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1
二次函数章节复习：函数背景的动点压轴【题集C
3】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在平面直角坐标系中，已知矩形
的三个顶点
、
、
．以
为
顶点的抛物线
过点
．动点
从点
出发，沿
边向点
运动，同时动点
从点
出发，沿
边向点
运动，点
、
运动的速度均为每秒个单位，运动的时间为秒．过点
作
交
于点
，过点
作
于点
，交抛物线于点
．
O
B
A
D
C
E
P
F
G
Q
求抛物线的解析式．
当为何值时，四边形
的面积最大？最大值为多少？
动点
、
运动过程中，在矩形
内（包括其边界）是否存在点
，使以
，
，
，
为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出此时菱形的周长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
当
时，四边形
的面积最大，最大值为．
或
．
由题意得，顶点
点的坐标为
．
设抛物线的解析式为
，
∵抛物线经过点
，代入
可求得
∴抛物线的解析式为
，即
．
由题意知，
，
∵
，
∴
．
∴
，
∴
．
2
（3 ）
∴点
的横坐标为
，
．
将
代入
，得
．
∴点
的纵坐标为
，
∴
．
如图所示：连接
．
O
B
A
D
C
E
P
F
G
Q
图
，即
．
．
∴当
时，四边形
的面积最大，最大值为．
∵
，
，
∴
，
．
∴
．
∵
，
∴
．
如图所示：当
和
为菱形的邻边时，
．
O
B
A
D
C
E
P
F
Q
图
∵
，
∴
，即
，解得
．
四边形
四边形
3
【标注】
∴菱形
的周长
．
如图所示：当
为菱形的对角时，则
，过点
作
，则
．
O
B
A
D
C
E
P
F
Q
M
图
∵
，
∴
．
∴
．
∵
，
∴
，解得：
．
∴菱形
的周长为
．
综上所述，菱形
的周长为
或
．
【知识点】二次函数顶点式
2. 综合与探究
如图，抛物线
与轴交于
，
两点，与轴交于点
，连接
，
，一动点
从点
出发，沿线段
向终点
以每秒个单位长度的速度运动．同时，点
从点
出发，以相同的速度沿线段
向终点
运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随
之停止运动，连接
，设
，
两点运动的时间为秒．
O
A
B
C
P
Q
O
A
B
C3
P
Q
备用图
4
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
O
A
B
C
P
Q
M
（2 ）
（3 ）
【解析】
求抛物线的表达式．
在点
，
运动的过程中，
能否成为等腰三角形，若能，请求出的值；若不能，请说
明理由．
作点
关于直线
的对称点为
，连接
，
．当四边形
的面积最小时，判断点
是否在该抛物线上．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
的值为
时，
是等腰三角形．
不在
将
两点的坐标分别代入
中，得
解，得
∴抛物线的表达式为
．
由题知，
．当
时，
，
∴
．
∵
，
两点的坐标分别为(
，)，(
，)，
∴
，
∴
．
在
中，由勾股定理得
．
是等腰三角形，分以下三种情况：
①当
时，
．解，得
；
②当
时，如图过点
作
于点
．
∴
，
．
∴
．
∴
．解，得
；
③当
时，同理可得
；
综上所述，的值为
时，
是等腰三角形．
由( )知，在
中，
．
5
O
A
B
C
P
Q
M
D
【标注】
∴四边形
的面积为
．
∵
，
∴
时，
四边形
的面积有最小值．
此时
，
．
∴
，
∴
．
如图，点
与点
关于直线
对称，
∴
，
．
∴
，
∴
．
当四边形
的面积取最小值时，
．
．
．
∴点
的坐标为(
，
)．
∵
，
，
∴
．
∴点
的坐标为(
，
)．
当
时，
，
∴点
不在抛物线
上．
【知识点】二次函数与动点问题
3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数
的图象与坐标轴交于
、
、
三点，其
中点
的坐标为
，点
的坐标为
，连接
、
．动点
从点
出发，在线段
上以
每秒个单位长度的速度向点
作匀速运动；同时，动点
从点
出发，在线段
上以每秒个单位
长度的速度向点
作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为秒，
连接
．
6
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
在点
、
运动过程中，
可能是直角三角形吗?请说明理由．
在轴下方，该二次函数的图象上是否存在点
，使
是以点
为直角顶点的等腰直角
三角形?若存在，请求出运动时间；若不存在，请说明理由；
如图，点
的坐标为
，线段
的中点为
，连接
，当点
关于直线
的对
称点
恰好落在线段
上时，请直接写出点
的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
不可能是直角三角形，理由见解析．
．
．
可求得解析式：
，得
易知运动过程中，
、
不为直角，只可能
为直角，
，∴
此前
已到达
点，停止运动，矛盾，
故
不可能是直角三角形．
（构造三垂直）．
略．
【知识点】二次函数与动点问题
