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1
二次函数章节复习：函数背景的动点压轴【题集C
6】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
【解析】
如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与轴交与点
，与轴交于
、
两点，点
坐标为
，抛物线的对称轴方程为
．
求抛物线的解析式．
点
从
点出发，在线段
上以每秒个单位长度的速度向
点运动，同时点
从
点出发，
在线段
上以每秒个单位长度的速度向
点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停
止运动，设
的面积为，点
运动时间为，试求与的函数关系，并求的最大
值．
在点
运动过程中，是否存在某一时刻，使
为直角三角形？若存在，求出值．若
不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
，运动秒时
的面积最大，最大面积是
．
或
时，
为直角三角形．
∵点
坐标为
，抛物线的对称轴方程为
．
∴
，
把点
、
、点
，分别代入
，得
，
解得
，
所以该抛物线的解析式为：
．
2
（2 ）
（3 ）
设运动时间为秒，则
，
．
∴
．
由题意得，点
的坐标为
．
在
中，
．
如图，过点
作
于点
．
∴
，
∴
，
∴
，即
，
∴
．
∴
，
当
存在时，
，
∴当
时，
．
∴
，运动秒时
的面积最大，最大面积是
．
如图，
在
中，
．
设运动时间为秒，则
，
．
∴
．
最大
3
【标注】
当
时，
，即
，
化简，得
，解得
，
当
时，
，
化简，得
，解得
，
综上所述：
或
时，
为直角三角形．
【知识点】二次函数与动点问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2. 如图，二次函数
的图象交轴于
、
两点，交轴于点
，连接
，
动点
以每秒个单位长度的速度从
向
运动，动点
以每秒
个单位长度的速度从
向
运动，
、
同时出发，连接
，当点
到达
点时，
、
同时停止运动，设运动时间为秒．
求二次函数的解析式．
如图，当
为直角三角形时，求的值．
x
y
O
如图，当
时，延长
交轴于点
，在抛物线上存在一点
，使得
的中点恰为
的中点，请直接写出
点的坐标．
x
y
O
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
或
．
4
（1 ）
（2 ）
【解析】
∵二次函数
的图象经过
、
两点，
∴
，
解得
，
∴二次函数的表达式是：
．
∵
，
∴点
的坐标是
，
①如图
x
y
O
当
时，
∵经过秒，
，
，
．
∵
，
∴
．
∴
，
∴
，
解得
．
即当
时，
为直角三角形．
②如图
x
y
O
当
时，
∵
，
∴
．
5
（3 ）
∵
，
，
∴
，
解得
，
即当
时，
为直角三角形．
综上，当
为直角三角形，
或
．
点的坐标是
如图：
x
y
O
延长
交抛物线于点
，
是
的中点，
设
所在的直线的解析式是
，
∵点
的坐标是
，点
的坐标是
，
，
解得
．
∴
所在的直线的解析式是
，
∴点
的坐标是
．
∵
，
，
∴
的中点
的坐标是
，
假设
的中点恰为
的中点，
∵
，
，
∴点
的坐标是
，
又∵点
在抛物线上，
∴
，
∴点
的坐标是
，
6
【标注】
解得
或
，
∵
，
∴
，
∴当
时，延长
交轴于点
，当
时在抛物线上存在一点
，
使得
的中点恰为
的中点．
【知识点】一次函数与二次函数的交点
O B
A
C
备用图
O B
A
D
C
（1 ）
1
2
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
【解析】
综合与探究，如图，抛物线
与轴交于
，
两点（点
在点
的左
侧），与轴交于点
，直线经过
，
两点，点
从点
出发以每秒个单位长度的速度向终点
运
动，连接
，将线段
绕点
顺时针旋转
得到线段
，连接
，
．设点
运动的时
间为
，请解答下列问题：
求点
的坐标与直线的表达式．
解答下列问题．
直接写出点
的坐标（用含的式子表示），并求点
落在直线上时的的值．
求点
运动的过程中线段
长度的最小值．
在点
运动的过程中，在直线上是否存在点
，使得
是等边三角形？若存在，请直接
写出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
（3 ）
，
．
．
．
存在，
．
当
时，
，解得
，
，
∵点
在点
的左侧，
7
1
2
（2 ）
∴
，
，
由解析式得
，
设直线的表达式为
，将
，
两点坐标代入得
．
故直线的表达式为
．
当点
在
上运动时，如图，
O B
A
C
M
D
N
由题意可知
，
，
，过点
作轴的垂线垂足为
，
，
，
∴
，
在
与
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
．
同理，当点
在
上运动时，如图，
O
B
A
C
M
D
N
，
≌
，
，
，
，
∴
．
综上得，
．
将
点坐标代入直线解析式得
，
线段
是等腰直角三角形
斜边，若
最小，则
最小，
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（3 ）
【标注】
∵
在
上运动，
∴当
时，
最短，
最短，即
，根据勾股定理得
最
小
．
当点
在
上运动时，如图，即
时，
O B
A
C
M
D
N
P
Q
∵
，
∴
，
∵
是等边三角形，
∴
，
，
∴
，
，
，
，
，
，解得
，
经检验
是此方程的解，
过点
作轴的垂线交于点
，易知
≌
，
∴
，
，
，
；
同理，当点
在
上运动时，即
时，
∵
是等边三角形，
∴
，
，
∴
，
，
，
，
，解得
，
经检验
是此方程的解，
（不符合题意，舍）．
故
．
【知识点】二次函数与动点问题
