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1
二次函数章节复习：规律探究【题集C4】
1.
【解析】
【标注】
如图，一段抛物线：
记为
，它与轴交于两点
、
；将
绕
旋转
得到
，交轴于
；将
绕
旋转
得到
，交轴于
；
如此进行下去，直至得到
，若点
在第段抛物线
，则
．
【答案】
∵
，
∴配方可得
，
∴顶点坐标为
，
∴
坐标为
．
∵
由
旋转得到，
∴
,即
顶点坐标为
,
；
照此类推可得,
顶点坐标为
,
；
顶点坐标为
,
；
顶点坐标为
,
；
顶点坐标为
,
；
顶点坐标为
,
；
∴
．
【知识点】二次函数与找规律
2. 如图，记抛物线
的图象与正半轴的交点为
，将线段
分成等份，设分点分别为
，
，
，
，过每个分点作轴的垂线，分别与抛物线交于点
，
，
，
，再记直角
三角形
，
，
的面积分别为
，
，
，这样就有
，
，
；记
，当越来越大时，你猜想
最接近的常数是（ ）．
2
A.
B.
C.
D.
【解析】
【标注】
【答案】C
由
得：当
时，
或
，
∴
的坐标为
，
∴
，
∴
，
∴
．
当越来越大时，
越来越接近，
∴
越接近
．
故选：.
【知识点】二次函数与面积
3. 如图，抛物线
的顶点为
，直线
与轴平行，且与抛物线交于点
，
，若
为等腰直角三角形，我们把抛物线上
，
两点之间的部分与线段
围成的图形
称为该抛物线对应的准蝶形，线段
称为碟宽，顶点
称为碟顶，点
到线段
的距离称为碟
高．
3
（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
（1 ）
【解析】
抛物线
对应的碟宽为 ．抛物线
对应的碟宽为 ．抛物线
对应的碟宽为 ．抛物线
对应的碟宽
为 ．
抛物线
对应的碟宽为，且在轴上，求的值．
将抛物线
的对应准蝶形记为
（
，，
），定义
，
，
，
为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若
与
的相似比为
，且
的碟顶是
的碟宽的中点，现将（）中求得的抛物线记为
，其对应的准蝶形记为
．
求抛物线
的表达式．
若
的碟高为
，
的碟高为
，
的碟高为
，则
__________，
的碟宽
右端点横坐标为__________．
，
，
，
的碟宽右端点是否在一条直线上？若
是，直接写出该直线的表达式．若不是，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
;
;
;
．
．
，
，是，
．
分析如下：
∵
，
∴
的图象大致如下：
其必过原点
，记
为其碟宽，
与轴的交点为
，连接
，
．
∵
为等腰直角三角形，
轴，
∴
，
∴
，
∴
与
亦为等腰直角三角形，
∴
，
4
（2 ）
1
2
（3 ）
∴
，
，代入
，
∴
，
，
，
∴
，
，
即
的碟宽为
．
① 抛物线
对应的
，得碟宽
为．
② 抛物线
对应的
，得碟宽为
为
．
③抛物线
，碟宽为
．
④抛物线
可看成
向右平移个单位长度，再向上平移个
单位长度后得到的图形，
∵平移不改变形状、大小、方向，
∴抛物线
的准碟形≌抛物线
的准碟，
∵抛物线
，碟宽为
，
∴抛物线
，碟宽为
．
∵
，
∴同（1），其碟宽为
，
∵
的碟宽为，
∴
，
解得
，
∴
．
∵
的碟宽：
的碟宽
，
∴
，
∵
，
∴
．
∵
的碟宽
在轴上（
在
左边），
∴
，
，
∴
的碟顶坐标为
，
∴
．
∵
的准碟形为等腰直角三角形，
∴
的碟宽为
，
∵
，
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【标注】
∴
，
∵
，
∴
．
∵
，且都过
的碟宽中点，
∴
，
，
，
，
，
都在一条直线上，
∵
在直线
上，
∴
，
，
，
，
，
都在直线
上，
∴
的碟宽右端点横坐标为
．
另，
，
，
，
的碟宽右端点在一条直线上，直线为
．
分析如下：
考虑
，
，
情形，关系如图，
，
，
的碟宽分别为
，
，
．
，
，分别为其碟宽的中点，都在直线
上，连接右端点，
，
．
∵
轴，
轴，
轴，
∴
，
∴
平行相等于
，
平行相等于
，
∴四边形
，四边形
都为平行四边形，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
都过
点，
∴
，
在一条直线上，
∴
，
，
的碟宽的右端点是在一条直线，
∴
，
，
，
的碟宽的右端点是在一条直线．
∵
：
准碟形右端点坐标为
，
：
准碟形右端点坐标为
，
∴待定系数可得过两点的直线为
，
∴
，
，
，
的碟宽的右端点是在直线
上．
【知识点】二次函数的几何问题
6
4.
【解析】
【标注】
若抛物线
与轴交于
、
两点（为常数，
，为自
然数，
），用
表示
、
两点间的距离，则
．
【答案】
∵
，
∴点
的坐标为
，点
的坐标为
（不失一般性，设点
在点
的左
侧），
∴
，
∴
．
【知识点】二次函数与找规律
5.
【解析】
如图，在平面直角坐标系
中，
，
，形状相同的抛物线
（
、、、、
）的顶点在直线
上，其对称轴与轴的交点的横坐标依次为、、、、
、
根据
上述规律，抛物线
的顶点坐标为 ．
【答案】
设直线
的解析式为
，
，
∵
，
，
∴
，
解得
，
∴直线
的解析式为
，
∵对称轴与轴的交点的横坐标依次为，，，，
，
，
观察发现：每个数都是前两个数的和，
7
【标注】
∴抛物线
的顶点坐标的横坐标为
，
∴抛物线
的顶点坐标为
．
【知识点】二次函数与找规律
A.
B.
C.
D.
6.
【解析】
【标注】
如图，分别过点
作轴的垂线，交二次函数
的图象交于
，交
直线
于点
，则
的值为（ ）．
【答案】A
根据函数图像上的坐标的特征求得
，
，
…
；
，
，
…
；
然后由两点间的距离公式求得
，
，
，…
；
所以
．
故选
．
【知识点】二次函数与找规律
7.
8
（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
（4 ）
（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
【解析】
已知抛物线
：
交轴于点
与点
，抛物线
：
交轴于点
与点
，抛物线
：
交轴于点
与点
，…按此规律，
抛物线
：
交轴于点
与点
，（其中为正整
数），我们把抛物线
，
，
，
称为系数的抛物线族．
试求出
的值．
线段
的长为多少．
探究如下问题：（用含的代数式表示）
抛物线
的顶点坐标为 ．
依此类推第条抛物线
的顶点坐标为 ．
抛物线
的顶点
，是否存在
是等腰直角三角形的情况？若存在，求出的值；
若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
（4 ）
．
．
．
存在，
，证明见解析．
∵抛物线
：
交轴于点
与点
，
∴抛物线与轴的另一个交点为
，
∴
．
由与
相同的方法可得
，
，
，
按此规律可得
，
∴
．
∵
交轴于点
与点
，
，
∴
，
∴
，
∴抛物线
的顶点坐标为
；
故答案为：
．
∵
交轴于点
与点
，
，
∴
，
9
（4 ）
【标注】
∴
，
∴抛物线
的顶点坐标为
；
∴依此类推第条抛物线
的顶点坐标为
；
故答案为：
．
存在，理由：∵
：
顶点
，
，
∴
，
∵
是等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
∴
，
是等腰直角三角形．
【知识点】二次函数与找规律
A.
B.
C.
D.
8.
【解析】
【标注】
x
y
O
如图，有
，
，
，…，
（为正整数），点
，
，
，…，
和
，
，
…，
都是函数
上的点，且
…
轴，与轴交于点
，
，…
，同时
…
，则
的面积是（ ）．
【答案】D
设点
的坐标是
，代入解析式可以求得
，设
，代入
解析式可以求得
，以此类推可以求得点
的横坐标是
，根据抛物线的轴对称可得
的横坐标是
，
的高是
，计算可得．
【知识点】二次函数与找规律
10
（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
（4 ）
9.
（1 ）
（2 ）
1
（3 ）
【解析】
已知抛物线
交轴于点
与点
，抛物线
交轴于点
与点
，抛物线
交轴于点
与点
，
按此规律，抛物线
交轴于点
与点
，（其中为正整数），我们把
抛物线
，
，
，
称为系数的抛物线族．
试求出
的值．
线段
的长为多少．
探究如下问题：（用含的代数式表示）
抛物线
的顶点坐标为， ．
依此类推第条抛物线
的顶点坐标为 ， ．
抛物线
的顶点
，是否存在
是等腰直角三角形的情况？若存在，求出的值；
若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
（4 ）
．
．
;
存在．理由见解析．
∵抛物线
与点
，对称轴为直
线
，
∴抛物线与轴的另一个交点为
，
∴
．
故答案为：．
由与（）相同的方法可得
，
，
，
按此规律可得
，
∴
．
故答案为：．
∵
交轴于点
与点
，
，
∴
，
∴
，
∴抛物线
的顶点坐标为
．
故答案为：
．
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2
（4 ）
【标注】
∵
交轴于点
与点
，
，
∴
，
∴
，
∴抛物线
的顶点坐标为
；
∴依此类推第条抛物线
的顶点坐标为
，
；
故答案为：，
．
存在，理由：∵
顶点
，
，
∴
，
∵
是等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
∴
，
是等腰直角三角形．
【知识点】二次函数与找规律
10.
【解析】
【标注】
如图，一段抛物线
记为
，它与轴交点为
、
，顶点为
；将
绕点
旋转
得
，交轴于点
，顶点为
；将
绕点
旋转
得
，交轴于点
，
顶点为
，…，如此进行下去，直至得到
，顶点为
，则
的坐标为 ．
【答案】
，
，
，
,
的横坐标是
，
的纵坐标是
．
故答案为：
．
【知识点】二次函数与找规律
12
