节即将到来，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发现，如果每
件童装降价元，那么平均每天可多售出件，设每件童装降价元
时，平均每天可盈利元．
写出与的函数关系式．
根据（）中的函数关系式，解答下列问题：
当该专卖店每件童装降价元时，平均每天盈利多少元？
该专卖店要想平均每天盈利
元，你觉得可能吗？请说明理由．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
．
．
不可能平均每天盈利
元．
与的函数关系式为
．
当
时，
．
当
时，
，整理得：
，
，
∴方程无实数根，即不可能平均每天盈利
元．
【知识点】二次函数的利润问题
（1 ）
（2 ）
12. 某水果店销售某种水果，原来每箱售价
元，每星期可卖
箱，为了促销，该水果店决定降价销
售．市场调查反映：每降价元，每星期可多卖
箱．已知该水果每箱的进价是
元，设该水果每箱
售价元，每星期的销售量为箱．
求与之间的函数关系式．
当销售量不低于
箱时，每箱售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少
元．
【答案】（1 ）
（2 ）
（
）．
每箱售价定为
元时，每星期的销售利润最大，最大利润
元．
9
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
由题意可得：
（
）．
设每星期利润为
元，
．
∵
，
∴
．
∵
，抛物线开口向下，
∴
时，
．
∴每箱售价定为
元时，每星期的销售利润最大，最大利润
元．
【知识点】二次函数的利润问题
最大值
（1 ）
（2 ）
（3 ）
13.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用
天的时间销售一种成本为
元/
件的商品，经过统计得到此商品单价在第天（为正整数）销售的相关信息，如表所示：
销售量（件）
销售单价
（元/件）
请计算第几天该商品单价为
元/件．
求网店销售该商品
天里所获利润（元）关于（天）的函数关系式．
这
天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
第
天．
．
这
天中第
天获得的利润最大，最大利润是
元．
当
时，
，
解得：
，
所以第
天时该商品的销售单价为
元/件．
．
，
∴当
时，
．
答：这
天中第
天获得的利润最大，最大利润是
元．
最大
10
【标注】【知识点】二次函数的利润问题
（1 ）
（2 ）
14.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
在体质检测时，初三某男生推铅球，铅球行进高度
与水平距离
之间的关系是
．
铅球行进的最大高度是多少．
该男生把铅球推出的水平距离是多少．(精确到
米，
)
【答案】（1 ）
（2 ）
铅球行进的最大高度是米．
铅球推出的水平距离是
米．
，
当
时，
．
答：铅球行进的最大高度是米．
当
时，
，
解得：
．
铅球推出的水平距离是
米．
【知识点】二次函数的轨迹问题
最大
（1 ）
（2 ）
15.
（1 ）
【解析】
有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为
，跨度为
，把它放在如图所示的平面直角坐
标系中.
6m
8m
求这条抛物线所对应的函数关系式．
若要在隧道壁上点
（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高
，求灯
与点
的距离．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
由题意得
，
，
∴得：
11
（2 ）
【标注】
∴
∴
．
代入得：
∴
（舍） ，
∴
∴
．
【知识点】二次函数的几何问题
（1 ）
（2 ）
16.
（1 ）
【解析】
某公司营销
，
两种产品，根据市场调研，确定两条信息：
信息：销售
种产品所获利润（万元）与所售产品（吨）之间存在二次函数关系，如图所示：
信息：销售
种产品所获利润（万元）与销售产品（吨）之间存在正比例函数关系
．
根据以上信息，解答下列问题：
求二次函数的表达式．
该公司准备购进
、
两种产品共
吨，请设计一个营销方案，使销售
、
两种产品获得的
利润之和最大，最大利润是多少万元．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
购进
产品吨，购进
产品吨，销售
、
两种产品获得的利润之和最大，最大
利润是
万元．
根据题意，
设销售
种产品所获利润与销售产品之间的函数关系式为
，
12
（2 ）
【标注】
将
、
代入解析式，
得：
，
解得：
，
∴销售
种产品所获利润与销售产品之间的函数关系式为
．
设购进
产品
吨，购进
产品
吨，销售
、
两种产品获得的利润之和为
元，
则
，
∵
，
∴当
时，
取得最大值，最大值为
万元．
答：购进
产品吨，购进
产品吨，销售
、
两种产品获得的利润之和最大，最大利润
是
万元．
【知识点】二次函数的利润问题
（1 ）
（2 ）
17.
（1 ）
【解析】
在“感恩节”前夕，我市某学生积极参与“关爱孤寡老人”的活动，他们购进一批单价为元一双
的“孝心袜”在课余时间进行义卖，并将所得利润全部捐给乡村孤寡老人，在试卖阶段发现：当销
售单价是每双
元时，每天的销售量
为双，销售单价每上涨元，每天的销售量就减少
双．
求销售单价为多少元时，“孝心袜”每天的销售利润最大．
结合上述情况，学生会干部提出了
，
两种营销方案．
方案
：“孝心袜”的销售单价高于进价且不超过
元．
方案
：每天销售量不少于
双，且每双“孝心袜”的利润至少为
元．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
单价为
元，每天的销售利润最大．
方案
，证明见解析．
设销售单价元，利润为元．
由题意
，
∵
，
∴
时，每天的销售利润最大，
∴销售单价为
元时，“孝心袜”每天的销售利润最大．
13
（2 ）
【标注】
方案
：“孝心袜”的销售单价高于进价且不超过
元，
∵
．
又∵
，
∴
时，的值最大，最大值为
元．
方案
：每天销售量不少于
双，且每双“孝心袜”的利润至少为
元，
∵
，
又∵
，
∴
时，的值最大，最大值为
元，
∵
，
∴方案
的利润最大．
【知识点】二次函数的利润问题
18.
【解析】
【标注】
平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，建立直角坐标系，抛物线的
函数表达式为
（单位：
），绳子甩到最高处时刚好通过站在
点处跳
绳的学生小明的头顶，则小明的身高为
．
【答案】
在
中，
当
时，得
．
即小明的身高为
米．
故答案为
．
【知识点】二次函数的其他实际问题
19. 某汽车制造厂投资
万元，成功地研制出一种市场需求量较大的汽配零件，并投入资金
万元进
行批量生产已知每个零件成本为
元．通过市场销售调查发现：当销售单价定为
元时，年销售量
14
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
为
万件；销售单价每增加元，年销售量将减少
件．设销售单价为(
)，年销售量为
（万件），年获利为（万元）
试写出与之间的函数关系式；
当年获利为
万元时，销售单价为多少元？
当销售单价定为多少时，年获利最多并求出此时的年利润．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
(
)
元
万元
依题意知，
(
)．
设当年获利
万元时，销售单价为元
由题意，得
，
即
，
整理，得
，
解得
，
（不合题意，舍去）
当年获利为
万元时，销售单价为
元．
由题意，
，
所以当
时，取得最大值
．
故当销售单价定为
元时，年获利最多，此时年利润为
万元．
【知识点】二次函数的利润问题
