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勾股定理【章节复习】题集【A】
一、选择题
A. 三个内角之比为
B. 一边上的中线等于这一边的一半
C. 三边之长为
、
、
D. 三边之比为
1.
A
选项：
B
选项：
C
选项：
D
选项：
【解析】
【标注】
下列三角形中，不是直角三角形的是（ ）．
【答案】D
设三个内角为
、
、，则
，解得
，此时三个内
角分别为
、
、
，该三角形是直角三角形．
一边上的中线等于这一边的一半的三角形是直角三角形．
，满足勾股定理逆定理，该三角形是直角三角形．
设三角形的三边长为
，
，
，则
，不满足勾股定理逆定
理，不是直角三角形．
故选
D
.
【知识点】勾股逆定理的应用
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
【标注】
若直角三角形的两条直角边长分别为
，
，则斜边上的高为（ ）．
【答案】D
直角三角形两直角边长为
、
，
∴斜边
，
设斜边上高为，
根据三角形面积相等，
∴
∴
．
故选
．
【知识点】直接用勾股求边长
2
A. 不是直角三角形
B. 是以为斜边的直角三角形
C. 是以为斜边的直角三角形
D. 是以为斜边的直角三角形
3.
【解析】
【标注】
已知
的三边长分别为，，，且满足
，则
（
）．
【答案】D
∵
，
∴
，解得
，
∵
，
∴是以为斜边的直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理
A.
B.
C.
D.
4.
【解析】
【标注】
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为，则网格上的三角形
中，边长为无理数的边数
是（ ）．
【答案】C
根据题意得：
，
，
，
所以边长为无理数的边数有个．
【知识点】巧用网格作无理数边长
3
A.
B.
C.
D.
5.
【解析】
【标注】
如图，网格中每个小正方形的边长均为，点
，
，
都在格点上，以
为圆心，
为半径画弧，
交最上方的网格线于点
，则
的长为（ ）．
【答案】C
如图所示：
连接
，
在
中，
∵圆的半径处处相等，
∴
，
∴
，
又
，
∴
，
∴
．
故选．
【知识点】勾股定理与实际问题
【能力】运算能力
【思想】数形结合思想
6. 如图，在
的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，
的三个顶点均在格点上，则
边上的高为（ ）．
4
A.
B.
C.
D.
【解析】
【标注】
【答案】A
设
中，
边上的高为，
∵
，
，
，
∴
，
∴
．
，即
．
∴
．
【知识点】勾股逆定理的应用
二、填空题
1.
【解析】
如图，数轴上有两个
、
，
、
是斜边，且
，
，
，
，分别以
为圆心，
、
为半径画弧交轴于
、
，则
、
分别对应的数
是 ．
【答案】
，
在
中，
，
∴
，
∴点
对应的数为
．
在
中，
，
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【标注】
∴
，
∴点
对应的数为
．
【知识点】勾股定理与几何问题
2.
【解析】
【标注】
如图，已知圆柱底面的周长为
，圆柱高为
，在圆柱的侧面上，过点
和点
嵌有一圈金属
丝，则这圈金属丝的周长最小为 ．
【答案】
如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为
的长度．
∵圆柱底面的周长为
，圆柱高为
，
，
，
，
，
∴这圈金属丝的周长最小为
．
【知识点】勾股定理与展开图最短路径问题
3.
【解析】
如图，正方形
中，
，
是
的中点，点
是对角线
上一动点点，则
的
最小值为 ．
【答案】
将军饮马问题．
因为四边形
是正方形，
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【标注】
点
关于
对称的点刚好是点
，
连接
，
的长度即是
的最小值．
因为
，则
，
因为
是
的中点，
所以
，
在
中，
，
所以
，
故答案为
．
【知识点】动点与特殊平行四边形问题
4.
【解析】
【标注】
如图，
中，
，
垂直平分
，垂足为
，
，且
，
，则
的长为 ．
【答案】
由题得
≌
，
∴
，
设
，连
，
，
∴
，即
．
【知识点】勾股定理与全等
三、解答题
1. 如图，
中，
于点
，
，
，
．
7
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
求
的长．
求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
∵
于点
，
∴
，
又∵
，
，
，
∴
．
．
【知识点】解直角三角形的综合应用
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
【解析】
如图，在
中，
，
，
，
．
求
的周长．
判断
是不是直角三角形？为什么？
【答案】（1 ）
（2 ）
．
不是直角三角形．
在
和
中，根据勾股定理得
，
．
又
，
，
，
∴
，
．
8
（2 ）
【标注】
周长
．
，
，
，
，
∴
不是直角三角形．
【知识点】勾股定理的综合应用
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，在四边形
中，
，
，
，
．
求
的度数．
求四边形
的面积．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
连接
，如图所示：
∵
，
，
∴
，
，
，
在
中，
∵
，
∴
，
∴
．
四边形
的面积
的面积
的面积
．
【知识点】勾股定理的综合应用
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4.
【解析】
【标注】
如图，已知
中，
，
，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且
，之间的距离为，，之间的距离为，求
的长．
【答案】
．
作
于
，作
于
，
∵
，
∴
．
又
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
在
中，根据勾股定理，得
，
在
中，根据勾股定理，得
．
【知识点】勾股定理与全等
5. 如图，在
的正方形网格中，每个小正方形的边长都为．
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
求
的周长．
求证：
．
若点
为直线
上任意一点，则线段
的最小值为 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
证明见解析．
，
，
，
的周长
．
∵
，
，
，
∴
，
∴
．
过
作
，
∵
的面积
，
即
，
解得
，
故答案为：．
【知识点】勾股逆定理的应用
（1 ）
（2 ）
6. 定义：如图，点
，
把线段
分割成
，
和
，若以
，
，
为边的三角形
是一个直角三角形，则称点
，
是线段
的勾股分割点．
图
图
已知点
，
是线段
的勾股分割点，若
，
求
的长．
如图，在
中，
，点
，
在斜边
上，
，求证：点
，
是线段
的勾股分割点．
【答案】（1 ）
．
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（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
（2 ）证明见解析.
当
最长时，
，
当
最长时，
．
如图，过点
作
，且
，
证
≌
，
∴
，
，
再证：
，
证
≌
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
∴点
，
是线段
的勾股分割点．
【知识点】勾股定理与全等
