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1
二次函数章节复习：函数背景的动点压轴【题集C
1】
（1 ）
1
2
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
【解析】
如图所示，抛物线
与轴交于
，
两点，与轴交与点
，其中
，
两点的坐
标分别为
．点
从点
出发以每秒个单位长度的速度沿线段
向终点
运动；同时
点
从点
出发，以相同的速度沿线段
向终点
运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随
之停止运动，连接
．设点
运动的时间为秒．
O
P
Q
D
C
B
A
求抛物线及直线
的函数表达式．
设点
关于直线
的对称点为点
，连接
，
．
当
轴时，求证：
．
在运动的过程中，点
有可能落在抛物线
上吗？若能，请求出此时
的值；若不能，请说明理由．
在运动的过程中，请直接写出当点
落在
外部时的取值范围．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
（3 ）
．
证明见解析．
．
把
，
两点的坐标分别代入
中，
得
解得
∴抛物线的函数表达式为
．
∴抛物线
与轴交于点
，
∴点
的坐标为
．
2
1
2
（2 ）
设直线
的函数表达式为
，把
，
两点的坐标代入得
解得
∴直线
的函数表达式为
．
由对称性知：
．
∵
轴，
∴
.
∴
．
∴
.
∴
．
能．
∵
，
两点的坐标分别为
，
∴
，
．
在
中，∵
，
∴
．
∴
．
∵
，
两点的坐标分别为
，
∴
.
∴
．
作
轴于点
，如图所示．
O
P
Q
D
C
B
A
E
在
中，∵
，
∴
.
∴
．
∴点
的坐标为
．
把点
的坐标代入
得
3
（3 ）
【标注】
，
解得
(不合题意，舍去)．
∴的值为．
略．(说明：学生写成
也给分)．
【知识点】二次函数与动点问题
x
y
O
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
【解析】
如图，二次函数
的图象与轴交于
，
，与轴交于点
．若点
，
同时从
点出发，都以每秒个单位长度的速度分别沿
，
边运动，其中一点到达端点时，另
一点也随之停止运动．
求该二次函数的解析式及点
的坐标．
当点
运动到
点时，点
停止运动，这时，在轴上是否存在点
，使得以
，
，
为顶点
的三角形为等腰三角形？若存在，请求出
点坐标．若不存在，请说明理由．
当
，
运动到秒时，
沿
翻折，点
恰好落在抛物线上
点处，请判定此时四边
形
的形状，并求出
点坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
；
．
或
或
．
四边形
为菱形，
点坐标为
．
∵二次函数
的图象与轴交于
，
，
∴
，
解得
，
∴
．
4
（2 ）
∴
．
存在．
如图，过点
作
于
，此时
，
∵
，
，
，
，
∴
，
，
，
∴
，
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
．
①作
的垂直平分线，交
于
，此时
，即
为等腰三角形，
设
，则
，
，
∴在
中，
，解得
，
∴
，
∴
．
②以
为圆心，
长半径画圆，交轴于
，此时
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
③当
时，
当
在
点左边时，
∵
，
∴
．
5
x
y
O
（3 ）
【标注】
当
在
点右边时，
∵
，
∴
．
综上所述，存在满足条件的点
，点
的坐标为
或
或
或
．
四边形
为菱形，
点坐标为
．理由如下：
如图，
点关于
与
点对称，过点
作，
于
，
∵
，
，
，
∴
，
∴四边形
为菱形，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
在二次函数
，
∴
，
∴
，或
（与
重合，舍去），
∴
．
【知识点】二次函数与动点问题
3. 如图，在平面直角坐标系
中，半圆的圆心点
在轴上，直径
，点
是半圆上一点，
，二次函数
的图象经过点
、
、
．动点
和点
同时从点
出
发，点
以每秒个单位的速度从
点运动到点
，点
以每秒两个单位的速度在
上运动，当点
运动到点
时，点
随之停止运动．点
是点
关于二次函数图象对称轴的对称点，顺次连接点
、
、
，设点
的运动时间为秒，
的面积为．
6
x
y
O
B
A
C
Q
P
D
x
y
O
B
A
C
Q
P
D
备用图
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
【解析】
求二次函数
的表达式．
当
时，直接写出点
的坐标．
在点
和点
运动的过程中，
的面积存在最大值吗？如果存在，请求出此时的值和
面积的最大值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
二次函数的解析式为
．
．
当
时，
的面积的最大值为
．
连接
．
x
y
O
B
A
C
Q
P
D
∵
为半圆的圆心，
，
∴
．
∵
，
∴
为等边三角形，
∴
．
易知
，
，
∴二次函数图象的对称轴为
．
将点
，
分别代入
，
解得：
，
7
（2 ）
（3 ）
∴
．
．
连接
、
，延长
、
交于点
．
x
y
O
B
A
C
Q
P
D
E
∵
，
，
∴
，
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
．
∵
为半圆的直径，
∴
，
∴
，
在
中，
．
连接
，
∵点
是点
关于二次函数图象对称轴的对称点，
∴
．
∵
且对称轴为
，
∴
，
∴
．
∴四边形
为平行四边形，
∴
，
∴
．
在
中，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
8
【标注】
即
．
∴当
时，
的面积的最大值为
．
【知识点】二次函数与动点问题
