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二次函数章节复习：新定义【题集C4】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
【解析】
如图，若抛物线
的顶点
在抛物线
上，抛物线
的顶点
在抛物线
上（点
与点
不重
合），我们把这样的两抛物线
、
互称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可
以有多条．
x
y
O
图
在图中，抛物线：
与
互为“伴随抛物线”，
则点
的坐标为 ，的值为 ．
在图中，已知抛物线
，它的“伴随抛物线”为
，若
与轴交于点
，点
关于
的对称轴对称的对称点为
，请求出以点
为顶点的
的解析式．
x
y
O
图
若抛物
的任意一条“伴随抛物线”的解析式为
，请
写出
与
的关系式，并说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
．
，理由见解析．
∵抛物线：
，
∴此抛物线的顶点坐标
，
∵抛物线过点
，
∴
，
∴
，
故答案为：
，．
2
（2 ）
（3 ）
【标注】
由
化成顶点式，得
，
∴
，对称轴为
，顶点坐标
．
∴点
关于对称轴
的对称点
，
设
，
将顶点
代入得，
，
再将点
代入得，
，
解得：
，
∴
的伴随抛物线
的解析式为：
．
，理由如下：
∵抛物线
的顶点
在抛物线
上，抛物线
的顶点
也在抛物线
上，
∴可以列出两个方程
，
①
②得：
，
∵伴随抛物线的顶点不重合，
∴
．
【知识点】与函数有关的新定义
①
②
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
【解析】
已知是关于的函数，若其函数图象经过点
，则称点
为函数图象上的“偏离点”．例如：
直线
上存在“偏离点”
．
直线
上是否存在“偏离点”？若存在，请求出“偏离点”的坐标；若不存在，
请说明理由．
抛物线
上是否存在“偏离点”？若存在，请求出“偏离点”的坐标；若不存
在，请说明理由．
若抛物线
上有“偏离点”，且“偏离点”为
和
，求
的最小值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
或
．
．
假设直线
上是存在“偏离点”，
∴
，
∴
，
∴“偏离点”的坐标为
．
3
（2 ）
（3 ）
【标注】
假设抛物线
上是存在“偏离点”，
∴
，
∴
或
，
∴“偏离点”的坐标为
或
．
∵抛物线
上有“偏离点”，
∴
，
化简整理得，
，
∵“偏离点”为
和
，
∴
，
∴
，
根据根与系数的关系得，
，
，
∴
，
∴此抛物线对称轴为
，
∵
，
∴
时，
的最小值为
．
【知识点】与函数有关的新定义
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3. 对于二次函数
和一次函数
，把
称为这两个函数的“再生二次函数”，其中是不为零的实
数，其图象记作抛物线
．现有点
和抛物线
上的点
，请完成下列任务：
【尝试】
①当
时，抛物线
的顶点坐标为 ；
②点
（填在或不在）在抛物线
上；
③的值为 ．
【发现】通过②或③的演算可知，对于取任何不为零的实数，抛物线
总过定点，坐标
为 ．
【应用】二次函数
是二次函数
和一次函数
的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出的值；如果不是，说明理由．
4
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
; 在 ;
，
不是，理由见解析．
①将
代入抛物线
中，得：
，
∴此时抛物线的顶点坐标为：
；
②点
在抛物线
上，理由如下：
∵将
代入
，得
，
∴点
在抛物线
上．
③∴将
代入抛物线
的解析式中，得：
．
∵将抛物线
的解析式展开，得：
，
∴抛物线
必过定点
、
．
不是，理由如下：
∵将
代入
，得
，
∴二次函数
的图象不经过点
．
∴二次函数
不是二次函数
和一次函数
的
“再生二次函数”．
【知识点】与函数有关的新定义
