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二次函数章节复习：新定义【题集C3】
（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量，这两个函数对应的
函数值记为
、
，恒有点
和点
关于点
成中心对称（此三个点可以重合），由于
对称中心
都在直线
上，所以称这两个函数为关于直线
的“相依函数”．
例如：
和
为关于直线
的“相依函数”．
已知点
是直线
上一点．请求出点
关于点
成中心对称的点
的坐标．
若直线
和它关于直线
的“相依函数”的图象与轴围成的三角形面积为，
求的值．
若二次函数
和
为关于直线
的“相依函数”．
请求出、的值．
已知点
、点
，连接
，直接写出
和
两
条抛物线与线段
有且只有两个交点时对应的的取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
．
．
，
．
或
．
当
时，
，
∴
，
∴
．
设直线
关于直线“
的相依函数”，
图象上任一点为
，
则
关于
成中心对称的点
为
，
∵
在直线
上，
2
1
2
（3 ）
【标注】
∴
，即
，
，
∴
，
∴
，
，
∴
．
设二次数
，图象上任意一点为
，
则其关于
成中心对称的点为
，
∴
，
，
∴
，
，
．
，
，
交点个数
抛物线
共计
∴
或
．
【知识点】与函数有关的新定义
（1 ）
（2 ）
2. 在直角坐标系
中，对于点
和
给出如下定义：
若
，则称点
为点
的“可控变点”．
例如：点
的“可控变点”为点
点，
的“可控变点”为点
．
若点
是一次函数
图象上点
的“可控变点”，则点
的坐标为 .
3
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
)若点
在函数
的图象上其“可控变点Q”的纵坐标
的取值范围
是
，则实数的取值范围是 .
【答案】（1 ）
（2 ）
设点坐标为
，根据题意可得：当
时，“可控变点”的坐标为
；当
时，“可控变点”的坐标为
．
由题意得“可控变点”的坐标为
，因为
，所以
，即点
的坐标为
．
因为二次函数解析式为
，故当
时，随着的增大而增大；当
时，随着的增大而减小．设二次函数上点的坐标为
，
“可控变点”的坐标为
．
若
，则
，
将无法取得
，故
．
所以当
时，
，其“可控变点”的坐标为
，
；当
时，
，
"可控变点的坐标为
，
因为
，
所以
，
解不等式组可得：
或
．
又因为
，所以
．
【知识点】与函数有关的新定义
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3. 新定义函数：在关于的函数中，若当
时，函数有最大值和最小值，分别记作
和
，且满足
，则我们称函数为“三角形函数”．
若函数
为“三角形函数”，求的取值范围．
判断函数
是否为“三角形函数”，并说明理由．
已知函数
，若对于
上的任意三个实数，，所对应的三个函数值
都能构成一个三角形的三边长，则求满足条件的
的取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
是．
．
4
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
当
，
；
，
,
为三角形函数，
.
是三角形函数，理由如下： 对称轴为直线
，
，
当
，
，
，
，
它是三角形函数.
对于
上的任意三个实数，，所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三
边长，
，若
为最小，
为最大，则
，
，
是三角形函数，
，
对称轴为直线
，
当
时，当
，
，
当
，
，则
，解得
，
无解；
当
，当
，
当
，
，则
，
解得
，
；
当
，当
，
，当
，
，则
，
解得
，
；
当
，当
，
，
，
，则
，
解得
，
无解；
综上所述可知
的取值范围为
或
．
①
②
③
④
5
【标注】【知识点】与函数有关的新定义
