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1
中位线与中点四边形 题集【B】
1. 中位线定理
中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
如图，在
中，
、
分别是
、
的中点，连接
，则
即为
的中位线．
【注意】三角形的中位线与中线不一样，
中线是连接三角形的顶点与其对边中点的线段，顶点——中点
而构成中位线需要两个中点，中点——中点．
中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
如图，在
中，点
分别为边
的中点，则
，
．
符号语言：
，且
提供了证明线段平行以及线段成倍分关系的根据
、
、
，
【拓展】:
如图
中，
分别为各边中点
（1）三角形有几条中位线？
（2）
的周长与原三角形的周长之间有什么数量关系？
，
，
2
（3）图中有平行四边形吗？有哪些？
（4）三角形的三条中位线所分的4个三角形之间有什么关系
1.
【解析】
如图，在
中，
，
，三角形的中线
、
交于点
，点
、
分别为
、
的中点．若四边形
是正方形，则
的面积为 ．
【答案】
如图，
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
，
，
∵
是
的中线，
∴
，
∵点
、
分别为
、
的中点，
∴
是
的中位线，
∴
，
由勾股定瑆得：
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
故答案为：．
3
【标注】【知识点】中位线定理及其应用
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
【标注】
如图，
是
内一点，
，
，
，
，
，
，
，
分别是
，
，
，
的中点，则四边形
的周长是（ ）．
【答案】C
本题主要考查三角形的基本概念和直角三角形．
∵
，
，
，
∴
中，
，
∴
，
∵
，
，
，
分别是
，
，
，
的中点，
∴
，
，
，
，
∴四边形
的周长是
．
【知识点】中点类综合计算与证明
A.
B.
C.
D.
3. 如图，在四边形
中，已知
，
、
、
分别是
、
、
的中点，
，
，则
的度数为（ ）．
4
【解析】
【标注】
【答案】D
由题意可得：
∵
、
、
分别是
、
、
的中点，
∴
，
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
故选
．
【知识点】三角形中位线定理；三角形的倒角问题
4.
【解析】
【标注】
如图，四边形
中，点
是对角线
的中点，点
，
分别是
，
的中点，
，
，则
的度数是 ．
【答案】
在
中，∵
，
是
和
的中点，
∴
且
，
在
中，∵
，
是
和
的中点，
∴
且
，
∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】中位线定理及其应用
5. 如图，在矩形
中，
、
分别是
和
上的点，
、
分别是
和
的中点，当点
在
上从点
向点
移动，而点
不动时，下列结论正确的是（ ）．
5
A. 线段
的长逐渐增长
B. 线段
的长逐渐减小
C. 线段
的长始终不变
D. 线段
的长与点
的位置有关
【解析】
【标注】
【答案】C
连接
，
∵矩形
固定不变，
在
的位置不变，
∴
和
不变，
∵由勾股定理得：
∴
的长不变，
∵
、
分别为
、
的中点，
∴
，
即线段
的长始终不变．
【知识点】中位线定理及其应用
6. 如图，矩形
中，
，
，
是
边上的一定点，
是
边上的一动点（不与点
、
重合），
，
分别是
、
的中点，记
的长度为，在点
运动过程中，不断变
化，则的取值范围是 ．
【答案】
6
【解析】
【标注】
∵矩形
中，
，
，
∴对角线
，
∵
是
边上的一动点（不与点
、
重合），
∴
，
连接
，
∵
，
分别是
、
的中点，
∴
是
的中位线，
∴
，
∴
．
故答案为：
．
【知识点】中位线定理及其应用
7.
【解析】
如图，四边形
中，
，
，
，点
，
分别为线段
，
上的
动点（含端点，但点
不与点
重合），点
，
分别是
，
的中点，则
长度的最大值
为 ．
【答案】
如图，连接
，
7
【标注】
∵
，
，
∴
，
当点
与点
重合时，
的值最大即
最大，
在
中，
∵
，
，
，
∴
，
∴
的最大值
．
【知识点】中位线定理及其应用
（1 ）
（2 ）
8.
（1 ）
【解析】
如图，等边三角形
中，
，
分别是
，
的中点，延长
至点
，使
，连
接
，
，
．
求证：四边形
是平行四边形．
若等边三角形
的边长为，写出求
长的思路．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
∵点
，
分别为
，
的中点，
∴
，
．
∵
，
∴
．
又∵
，
8
（2 ）
【标注】
∴四边形
是平行四边形．
求解思路如下：
①由四边形
是平行四边形，可得
．
②由
是等边三角形，
为
的中点，可得
，
．
③在
中，
，依据勾股定理
长可求，即
长可求．
【知识点】平行四边形性质综合应用
9.
方法一：
方法二：
【解析】
的中线
、
相交于
，
，
分别是
、
的中点，求证：
，且
．
【答案】证明见解析．
连接
，
，
∵
、
是
的中线，∴
，
是
，
边中点，
∴
，
，同理：
，
，
∴
，
，∴四边形
是平行四边形，
∴
，
．
如图所示，连接
．
9
【标注】
∵
、
分别是
的中线，
∴
、
分别是
、
的中点．
又∵
、
分别是
、
的中点，
∴
，
，
，
，
∴
且
．
【知识点】构造中位线
（1 ）
（2 ）
10.
（1 ）
【解析】
如图，在四边形
中，
，
，
、
分别为
、
的中点，连接
、
、
．
求证：
．
若
，
平分
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
在
中．
∵
、
分别是
、
的中点，
∴
，
．
在
中．
∵
是
的中点，
∴
．
∵
，
10
（2 ）
【标注】
∴
．
∵
，
平分
，
∴
．
由（）可知，
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
由（）可知，
，
∴
．
【知识点】三角形内角和的应用
