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1
二次函数章节复习：函数背景的动点压轴【题集C
7】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
1. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形
的三个顶点
、
、
．以
为顶点的抛物线
过点
．动点
以每秒个单位的速度从点
出发，沿
边向点
运动，运动的时间为秒，过点
作
交
于点
，过点
作
于点
，交抛物线于
点
．
x
y
O
图
求该抛物线的解析式．
连接
，求
的面积最大值．
将
沿直线
翻折，若点
的对应点
恰好落在抛物线上，求此时的值．
x
y
O
如图，在点
运动的同时，点
从点
出发，沿
边以每秒个单位的速度向点
运动．动
点
、
运动的过程中，在矩形
内（包括其边界）是否存在点
，使以
，
，
，
为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出该菱形的周长：若不存在，请说明理由．
x
y
O
图
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
．
的面积最大值为．
．
存在．周长为
或
．
由
、
、
点的坐标，可知
点坐标为
，
设：二次函数表达式为：
，
将点
的坐标
代入表达式，解得：
，
二次函数表达式为：
．
设：点
坐标
，直线
的表达式为
，
直线过
、
，
将点
、
坐标代入直线方程，则：
，
，
，
点
、
横坐标相同，则
，
，
，
当
时，
面积最大值为．
如图所示
点对应点为
，
交
于
点，过
作
轴，交
于
点，
x
y
O
则：
≌
，
，
，
设运动的时间为，则
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
，
，
3
（4 ）
【标注】
；
，
，
点
坐标为
，
在二次函数
上，
将
点坐标代入二次函数化简得：
，
，
（舍去）；
答：的值为
时，点
的对应点
恰好落在抛物线上．
x
y
O
x
y
O
①如左图所示，当点
在
上方时，
四边形
为菱形，则
，
过点
作
，在
中，
，
，
则
，
，解得：
，
菱形
周长
．
②如右图所示，当点
在点
下方时，
连接
交
于
，则
，过点
作
轴，
易证：
，
①，
由题意得：
，
，
，
，
代入①式解得：
，
菱形
周长
；
答：在矩形
内存在点
，使以
，
，
，
为顶点的四边形是菱形，其周长为
或
．
【知识点】二次函数与动点问题
，
4
x
y
O
图
（1 ）
（2 ）
x
y
O
图
（3 ）
2.
（1 ）
【解析】
如图，在平面直角坐标系中，矩形
的三个顶点分别是
，
，
．点
在
上，以
为顶点的抛物线过点
，且对称轴
交轴于点
．连接
，
．点
，
为动
点，设运动时间为秒．
填空：点
坐标为 ；抛物线的解析式为 ．
在图中，若点
在线段
上从点
向点
以个单位/秒的速度运动，同时，点
在线段CE上
从点
向点
以个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当
为何值时，
为直角三角形？
在图中，若点
在对称轴上从点
开始向终点
以个单位/秒的速度运动，过点
做
，交
于点
，过点
作
于点
，交抛物线于点
，连接
，
．当
为何值时，
的面积最大？最大值是多少？
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
当
或
时，
为直角三角形．
当
时，
的面积最大，最大值是．
∵抛物线的对称轴为
，矩形
的三个顶点分别是
，
，
，点
在
上，
∴点
坐标为
，
设抛物线的解析式为
，
5
（2 ）
（3 ）
【标注】
把
代入抛物线的解析式，可得
，
解得
．
故抛物线的解析式为
，即
．
依题意有：
，
，
∴
，
当
时，
∵
，
∴
，解得
；
当
时，
∵
，
∴
，解得
．
∴当
或
时，
为直角三角形．
∵
，
，
设直线
的解析式为
，则
，
解得
．
故直线
的解析式为
．
∵
，将
代入
中，得
，
∴
点的横坐标为
，
将
代入
中，得
．
∴
点的纵坐标为
，
∴
，
∴
，
∴当
时，
的面积最大，最大值是．
【知识点】二次函数与动点问题
3. 如图①，在平面直角坐标系中，二次函数
的图象与坐标轴交于
，
，
三点，
其中点
的坐标为
，点
的坐标为
，连接
，
．动点
从点
出发，在线段
上
6
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（1 ）
【解析】
以每秒个单位长度的速度向点
作匀速运动．同时，动点
从点
出发，在线段
上以每秒个单
位长度的速度向点
作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为
秒．连接
．
图
填空：
，
．
在点
，
运动过程中，
可能是直角三角形吗？请说明理由．
在轴下方，该二次函数的图象上是否存在点
，使
是以点
为直角顶点的等腰直角
三角形？若存在，请求出运动时间．若不存在，请说明理由．
如图②，点
的坐标为
，线段
的中点为
，连接
，当点
关于直线
的
对称点
恰好落在线段
上时，请直接写出点
的坐标．
图
备用图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
;
不可能，证明见解析．
．
．
7
（2 ）
（3 ）
设抛物线的解析式为
．将
代入得：
，
∴
，
．
在点
、
运动过程中，
不可能是直角三角形．
理由如下：连结
．
∵在点
、
运动过程中，
、
始终为锐角，
∴当
是直角三角形时，则
．
将
代入抛物线的解析式得：
，
∴
．
∵
，
∴
，
∵在
中，依据勾股定理得：
，在
中，依据勾股定理可知：
，
在
中依据勾股定理可知：
，在
中，
，
∴
，即
，解得：
．
∵由题意可知：
，
∴
不和题意，即
不可能是直角三角形．
图
如图所示：
8
图
过点
作
轴，分别过点
、
作
、
，
垂足分别为
、
，
交轴与点
，过点
作
轴，垂足为点
，
则
轴，
．
∵
轴，
∴
，
∴
，
即
，
∴
，
，
∴
，
．
∵
，
，
∴
，
∴
．
又∵
，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
．
∵点
在轴下方的抛物线上，
∴
，
解得：
．
∵
，
9
（4 ）
∴
．
如图所示：连结
，取
的中点
，
图
连结
，
，延长
交线段
与点
．
∵点
为
的中点，点
为
的中点，
∴
，
．
∵
，
，
∴点
为
的中点．
又∵
为
的中点，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，即
是
的平分线．
设直线
的解析式为
，把点
、
代入得：
，
解得：
，
，
∴直线
的表示为
．
同理可得直线
的表达式为
．
设直线
的函数表达式为
，将点
的坐标代入得：
，
解得：
，
∴直线
的表述表达式为
．
将直线
和直线
的表达式联立得：
，解得：
，
，
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【标注】
∴
．
【知识点】二次函数与动点问题
