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1
二次函数章节复习：几何背景的动点压轴【题集C
2】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在
中，
，
，
点在
上，从
点到
点运动（不包括
点），点
运动的速度为
；
点在
上从
点运动到
点（不包括
点），速度为
．若
点
、
分别从
、
同时运动，且运动时间记为秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．
A
B
C
P
Q
当为何值时，
、
两点的距离为
？
当为何值时，
的面积为
？
请用配方法说明，点
运动多少时间时，四边形
的面积最小？最小面积是多少？
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
或
．
当点
运动
秒时，四边形
的面积最小为：
．
∵在
中，
，
，
∴
，
设经过
后，
、
两点的距离为
，
后，
，
，
根据勾股定理可知
，
代入数据
；
解得
或
（不合题意舍去）．
设经过
后，
的面积为
后，
，
，
解得
，
，
经过
或
后，
的面积为
．
2
（3 ）
【标注】
设经过
后，
的面积最大，则此时四边形
的面积最小，
后，
，
，
当
时，即
时，
的面积最大，
即：
，
∴四边形
的面积最小值为：
，
当点
运动
秒时，四边形
的面积最小为：
．
【知识点】二次函数与动点问题
最大
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2. 如图①，
中，
，
，它的顶点
的坐标为
，顶点
的坐标为
，
，点
从点
出发，沿
→
→
的方向匀速运动，同时点
从点
出发，
沿轴正方向以相同速度运动，当点
到达点
时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒．
C1
图
当点
在
上运动时，
的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物
线的一部分，（如图②），则点
的运动速度为 ．
图
求（）中面积与时间之间的函数关系式及面积的最大值及取最大值时点
的坐标．
如果点
，
保持（）中的速度不变，那么点
沿
边运动时，
的大小随着时间的
增大而增大，沿着
边运动时，
的大小随着时间的增大而减小，当点
沿这两边运
动时，使
的点
有 个．
3
（1 ）
C1
图
（2 ）
（3 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
个单位/秒
，有最大值为
，
．
由图形可知，当点
运动了秒时，它到达点
，此时
，因此点
的运动
速度为
个单位/秒，点
的运动速度为个单位/秒．
如图①，过
作
轴，
∵点
的运动速度为个单位/秒，
∴秒钟走的路程为
，即
，
∵顶点
的坐标为
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，又
，
∴
，即为
中
边上的高，
而
，
，可得
，
∴
（
），
∵
，
，
∴当
时，有最大值为
，此时
．
当点
沿这两边运动时，
的点
有个，
①当点
与点
重合时，
，
当点
运动到与点
重合时，
的长是
单位长度，
作
交轴于点
，
作
轴于点
，
由
得：
，
∴
，从而
，
∴当点
在
边上运动时，
4
【标注】
的点
有个．
②同理当点
在
边上运动时，可算得：
，
而构成直角时交轴于
，
，
∴
，
从而
的点
有个．
∴当点
沿这两边运动时，
的点
有个．
【知识点】二次函数与动点问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3. 如图，在
中，
，
，
．点
、
、
分别是边
、
、
的中点，连接
、
，动点
，
分别从点
、
同时出发，运动速度均为
，点
沿
的方向运动到点
停止．点
沿
的方向运动，当点
停止运动时，点
也停止
运动．在运动过程中，过点
作
的垂线交
于点
，以点
、
、
、
为顶点作平行四边形
．设平行四边形边形
与矩形
重叠部分的面积为
（这里规定线段是面
积为的几何图形），点
运动的时间为
．
当点
运动到点
时，
．
在点
从点
运动到点
的过程中，某一时刻，点
落在
上，求此时
的长度．
当点
在线段
上运动时，求与之间的函数关系式．
5
（1 ）
（2 ）
【解析】
（备用图）
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
当点
运动到点
时，
∵
为
的中点，
，
∴
，
∵
和
的运动速度都是
，
∴
，
∴
．
设在点
从点
运动到点
的过程中，点
落在
上，如图，
则
，
，
的长度为
．
图
6
（3 ）∵
、
、
分别是
、
、
的中点，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
分为三种情况：①当
时，重叠部分图形为平行四边形，如图，
图
．
即
．
②当
时，重叠部分为矩形，如图，
图
．
即
．
7
【标注】
③当
时，重叠部分图形为矩形，如图，
图
．
即
．
综上所述，当
时，
．
②当
时，
．
③当
时，
．
则与之间的函数关系式是：
．
【知识点】二次函数与动点问题
