文档文本内容
1
圆中切线的判定常见题型 题集【A】
1. 全等证切线
O
（1 ）
（2 ）
1.
O
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，⊙
经过菱形
的三个顶点
、
、
，且与
相切与点
．
求证：
为⊙
的切线．
求
的度数．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
、
，
∵
切⊙
与
，
∴
，
∵四边形
为菱形，
∴
，
∵
，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∴
为⊙
的切线．
∵四边形
为菱形，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与全等
2
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
【解析】
如图，
是⊙
的直径，
，四边形
是平行四边形，
交⊙
于点
，连接
并延长交
的延长线于点
．
求证：
是⊙
的切线．
若
，
，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
如图连接
．
∵四边形
是平行四边形，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
3
（2 ）
【标注】
∴
，
∴
，
∴
是⊙
的切线．
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
中，
∵
，
，
，
∴
，
∴
．
【能力】运算能力
【能力】推理论证能力
【知识点】与圆有关的不规则图形的周长与面积计算
【知识点】切线的判定定理
阴
扇形
3. 如图，在
中，
，以
为直径作⊙
交
于点
，连接
．
4
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
求证：
．
若
为线段
上一点，试问当点
在什么位置时，直线
与⊙
相切？并说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
当
（或点
是
的中点）时，直线
与⊙
相切．
∵
为直径，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
当
（或点
是
的中点）时，直线
与⊙
相切；
连接
，∵
，
∴
，
∵
，∴
，
∵
，
∴
，
∴直线
与⊙
相切，
故当
（或点
是
的中点）时，
直线
与⊙
相切．
【知识点】切线的判定定理
（1 ）
（2 ）
4. 如图，四边形
是平行四边形，以
为圆心，
为半径的圆交
于点
，延长
交⊙
于
点
，连接
，
，若
是⊙
的切线．
求证：
是⊙
的切线．
若
，
，求平行四边形
的面积．
【答案】（1 ）证明见解析．
5
（1 ）
方法一：
方法二：
（2 ）
【解析】
【标注】
（2 ）
．
连接
，
，
∵
，∴
．
∵四边形
为平行四边形，
∴
，
∴
，
．
∴
，
∴
≌
，
∴
．
即
，
∴
是⊙
的切线．
∵
≌
，
∴
．
∵四边形
为平行四边形，
∴
．
∴
．
．
【知识点】切线的判定定理
平行四边形
2. 等腰、角平分线+平行证切线
1. 如图，
是⊙
的直径，
为⊙
上一点，
平分
交⊙
于点
，过点
作
交
的延长线于点
．
6
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
求证：
是⊙
的切线．
若⊙
的半径为，
．求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
的长为．
连接
，
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
是⊙
的切线．
过点
作
于点
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
7
【标注】
在
中，
，
，
∴
，
即
的长为．
【知识点】圆与勾股
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在
中，
，
的平分线交
于点
，过点
作
的垂线交
于点
．
请画出
的外接圆⊙
（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）．
求证：
是⊙
的切线．
过点
作
与点
，延长
交⊙
于点
，若
，
，求⊙
的半径．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
画图见解析．
证明见解析．
．
如图⊙
即为所示．
如图连接
，∵
，
则
，
8
（3 ）
【标注】
又∵
平分
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
是⊙
的切线．
由已知条件得
，
∴
，
设⊙
的半径为，
则
，
又∵
，
∴
，
∴
，
解得
，
∴⊙
的半径为．
【知识点】切线的判定定理
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
【解析】
如图，⊙
为
的外接圆，
为⊙
的直径，作射线
，使得
平分
，过点
作
于
．
求证：
为⊙
的切线．
如果
，
，求⊙
的直径．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明：如图，连接
．
9
（2 ）
【标注】
∵
，
∴
．
∵
平分
，
∴
．
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∵
是⊙
半径，
∴
为⊙
的切线．
∵
，
，
，
∴
．
由勾股定理，得
．
∴
．
∵
是⊙
直径，
∴
，
∴
．
又∵
，
，
∴
．
在
中，
．
∴⊙
的直径为．
【知识点】解直角三角形的综合应用
【知识点】圆周角定理以及应用
【知识点】切线的判定定理
【知识点】切线的性质定理
4. 如图，在
中，
，以
为直径的⊙
交
于点
，过点
作
于点
．
10
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
求证：
是⊙
的切线．
若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，
则
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
是⊙
切线．
连接
，
∵
是⊙
的直径，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
,
，
∴
．
【知识点】圆与三角函数
5. 已知：
是边长为的等边三角形，点
在边
上，⊙
过点
且分别与边
，
相交于点
，
，
，垂足为
．
11
（1 ）
（2 ）
（1 ）
【解析】
求证：直线
是⊙
的切线．
当直线
与⊙
相切时，求⊙
的半径．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
⊙
的半径是
．
连结
，
∵
是等边三角形，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
，
∵⊙
与
边相交于点
，
∴
点在圆上．
∴
是⊙
的切线．
12
（2 ）
【标注】
连结
，
．
∵
是⊙
的切线，
∴
．
设⊙
的半径为，则
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
．
∴
，
∵
、
分别是⊙
的切线，
∴
，
在
中，∵
，
∴
．
解得
．
∴⊙
的半径是
．
【知识点】切线的判定定理
3. 倒角证切线
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
【解析】
如图，点
在⊙
的直径
的延长线上，点
在⊙
上，
，
．
求证：
是⊙
的切线．
连接
，求证：
．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
连结
，如图，
∵
，
，
∴
，
13
（2 ）
【标注】
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
是⊙
的切线．
∵
，
而
，
∴
为等边三角形，
∴
．
【知识点】切线的判定定理
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，
是⊙
的弦，
经过圆心
，交⊙
于点
，
．
直线
是否与⊙
相切？为什么？
连接
，若
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
直线
与⊙
相切．
．
连接
、
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴直线
与⊙
相切．
连接
，
，
又
，
∴
是等边三角形，
14
【标注】
即
，
，
，
∴
，
∴
．
【知识点】切线的判定定理
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，
内接于⊙
，
，
是⊙
的直径，点
是
延长线上的一点，且
．
求
的度数．
求证：
是⊙
的切线．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
证明见解析．
连接
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
即
．
∵
，
∴
，
15
【标注】
∴
，
∴
，
∴
是⊙
的切线．
【知识点】切线的判定定理
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，
是⊙
的内接三角形，
是弦
的中点，点
是⊙
外一点，且
，连接
并延长与⊙
相交于点
，与
相交于点
．
求证：
是⊙
的切线．
若⊙
的半径为
，求弦
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，如图所示：
∵
是弦
的中点，
∴
，
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
即
，
∴
是⊙
的切线．
∵
，
中，
，
∴
，
∵
的面积
，
∴
，
∴
，
即弦
的长为
．
16
【标注】【知识点】切线的判定定理
（1 ）
（2 ）
5.
（1 ）
【解析】
已知：
内接于⊙
，过点
作直线
．
如图，
为直径，要使
为⊙
的切线，还需添加的条件是（只需写出三种情况）：
① ；② ；③ ．
如图，
是非直径的弦，
，求证：
是⊙
的切线．
【答案】（1 ）
（2 ）
;
;
证明见解析．
①当
时，
又∵
为直径，
在点
，
根据切线定义，
可得
为圆
切线，
②当
时，
∵
为圆直径，
∴
，
17
（2 ）
【标注】
，
又∵
，
∴
，
∴
为圆
切线，
③当
，
∵
，
又∵
，
∴
，
由②得
为圆
切线．
连接
，反向延长
至
，连接
，
∵
为⊙
直径，
∴
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
是⊙
的切线．
【知识点】切线的判定定理
6. 如图，点
是⊙
的直径
延长线上一点，点
在⊙
上，且
．
18
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
根据你的判断：
是⊙
的切线吗?为什么?
若点
是劣弧
上一点，
与
相交于点
，且在
的面积为
，
的面积为
，试求
的度数．
【答案】（1 ）
（2 ）
为⊙
的切线．
．
为⊙
的切线，
连接
，
∵
，
∴
∵
为直径，
∴
，
∵
，
∴
，
即
，
∴
，
为⊙
的切线．
∵
，
，
∴
≌
，
∴
，
在
中，
，
∴
．
【知识点】圆与全等
19
