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1
二次函数章节复习：函数背景的动点压轴【题集C
2】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
方法一：
方法二：
（1 ）
方法一：
（2 ）
【解析】
如图，在平面直角坐标系中，已知矩形
的三个顶点
、
、
．以
为顶
点的抛物线
过点
．动点
从点
出发，沿线段
向点
运动，同时动点
从点
出发，沿线段
向点
运动．点
、
的运动速度均为每秒个单位，运动时间为秒．过点
作
交
于点
．
直接写出点
的坐标，并求出抛物线的解析式．
过点
作
于
，交抛物线于点
，当为何值时，
的面积最大？最大值为多
少？
在动点
、
运动的过程中，当为何值时，在矩形
内（包括边界）存在点
，使以
、
、
、
为顶点的四边形为菱形？请直接写出的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，抛物线的解析式为
．
当
时，
面积的最大值为．
或
．
．
∵抛物线的顶点为
，设抛物线的解析式为
，
代入点
，可得
．
∴抛物线的解析式为
．
由题意知，可设抛物线解析式为
∵抛物线过点
，
∴
，
解得，
，
∴抛物线的解析式为
，即
．
∵
，
∴
，
2
方法二：
（3 ）
∴
，
∴点
的横坐标为
．
将
代入抛物线的解析式，
．
∴点
的纵坐标为
．
于是得到
，
∴
．
∴当
时，
面积的最大值为．
∵
，
，
∴可求直线
的解析式为
．
∵点
∴将
代入
中，解得点
的横坐标为
．
∴点
的横坐标为
，代入抛物线的解析式中，可求点
的纵坐标为
．
∴
．
又点
到
的距离为
，
到
的距离为
，
即
．
当
时，
的最大值为．
或
．
∵
，
，
∴四边形
是平行四边形．
再构造点
关于
轴对称的点
，
那么四边形
也是平行四边形．
再根据
列关于的方程，检验四边形
是否为菱形，
根据
列关于的方程，检验四边形
是否为菱形．
，
，
，
．
如图，当
时，
，
3
【标注】
图
∴
．
整理，得
，
解得
，
（舍去）．
如图，当
时，
，
图
∴
．
整理，得
，
，
所以
，
（舍去）．
【知识点】二次函数与动点问题
2. 如图，抛物线
与轴交于
、
两点（点
在点
的左侧），与轴交
于点
，连接
、
．点
沿
以每秒个单位长度的速度由点
向点
运动，同时，点
沿
以每秒个单位长度的速度由点
向点
运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连
接
．过点
作
轴，与抛物线交于点
，与
交于点
，连接
，与
交于点
．设点
的运动时间为秒
．
4
（1 ）
1
2
（2 ）
（3 ）
（1 ）
1
（2 ）
【解析】
求直线
的函数表达式．
解答下列问题：
直接写出
，
两点的坐标．（用含的代数式表示，结果需化简）
在点
，
运动的过程中，当
时，求的值．
试探究在点
，
运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点
为
的中点？若存在，请直
接写出此时的值与点
的坐标．若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
（3 ）
．
，
．
的值是
．
存在，
．
由
得
，
解得：
，
，
∴
，
由
得
，
∴
，
设直线
的解析式为
，∴
，
∴
，
∴直线
的解析式为
．
过
作
轴于
，
∵
，
，
∴
，
，
5
2
（3 ）
【标注】
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
轴，
，
∴
，
∴
．
过
作
于
，
则四边形
是矩形，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
解得：
（舍去），
，
∴当
时，的值是
．
∵点
为
的中点，
∴
的横坐标为：
，
的纵坐标为
，
∴
，
∵点
在直线
上，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】二次函数与动点问题
6
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
【解析】
如图，二次函数
的图象过点
，
两点，动点
从
出发，在线段
上沿
的方向以每秒个单位长度的速度运动，过点
作
于点
，交抛物线于点
．设运
动时间为（秒）．
x
y
O
图
求二次函数
的表达式．
连接
，当
时，求
的面积．
如图，动点
从
出发时，动点
同时从
出发，在线段
上沿
的方向以个单位长
度的速度运动．当点
与
重合时，
、
两点同时停止运动，连接
，
，将
沿
直线
折叠得到
．在运动过程中，设
和
重合部分的面积为，直接
写出与的函数关系及的取值范围．
x
y
O
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
当
时，
，
当
时，
．
把
，
代入
中得：
，
解得
，
∴二次函数
的表达式为：
．
7
（2 ）
（3 ）
如图，当
时，
，
∵
轴，
∴
，
∴
，
∴
，
当
时，
，
，
，
，
∴
，
由
得
，
则
，
∴
．
如图，
x
y
O
图
当点
在
上时，
由（）得
，
∴
，
由折叠得：
，则
轴
∴
，
∴
，
∴
，
同理得：
，
∴当
时，
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【标注】
，
；
当
时，
如图，
，
点
与点
关于直线
对称，
x
y
O
图
则
、
，
∵
的解析式为：
，
的解析式为：
，
则交点
，
∴
，
∴
．
【知识点】二次函数与动点问题
