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二次函数章节复习：新定义【题集C7】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
小白在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数
（
是常数）与
（
是常数) 满足
，
，
，则称这两个函数互为“旋转函数”．求
函
数的“旋转函数”小白是这样思考的：由
函数
，
，
，根
据
，
，
求出
，
，
，就能确定这个函数的“旋转函数”．请
参考小白的方法解决下面的问题：
直接写出函数
的“旋转函数”．
若函数
与
互为“旋转函数”,求
．
设点
在抛物线
的图象上，证明：点
关于原点的对称点在抛物
线的“旋转函数”图象上．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
的值为
．
证明见解析．
在
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
可得函数
的“旋转函数”为
．
根据题意得
，
解得
．
．
证明点
关于原点对称的点为
，则点
关于原点对称的点的坐标为
．
抛物线
的“旋转函数”解析式
为
．把点
代入得到
，
则
，即点
在抛物线
上，所以点
关于原点的对称点在抛物线的“旋转
2
【标注】
函数”上．
【知识点】与函数有关的新定义
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2. 如图①，直线
与，轴分别相交于
，
两点，将
绕点
逆
时针旋转
，得到
，过点
，
，
的抛物线
叫做的关联抛物线，而叫做
的关联直
线．
图
若
，若
表示的函数解析式为 .
若
，则表示的函数解析式为 ．
如图②，若
，
的对称轴与
相交于点
，点
在上，点
在
的对称轴
上，当以点
，
，
，
为顶点的四边形是以
为一边的平行四边形时，求点
的坐标．
图
如图③，若
，
为
中点，
为
中点，连接
，
为
中点，连接
．若
，求出，
表示的函数解析式．
图
3
（1 ）
方法一：
（2 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
或
．
；
．
若
，则
，
，
∵将
绕
逆时针旋转
，得到
，
∴
，
设
表示的函数解析式为：
，
将点
坐标代入得：
，
解得
，
∴
表示的函数解析式为：
，
若
，则
，
，
∴
，
设表示的函数解析式：
，
∴
，解得
，
∴
．
若
，则
，
，
∴
，
，
∴
解析式：
，
的对称轴为
，
，
，
设
，
．
①
为对角线时
，
∴
，
∴
．
②
为对角线时，
，
∴
，
∴
，
4
方法二：
（3 ）
综上，
或
．
若
，则
、
，
∴
、
，求得直线
的解析式为：
，可求得
的对称轴为
．
∵
，且
．
设直线
的解析式为：
，
∵点
、点
的横坐标相差，
∴点
、点
的横坐标也是相关，
则
，
解得
或
，
∵点
在直线
上，
∴点
坐标为
或
．
若
，则直线
为：
，
当
时，
，
∴
，
若
，则直线
为：
，
当
时，
，∴
．
∴满足条件的点
有个，
如图所示：
点
坐标为
、
．
连
、
，
5
【标注】
∵
、
为斜边中点，
∴
，
，
由旋转性质可知
，
，
∴
为等腰直角三角形，
∵
为
中点，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
，解得
，
∵
在轴正半轴，
∴
舍去，
∴
，
∴
，
∴
，
，
又
，
∴
．
【知识点】与函数有关的新定义
3. 研究发现，抛物线
上的点到点
的距离与到直线：
的距离相等．如图所示，
若点
是抛物线
上任意一点，
于点
，则
．
基于上述发现，对于平面直角坐标系
中的点
，记点
到点
的距离与点
到点
的距离之和的
最小值为，称为点
关于抛物线
的关联距离；当
时，称点
为抛物线
6
（1 ）
1
2
（2 ）
（1 ）
1
2
（2 ）
【解析】
的关联点．
在点
，
，
，
中，抛物线
的关联点是 ．
如图，在矩形
中，点
，点
．
若
，点
在矩形
上，求点
关于抛物线
的关联距离的取值范
围．
若矩形
上的所有点都是抛物线
的关联点，则的取值范围是 ．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
、
．
，
；
当
时，
，
，
，
，
此时矩形
上的所有点都在抛物线
的下方，
∴
．
∴
．
∵
，
，
∴
．
．
7
【标注】【知识点】与函数有关的新定义
