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1
二次函数章节复习：函数背景的动点压轴【题集C
5】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，矩形
的两边在坐标轴上，连接
，抛物线
经过
，
两点，动点
由点
出发以每秒个单位的速度沿
边向点
运动，设点
的运动时间为秒
．
求
点坐标及线段
的长．
若点
同时又点
出发以每秒
个单位的速度沿
边向点
运动，当以
，
，
为顶点的
三角形与
相似时，求点
的坐标．
若点
同时由点
出发以每秒个单位的速度沿
边向点
运动，当
时，对于抛物
线对称轴上的一点
，
，求点
的纵坐标的取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
点
的坐标是
，
．
或
．
或
．
令
，得
，
∴点
的坐标是
，
把
代入抛物线得
，
解得
，
，
∴
．
设运动时间为，则
，
，
，
，
当
和
相似时，
则有
或
，
2
（3 ）
当
时，
，解得
，
∴
，
∴点
的坐标是
．
当
是 ，
，解得
，
∴
，
∴点
的坐标是
．
综上，点
的坐标为
或
．
设时间为，则有
，
，
当
时，则有
，
∴
，解得：
，
∴
，
即此时点
、
为
和
的中点，
∴
，
，
∴直线
的解析式为
，
作点
关于直线
的对称点
，
则
，
∴直线
的解析式为
，
把
代入，解得
，
∴直线
的解析式为
，
设
，
∵
，
∴
，
∴
，
解得：
，
，
∴点
的坐标是
，
∴直线
的解析式为
，
当
时，
，
∴点
的坐标是
，
3
【标注】
则当点
在点
上方或者在点
的下方时，
．
故点
的纵坐标的取值范围为
或
．
【知识点】二次函数与动点问题
（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
2.
（1 ）
【解析】
如图，直线
与轴、轴分别相交于
、
两点，抛物线
（
）经过点
．
求该抛物线的函数表达式．
已知点
是抛物线上的一个动点，并且点
在第一象限内，连接
、
，设点
的横坐
标为
，
的面积为，求与
的函数表达式，并求出的最大值．
在（）的条件下，当取得最大值时，动点
相应的位置记为点
．
写出点
的坐标．
将直线绕点
按顺时针方向旋转得到直线，当直线与直线
重合时停止旋转，在
旋转过程中，直线与线段
交于点
，设点
、
到直线的距离分别为
、
，
当
最大时，求直线旋转的角度．（即
的度数）
【答案】（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
．
，最大值为
．
．
．
令
代入
，
∴
，
∴
，
把
代入
，
∴
，
∴
，
4
（2 ）
1
（3 ）
∴二次函数解析式为：
．
令
代入
，
∴
，
∴
或，
∴抛物线与轴的交点横坐标为
和，
∵
在抛物线上，且在第一象限内，
∴
，
过点
作
轴于点
，交
于点
，
由题意知：
的坐标为
，
∴
的纵坐标为：
，
∴把
代入
，
∴
，
∴
的坐标为
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴当
时，
有最大值，最大值为
．
由（）可知：
的坐标为
．
5
2
【标注】
过点
作直线
，过点
作
于点
，
根据题意知：
，
备用图
此时只要求出
的最大值即可，
∵
，
∴点
在以
为直径的圆上，
设直线
与该圆相交于点
，
∵点
在线段
上，
∴
在优弧
上，
∴当
与
重合时，
可取得最大值，
此时
，
∵
，
，
，
∴由勾股定理可求得：
，
，
，
过点
作
于点
，
设
，
∴由勾股定理可得：
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
．
【知识点】二次函数与动点问题
6
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知直线
与轴交于点
，与轴交于点
，抛物线
经过点
和点
，动点
在轴上以每秒个长度单位的速度由抛物线与轴的另一个交点
向点
运动，点
由点
沿线段
向点
运动且速度是点
运动速度的倍．
求此抛物线的解析式和直线的解析式．
如果点
和点
同时出发，运动时间为（秒），试问当为何值时，以
、
、
为顶点的三
角形与
相似．
在直线
上方的抛物线上是否存在一点
，使得
的面积最大．若存在，求出点
的
坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
抛物线解析式为
，直线的解析式为
．
当的值为
或
时，以
、
、
为顶点的三角形与
相似．
满足条件的
点坐标为
．
∵直线
过点
，
∴
，解得
．
∴直线的解析式为
．
由直线
与轴交于点
，可知
．
∴
，解得
．
∴抛物线解析式为
．
对于抛物线
，
令
，则
，解得
，
．
∴
．
∴
，
，
，
，
，
．
若
，则
（如图），
∴
．
7
图
图
（3 ）
【标注】
∴
，
∴
．解得
；
②若
，
∵
，
∴
．
∴
，
∴
．解得
；
综上所述，当的值为
或
时，以
、
、
为顶点的三角形与
相似．
存在．
过点
作
轴，垂足为
，交
于点
（如图）．
∴
，
．
∴
．
∴
（
）．
又
且二次项系数
，
∴当
时，
的面积最大．
而当
时，
．
∴满足条件的
点坐标为
．
【知识点】二次函数与动点问题
