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二次函数章节复习：几何背景的动点压轴【题集C
3】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
【解析】
等腰
的直角边
，点
、
分别从
、
两点同时出发，均以
的相同
速度作直线运动，已知
沿射线
运动，
沿边
的延长线运动，
与直线
相交于点
．设
点运动时间为．
的面积为．
求出关于的函数关系式．
当点
运动几秒时，
？
作
于点
，当点
、
运动时，线段
的长度是否改变？证明你的结论．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
当
时，
，
当
时，
．
点
运动到
秒时，
．
的长度不变，证明见解析．
由题意得，当
时，
，
，
在
中，
，
当
时，
，
．
2
（2 ）
（3 ）
【标注】
，因为
，
当
时，可列方程
，无解，
当
时，
，解得
或
，
因为
，所以
，
故点
运动到
秒时，
．
的长度不改变．如图所示，过
点作
的延长线的垂线交
的延长线于点
，
因为
，
，
则
，且
是等腰直角三角形，
故
，
由对顶角相等的性质可知
，
在
和
，
，
∴
≌
，
∴
，
∵
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
因为
的长度不变，故
的长度不变．
【知识点】二次函数与动点问题
2. 如图，在矩形
中
，
，
为
中点，动点
从点
开始沿
方向运动到点
停止，动点
从点
开始沿
方向运动，与点
同时出发，同时停止．这两点的运动速度均
为每秒个单位．若设他们的运动时间为（秒），
的面积为．
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（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
求出与之间的函数关系，并注明自变量的取值范围．
在点
运动过程中，
面积是否有最小值？若有，求出此最小值，并求出运动时间；若
没有，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
有，
时，
面积有最小值
．
当
时，点
运动到点
，此时运动停止．
当
时，点
运动到点
，此后点
沿着
运动．
当
时，
．
．
当
时，
．
．
综上所述，
．
当
时，
当
时，有最小值
当
时，
综上所述，当运动时间
时，
面积有最小值
．
【知识点】二次函数与动点问题
3. 已知：矩形
的顶点
在平面直角坐标系的原点，边
、
分别在、轴的正半轴上，且
，
，点
从点
出发沿
向终点
运动，点
从点
出发沿
向终点
运
动，点
、
同时出发，且运动的速度均为
秒，当其中一个点到达终点时，另一点即停止运
动．设运动的时间为秒．
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
当点
运动秒时，求点
的坐标．
试求出多边形
的面积与的函数关系式．
为何值时，以
的一边所在直线为对称轴翻折
，翻折前后的两个三角形所组成
的四边形为菱形．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
多边形
的面积
．
的值为，
或
．
∵
，
∴
，
．
过
作
轴，作
轴．
∴
，
∴
，即
．
∴
．
由勾股定理得：
，
，
∴
．
由（）得
，
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（3 ）
∴
，
∴
点坐标为
．
∵多边形
由
和
组成，
∴
，
，
∴多边形
的面积
．
①直线
为对称轴时，翻折
得到
，
此时组成的四边形为
，
当
，四边形
是菱形．
即
，
∴
∴
．
②直线
为对称轴时，翻折
得到
，
此时组成的四边形为
，连结
，交
于点
．
当
与
互相垂直平分时，四边形
是菱形．
即
，
，
∴
，
∴点
是
的中点，
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【标注】
∴
，
∴
③直线
为对称轴时，翻折
得到
，
此时组成的四边形为
，连结
，交
于点
．
当
与
互相垂直平分时，四边形
是菱形．
即
，
，
由面积法可求得
，
在
中，由勾股定理得，
．
∴
，
∴
．
综上所述，的值为，
或
．
【知识点】动点与特殊平行四边形问题
