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二次函数章节复习：新定义【题集C2】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
定义
为函数
的“特征数”．如：函数
的“特征数”是
，函数
的“特征数”是
，函数
的“特征数”是
．
将“特征数”是
的函数图象向下平移个单位，得到一个新函数，这个新函数的
解析式是
．
在（）中，平移前后的两个函数分别与轴交于
、
两点，与直线
分别交于
、
两点，判断以
、
、
、
四点为顶点的四边形形状，请说明理由并计算其周长．
若（）中的四边形与“特征数”是
的函数图象的有交点，求满足条件的
实数的取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
菱形，周长为．
．
，
，
，
，菱形，周长为．
二次函数解析式为
，
将
、
坐标分别代入得到的值为
及
，
于是满足题意的的范围是
．
【知识点】与函数有关的新定义
（1 ）
（2 ）
2. 在平面直角坐标系
中，规定：抛物线
的伴随直线为
．例
如：抛物线
的伴随直线为
，即
．
在上面规定下，抛物线
的顶点坐标为 ，伴随直线为 ，抛物线
与其伴随直线的交点坐标为 和 ．
如图，顶点在第一象限的抛物线
与其伴随直线相交于点
，
（点
在
点
的左侧），与轴交于点
，
．
2
1
2
（1 ）
1
（2 ）
【解析】
备用图
若
，求
的值．
如果点
是直线
上方抛物线上的一个动点，
的面积记为，当取得
最大值
时，求
的值．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
;
;
;
．
．
∵
，
∴顶点坐标为
，
由伴随直线的定义可得其伴随直线为
，即
，
联立抛物线与伴随直线的解析式可得
，
解得
或
，
∴其交点坐标为
和
，
故答案为：
．
．
．
．
∵抛物线解析式为
，
∴其伴随直线为
，即
，
联立抛物线与伴随直线的解析式可得
，解得
或
，
∴
，
，
在
中，令
可解得
或
，
∴
，
，
∴
，
，
，
∵
，
3
2
【标注】
∴
，即
，解得
（抛物线
开口向下，舍去）或
，
∴当
时，
的值为
．
设直线
的解析式为
，
∵
，
，
∴
，解得
，
∴直线
解析式为
，
过
作轴的垂线交
于点
，如图，
∵点
的横坐标为，
∴
，
，
∵
是直线
上方抛物线上的一个动点，
∴
，
∴
，
∴当
时，
的面积有最大值
，
∴取得最大值
时，即
，解得
．
【知识点】与函数有关的新定义
（1 ）
（2 ）
3. 对于二次函数
和一次函数
，把
称为这两个函数的“再生二次函数”，其中是不为零的实
数，其图象记作抛物线
．现有点
和抛物线
上的点
，请完成下列任务：
①当
时，抛物线
的顶点坐标为 ．
②判断点
是否在抛物线
上；
③求的值．
通过②和③的演算可知，对于取任何不为零的实数，抛物线
总过定点，坐标为 ．
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（3 ）
（4 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
【解析】
二次函数
是二次函数
和一次函数
的一个
“再生二次函数”吗？如果是，求出的值；如果不是，说明理由．
以
为边作矩形
，使得其中一个顶点落在轴上，且抛物线
经过
、
、
、
其中
的一点，求出所有符合条件的的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
①
．
②点
在抛物线
上．
③
．
和
不是，理由见解析．
满足条件的所有值为
，
，
，
．
①
．
②点
在抛物线
上，理由如下：
将
代入
得
．
∴点
在抛物线
上．
③将
代入
得
．
不是．
∵将
代入
，得
，
∴二次函数
的图象不经过点
．
∴二次函数
不是二次函数
和一次函数
的
一个“再生二次函数”．
如图，作矩形
和
，
过点
作
轴于点
，
过点
作
轴于点
，
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【标注】
过点
作
轴于点
，
过点
作
轴于点
，
与
相交于点．
易得
，
，
，
，
则
，即
，得
．
∴
．
易得
≌
，得
，
．
∴
．
易得
∽
，则
，
由
，
，
得
，得
．
∴
．
易得
≌
，得
，
．
∴
．
∵抛物线
总过定点
、
，
∴符合条件的三点只可能是
、
、
或
、
、
．
当抛物线经过
、
、
时，将
代入
得
；
当抛物线经过
、
、
时，将
代入
得
；
当抛物线经过
、
、
时，将
代入
得
；
当抛物线经过
、
、
时，将
代入
得
．
∴满足条件的所有值为
，
，
，
．
【知识点】与函数有关的新定义
