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1
二次函数图象与系数的关系【题集A】
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
【标注】
二次函数
经过点
，对称轴如图所示，若
，
，
．则
，
，
中，值小于的数有（ ）个．
【答案】A
∵图象开口向下，
∴
，
∵对称轴在轴左侧，
∴，同号，
∴
，
．
∵图象与轴由交于正半轴，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
即
．
∵令
得
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
中值小于的一共有个．
【题型】图象与系数的关系
2
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ①②
2.
【解析】
【标注】
如图抛物线
与轴交于
、
两点，其中
点坐标为
，直线
是抛物线的对
称轴，且与轴交于点
，
于
，现有下列结论：
①
，②
，③
，④
．
下列选项中选出的结论完全正确的是（ ）．
【答案】C
①∵抛物线开口向下，
∴
，①成立；
②∵抛物线的对称轴为
，
∴
，②不成立；
③∵抛物线与轴有两个交点，
∴
，③成立；
④∵
为抛物线的对称轴，
∴
．
∵
点坐标为
，
∴
，④成立．
故选：．
【知识点】二次函数与坐标轴交点
【能力】运算能力
【思想】数形结合思想
A.
B.
3. 如图，若
，
，
，则抛物线
的大致图象为（ ）．
3
C.
D.
【解析】
【标注】
【答案】D
∵
，∴图象开口向下，
∵
，∴对称轴
．故选
．
【知识点】参数a，b，c对二次函数图象的影响
A.
B.
C.
D.
．
4.
A
选项：
B
选项：
C
选项：
D
选项：
【解析】
如图，二次函数
的图象经过点
， 与轴交点的横坐标分别为
、
，且
，
，下列结论正确的是（ ）．
–1
–1
–1
1
2
y
–2
–2
–2
–1
–1
–1
1
O
x
【答案】B
函数图像开口向上，∴
，错误．
，
；
，
，
∴
，正确．
∵
，∴
，
∵
，∴
，显然对称轴
，错误．
∵对称轴在轴右侧，
4
【标注】
∴
，
∴
，
∴
，错误．
故选
B
.
【知识点】二次函数与坐标轴交点
【能力】运算能力
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
5.
【解析】
如图，抛物线
（
）的对称轴为直线
，与轴的一个交点坐标为
，其部分图象如图所示，下列结论：
①
；
②方程
的两个根是
，
；
③
；
④当
时，的取值范围是
；
⑤当
时，随增大而增大，
其中结论正确的个数是（ ）．
【答案】B
∵抛物线与轴有个交点，
∴
，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线
，
而点
关于直线
的对称点的坐标为
，
∴方程
的两个根是
，
，所以②正确；
∵
，即
，
而
时，
，即
，
∴
，所以③错误；
5
【标注】
∵抛物线与轴的两点坐标为
，
，
∴当
时，
，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线
，
∴当
时，随增大而增大，所以⑤正确．
故选：．
【题型】图象与系数的关系
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
6.
【解析】
二次函数
的部分图象如图所示，图象过点
，对称轴为直线
，
下列结论：①
；②
；③
；④若点
、点
、点
在该函数图象上，则
；⑤若方程
的
两根为
和
，且
，则
．其中正确的结论有（ ）．
【答案】B
①∵
，
∴
，故①正确．
②∵
时，
，
∴
，
∴
，故②错误．
③由图象可知抛物线经过
和
，
∴
，解得
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，故③正确．
④∵点
、点
、点
在该函数图象上，
函数的对称轴为直线
，
6
【标注】
且
，
，
，
∴点
离对称轴的距离近，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，故④错误．
⑤∵
，
∴
，
即
，
故
或
，故⑤正确．
∴正确的结论有个，
故选：．
【能力】运算能力
【能力】推理论证能力
【知识点】二次函数与坐标轴交点
【思想】函数思想
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
7.
【解析】
抛物线
(
)的对称轴为直线
，与轴的一个交点
在点(
, )和(
, )
之间，其部分图象如图，则下列结论：①
；②
；③
；④点
(
，
)、
(
，
)在抛物线上，若
，则
，其中正确结论的个数是（ ） .
x
–3
–2
–1
1
y
O
【答案】C
函数与轴有两个交点，则
，即
，故①正确；
函数的对称轴是直线
，即
，则
，
，故②正确；
7
【标注】
当
时，函数对应的点在轴下方，则
，则③正确；
和
的大小无法判断，则④错误．
故选．
【知识点】根据二次函数图象判断参数符号
A. ①②
B. ①②③
C. ①②③④
D. ②③④
8.
【解析】
【标注】
已知二次函数
的图象如图所示，下列结论：
①
；②
；③
；④
．
其中结论正确的是（ ）．
【答案】B
图象开口向上，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧，能得到：
，
，
，
，∴
，①正确；
对称轴为
，则
，②正确；
∵
，
∴
，③正确；
∵
时，
，对称轴是
，
∴
时，
，即
，④错误，
故选：．
【方法】图象法
【能力】运算能力
【思想】函数思想
9. 抛物线如图所示，根据图象，抛物线的解析式可能是（ ）．
8
A.
B.
C.
D.
【解析】
【标注】
y
O
x
【答案】C
∵开口向下，
∴
，
∵对称轴在轴右侧，根据“左同右异”，
∴
，
∵与轴正半轴相交，
∴
，
∵与轴有两个交点，
∴
．
【知识点】根据二次函数图象判断参数符号
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
10.
【解析】
如图，二次函数
的图象的顶点在第一象限，且过点
和
，下列
结论：①
，②
，③
，④
，⑤当
时，
．其中正
确结论的个数是（ ）．
【答案】B
∵由抛物线开口向下，
∴
，
∵对称轴在轴的右侧，
9
【标注】
∴
，
∴
，所以①正确．
∵点
和
都在抛物线
上，
∴
，
，
∴
，
而
，
∴
，所以②错误，④正确．
∵
，
而
，
∴
，即
，
∵抛物线与轴的一个交点坐标为
，
而抛物线的对称轴在轴右侧，在直线
的左侧，
∴抛物线与轴的另一个交点在
和
之间，
∴
时，
，即
，
∴
，所以③正确．
∵
时，抛物线有部分在轴上方，有部分在轴下方，
∴
或
或
，所以⑤错误．
故选：．
【知识点】根据二次函数图象判断参数符号
A. ①②③
B. ①③④
C. ③④⑤
D. ②③⑤
11. 如图，已知二次函数
（
）的图象如图，有下列个结论：
①
；②
；③
；④
；⑤
（
的实
数）．
其中正确结论的有（ ）．
【答案】C
10
【解析】
【标注】
∵开口向下，
∴
又∵抛物线与轴交于正半轴，可知
．
又∵抛物线与轴有两个交点，
∴
，即
，
当
时，
，
又∵对称轴为
，
∴
，
∴
，
，
∴
故①错误；
②当
时，
，
∴
，
∴
，
故②错误．
③当
时，
，故③正确．
④当
时函数值小于，
∴
，
∴将
代入
，得
，故④正确．
⑤当
时，取最大值，
，
当
时，
，
∴
，
∴
，
即
．
故⑤正确．
∴正确的有③④⑤．
【能力】推理论证能力
12. 如图是二次函数
图象的一部分，且过点
，二次函数图象的对称轴是直线
，下列结论正确的是（ ）．
11
A.
B.
C.
D.
【解析】
【标注】
y
O
x
【答案】D
∵抛物线与轴有两个交点，
∴
，即
，故
选项错误．
∵抛物线开口向上，
∴
，
∵抛物线与轴的交点在轴下方，
∴
，
∴
，故选项错误．
∵二次函数图象的对称轴是直线
，
∴
，
∴
，故选项错误．
∵抛物线过点
，二次函数图象的对称轴是
，
∴抛物线与轴的另一个交点为
，
∴
．
故
选项正确．
【题型】图象与系数的关系
A. 开口向上
B. 当
时，经过坐标原点
C.
时，对称轴在轴左侧
D. 不论为何值，都经过定点
13.
【解析】
关于抛物线
，下列说法错误的是（ ）．
【答案】C
∵
，∴抛物线开口向上；
当
时，抛物线的解析式为
，则过原点；对称轴为
，
当
时，对称轴
，
，
12
【标注】
∴对称轴在轴右侧；当
时，
，
∴不论为何值，都经过定点
，故选C．
【题型】图象与系数的关系
，
A.
，
，
B.
，
，
C.
，
，
D.
，
，
14.
【解析】
【标注】
已知二次函数
的图象如图所示，则（ ）．
【答案】D
∵抛物线开口向下，
∴
，
∵抛物线的对称轴在轴的右侧，
∴、异号，即
，
∵抛物线与轴的交点在轴下方，
∴
，
∵抛物线与轴有个交点，
∴
．
故选：
．
【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数
【知识点】一元二次方程根的判别式
【知识点】二次函数与一元二次方程的关系
【能力】运算能力
【思想】数形结合思想
15. 已知抛物线
的图象如图所示，则下列结论：
①
；
13
A. ①②
B. ①②③
C. ①②④
D. ①②③④
【解析】
【标注】
②
；
③
；
④
中正确的有（ ）．
【答案】B
∵
，
，
，
∴
，①对；
当
时，
，①②对；
当
时，
，即
③，
①代入③，得
，
，故④错；
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，故③对．
故选．
【知识点】根据二次函数图象判断参数符号
16. 已知二次函数
的图象如图所示，
，则由抛物线的特征写出如下含有、
、三个字母的等式或不等式：①
．②
．③
．④
．其中正确的个数是（ ）．
14
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
【解析】
【标注】
【答案】A
①
，抛物线顶点纵坐标为
，正确．
②
，设
，则
，
∵
，∴
代入抛物线得
，又
，
∴
，故正确．
③
，从图象中易知
，
，
，故正确．
④
，当
时
，由图象知
在第二象限，
∴
，故正确．
【题型】图象与系数的关系
x
–2
2
y
2
O
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
17.
【解析】
【标注】
已知二次函数
的图像如图所示，下列说法①
②
③
④
⑤
，其中正确的有（ ）．
【答案】B
通过常规判断，开口方向，交点个数以及对称轴位置判断．
【思想】函数思想
【能力】运算能力
18.
15
A.
B.
C.
D.
【解析】
【标注】
已知二次函数
（
）的图象如图所示，且关于的一元二次方程
没有实数根，则下列结论：①
；②
；③
，其中正
确结论的个数是（ ）．
【答案】D
由二次函数
（
）的图象与轴两个交点，可得
，故
①正确，
由二次函数
（
）的图象可知
，
，则
，故②正确，
由二次函数
（
）的图象可知该函数有最大值，最大值是
，
∵关于的一元二次方程
没有实数根，则
，故③正确．
故答案为
．
【思想】数形结合思想
【知识点】一元二次方程根的判别式
【知识点】二次函数与一元二次方程的关系
19. 已知二次函数
的图象如图所示，有以下结论：
①
；
②
；
③
；
④
；
⑤若点
和
在该图象上，则
．
其中正确结论的个数是（ ）．
16
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
【解析】
【标注】
【答案】B
①
，对称轴位于轴右侧，则，异号，∴
，故①错；
②当
时，
，∴
，故②对，
③对称轴
，∴
故③错；
④与轴一交点位于
之间，则另一交点位于
之间，当
时，
，
∴
，故④对；
⑤
离对称轴
的距离比
要远，∴
，故⑤错．
故选．
【知识点】关于a、b、c代数式的取值问题
