文档文本内容
1
与圆有关的计算 题集【A】
1. 不规则图形求面积
基础面积计算
1.
【解析】
【标注】
如图，在
中，
，
，
，半圆的圆心
在
上，且与
，
分别相切于点
，
．则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
设
，则在
中，因为
，所以
，由勾股定理得：
．
即
．
解得
（
舍去）
∴
．
∵半圆的半径为，
∴半圆的面积为
，
∴
．
【知识点】与圆有关的不规则图形的周长与面积计算
阴影
2. 在
中，
，
，将
绕
点逆时针旋转
后得到
，点
经过的路径为 ，则图中阴影部分的面积是 ．
2
【解析】
【标注】
【答案】
;
∵
，
，
∴
，
∴点
B经过的路径长
，
由图可知，
，
由旋转的性质得，
，
∴
．
【知识点】弧长公式
【知识点】与圆有关的不规则图形的周长与面积计算
阴影
扇形
阴影
扇形
A.
B.
C.
D.
3.
【解析】
如图，⊙
的外切正六边形
的边长为，则图中阴影部分的面积为（ ）．
【答案】A
∵六边形
是正六边形，
∴
，
∴
是等边三角形，
，
设点
为
与⊙
的切点，连接
，则
，
∴
，
∴
．
阴影
扇形
3
【标注】【知识点】与圆有关的不规则图形的周长与面积计算
A.
B.
C.
D.
4.
【解析】
【标注】
如图，扇形
的半径为，
，以
为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（
）．
【答案】C
在
中，
，
，
，
，
故
．
故答案为．
【知识点】与圆有关的不规则图形的周长与面积计算
半圆
扇形
阴影
半圆
扇形
5. 如图，已知
，
，将
绕着点
逆时针旋转
，得到
，则图中
阴影部分的面积为 ．
4
【解析】
【标注】
【答案】
∵点
的坐标为
，
，
∵点
的坐标为
，
，
由旋转的性质可知，
，
∴阴影部分的面积
，
故答案为：
．
【知识点】扇形的面积公式
扇形
扇形
6.
【解析】
如图，半径为的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点
与圆心
重合，则图中阴
影部分的面积是 ．
【答案】
如图，连接
交
于点
，连接
、
，
5
【标注】
由题意知，
，且
，
在
中，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
则
，
．
【知识点】扇形的面积公式
弓形
扇形
阴影
半圆
弓形
7.
【解析】
如图，矩形
的边
，
平分
，交
于点
，若点
是
的中点，以点
为
圆心，
为半径画弧，交
于点
，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∵
为
中点，
∴
，
6
【标注】
∴阴影部分面积
．
【知识点】与圆有关的不规则图形的周长与面积计算
【知识点】扇形的面积公式
平行四边形
扇形
A.
B.
C.
D.
8.
【解析】
【标注】
小华家要进行室内装修，设计师提供了如下四种图案的地砖，爸爸希望灰白两种颜色的地砖面积比
例大致相同，那么下面最符合要求的是（ ）．
【答案】D
设正方形的长为，
．
，
∴
．
．
，
∴
．
．
，
∴
．
．
，
∴
．
综上，只有
选项更接近．
【能力】运算能力
【知识点】与圆有关的不规则图形的周长与面积计算
【知识点】扇形的面积公式
阴
正方形
扇
阴
正方形
阴
正方形
圆
阴
正方形
阴
扇
阴
正方形
阴
扇
阴
正方形
拼接法
1.
7
【解析】
【标注】
如图，扇形
的圆心角
，半径
，
为弧
的中点，以
为直径的⊙
与
、
相交于点
、
，则弧
的长为
，图中阴影部分的面积是
．
【答案】
;
弧
的长
；
连接
、
，阴影部分的面积等于扇形
面积减去正方形
的面积，
．
【知识点】与圆有关的不规则图形的周长与面积计算
阴
四边形
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
【标注】
如图，在半径为，圆心角为
的扇形内，以
为直径作半圆，交弦
于点
，连接
，则阴
影部分的面积是（ ）．
【答案】A
在
中，
，
∵
是半圆的直径，
∴
，
在等腰
中，
垂直平分
，
，
∴
为半圆的中点，
∴
．
【知识点】与圆有关的不规则图形的周长与面积计算
阴
扇形
8
A.
B.
C.
D.
3.
【解析】
【标注】
如图，正方形
的内切圆和外接圆的圆心为
，
与
是此外接圆的直径，
，
，
，则图中阴影部分的面积是（ ）．
【答案】A
阴影面积正好等于四分之一圆的面积，扇形的圆心角
，
，
，
由扇形面积公式得
．
【知识点】扇形的面积公式
【知识点】圆中对称性
4.
【解析】
【标注】
如图，平行四边形
中，
，
，
是对角线的交点，若⊙
过
、
两
点，则图中阴影部分的面积之和为 ．
【答案】
∵
，
∴
．
∵四边形
是平行四边形，
∴
．
∵
，
∴
．
【能力】推理论证能力
阴影
阴影
9
【知识点】与圆有关的不规则图形的周长与面积计算
等面积法
1.
【解析】
【标注】
如图，
为⊙
的内接梯形，
，且
为直径．如果⊙
的半径等于，
，那么图中阴影部分的面积等于 ．
【答案】
【知识点】与圆有关的不规则图形的周长与面积计算
【能力】运算能力
2.
【解析】
如图，⊙
的半径为，
，
切⊙
于点
，弦
，连接
，则图中阴影部分的面
积为 ．
【答案】
连接
，
，
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【标注】
∵弦
，
∴
，
∵
切⊙
于
，
∴
，
∵⊙
的半径为，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵弦
，
∴
，
∵
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∴
．
故答案为：
．
【知识点】圆与三角函数
阴影
扇形
2. 动点问题
网格作图类
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1. 如图，在边长为的正方形网格中，
的三个顶点均在格点上．
B
A
C
画出
绕点
逆时针旋转
后的三角形，点
的对应点为
，点
的对应点为
．
求点
所走过的路径的长度．
求线段
所扫过的面积．
11
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
如图所示：
B
A
C
B'
A'
．
．
如图所示：
B
A
C
B'
A'
点
所走过的路径的长度为
．
线段
所扫过的面积
．
【知识点】坐标系中的旋转-图形关于特殊点的旋转
2. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为的正方形，我们把顶点在网格交点上的三角形称为“格点三
角形”，图中的
是格点三角形，建立平面直角坐标系后，点
的坐标为
．
12
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
把
平移，使
移到
点位置得到
，画出
．
把
绕点
按逆时针方向旋转
后得到
，画出
，写出
的坐
标 ．
在（）的条件下线段
旋转到
所扫过的面积为 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
画图见解析．
如图：
∵
，逆时针旋转
后至第二象限，
∴
．
由图可知扫过的面积是两个扇形，圆心角都为
，半径分别为
和
，故扫过的面积
为
．
【知识点】坐标系中的平移-图形的平移
【知识点】坐标系中的旋转-图形关于原点的旋转
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【知识点】扇形的面积公式
【能力】运算能力
多边形滚动问题
1.
【解析】
【标注】
如图，
与
都是等腰直角三角形，
和
都是直角，点
在
边上，
，把
绕点
按顺时针方向旋转度后恰好与
重合，则的值是 ，点
经过的路线的长是 ，线段
在上述旋转过程中所扫过部分的面积是 ．
【答案】
;
;
①
，
②在
中，
，∴
，
∵
，
∴点
经过的路线的长是
的长度．
∴
．
③设在旋转过程中，线段
所扫过部分的面积（即图中阴影部分面积）为，
则
，
∵
，
∴
．
【知识点】扇形的面积公式
扇形
扇形
扇形
扇形
2. 如图，半径为的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线，然后把半圆沿直线进行无滑动滚
动，使半圆的直径与直线重合为止，则圆心
运动路径的长度等于 （结果保留）．
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【解析】
【标注】
【答案】
由图形可知，圆心先向前走
的长度即
圆的周长，
然后沿着
旋转
圆的周长，
则圆心
运动路径的长度为：
．
【知识点】弧长公式
【知识点】旋转的性质
3.
【解析】
如图，已知
，
将
绕点
顺时针旋转
到
的位置，作
轴于
再将
绕点
顺时针旋转
到
的位置，直接写出
和
的坐标 ，并求
第一次
旋转扫过面积 ．（结果保留）
【答案】
，
;
∵在
中
，
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
≌
，
∵
是
绕点
顺时针旋转
得到，
∴
≌
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
，
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【标注】
第一次旋转扫过面积为：
．
【知识点】旋转性质综合应用
4.
【解析】
【标注】
如图，将边长为的正六边形
在直线上由图的位置按顺时针方向向右作无滑动滚
动，当
第一次滚动到图位置时，顶点
所经过的路径的长为 ．
【答案】
顶点
，所经过的路径长为
，
结果为
．
【知识点】弧长公式
5.
【解析】
如图，在平面直角坐标系
中，点
，
，正六边形
沿轴正方向滑动滚
动，当点
第一次落在轴上时，点
的坐标为 ；在运动的过程中，点
的纵坐标的最大值
是 ；保持上述运动过程，经过
的正六边形的顶点是 ．
x
1
2
3
4
y
1
2
3
O
x
1
2
3
4
y
1
2
3
O
【答案】
; ;
或
∵点
，
，
∴
，
，
∴正六边形的边长为：
，
16
∴当点
第一次落在轴上时，
，
∴此时点
的坐标为：
；
如图所示：
x
y
O
图
当滚动到
轴时，
、
、
的对应点分别是
、
、
，连接
，点
，
作
，
，
∵六边形
是正六边形，
∴
，
∴
，
同理可得：
，
∴
，
∴在运动过程中，点
的纵坐标的最大值是：；
如图，∵
，
∴
，
，
∵正六边形滚动个单位长度时正好滚动一周，
∴从点
开始到点
正好滚动
个单位长度，
∵
，
∴恰好滚动
周多个，如图所示，
x
1
2
3
4
5
y
–1
1
2
3
O
图
点纵坐标为：
，
∴会过点
的是点
，
当点
还是在
位置，
则
点在
位置，此时
点在
点的正上方，
，所以
点符合题意．
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【标注】
故答案为：
，，
或
．
【知识点】坐标系中的平移-图形的平移
【知识点】象限内坐标的特征
6.
【解析】
【标注】
如图，边长为的正方形
放置在平面直角坐标系中，顶点
与坐标原点
重合，点
在轴
上．将正方形
沿轴正方向作无滑动滚动，当点
第一次落在轴上时，
点的坐标
是 ，
点经过的路径的总长度是 ；当点
第
次落在轴上时，
点经过的路径的
总长度是 ．
【答案】
;
;
依题可知，向右滚动两次，点
即第一次落在轴上，
；
当点
第一次落在轴上时，
点经过的路径的总长度是
；
依题可知，
点第一次落在轴上，经过的路径的长度是
，
之后每次滚动次再次落在轴上，经过的路径的长度是
，
当点
第
次落在轴上时，
点经过的路径的总长度是
．
【知识点】正方形与平面直角坐标系综合
