文档文本内容
1
圆中常见相似模型 题集【B】
1. AA普通相似
（1 ）
（2 ）
（1 ）
【解析】
如图，
中，以
为直径的⊙
分别与
、
交于
、
，过
作
于
，且
．
图
求证：
是⊙
的切线．
如图，连
．若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，
，
，
∵
于
，且
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
2
（2 ）
【标注】
∵
是⊙
的直径，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
是⊙
的切线．
连接
，
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
（不合题意，舍去），
∴
．
【知识点】切线的判定定理
2. 共角、等角型相似（A字、8字型）
（1 ）
1. 如图，
是⊙
的直径，直线
与⊙
相切于点
，点
在⊙
上，
，直线
与
的延长线交于点
．
于点
，交⊙
于点
．
求证：
是⊙
的切线．
3
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
已知⊙
的半径是
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连结
．
∵
是⊙
的切线，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
，即
，
∴
是⊙
的切线．
连结
，
∵
，
，
∴在
中，
．
∴
．
∵
，
∴
，
．
∴
．
∴
，
∴
．
∵
是⊙
的直径，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与相似
2. 如图，
为⊙
的直径，
与⊙
相切于点
，
与⊙
相切于点
，点
为
延长线上一
点，且
．
4
图
（1 ）
图
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
求证：
为⊙
的切线．
如图，连接
，
的延长线与
的延长线交于点
．若
，
，求线段
和
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
，
．
连接
，
．
∵
，
，
，
∴
≌
．
∴
．
又∵
与⊙
相切于点
，
∴
．
∴
．
∴
为⊙
的切线．
过点
作
于点
，
∵
，
，
分别切⊙
于点
，
，
，
∴
，
．
设
为，则
，
．
在
中，
，
5
【标注】
解得：
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
∵
，
，
∴
．
∴
，
，
解得
．
【知识点】圆与勾股
（1 ）
（2 ）
3. 如图，在
中，
，以
为直径的
分别交
、
于点
、
，点
在
的延
长线上，且
．
求证：直线
是
的切线．
若
，
，求
和
的长．
【答案】（1 ）证明见解析．
6
（1 ）
（2 ）
【解析】
（2 ）
，
．
连结
，
∵
是
的直径，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，即
．
∵
是
的直径，
∴直线
是
的切线．
过点
作
于点
．
∵
，
，
∴
．
∵
，
，
∴
．
∵
，
，
∴
．
在
中，由勾股定理得
，
∴
，
．
在
中，可求得
，
，
7
【标注】
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与三角函数
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在
中，
，点
在
上，以
为半径的⊙
交
于点
，
的垂直平分
线交
于点
，交
于点
，连接
．
求证：直线
是⊙
的切线．
若
，
，
，求线段
和
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
，
．
如图连接
，
∵
，
∴
，
∵
是
的垂直平分线，
∴
，
，
∵
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴直线
是⊙
的切线．
∵
，
，
，
∴
，
8
【标注】
连接
，设
的长为，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】弧、弦、圆心角关系
（1 ）
（2 ）
5. 如图，
是⊙
的直径，弦
，垂足为
，连接
，过
上一点
作
交
的
延长线于点
，连接
交
于点
，且
，连接
．
A
B
O
C
D
E
M
G
F
H
求证：
．
求证：
是⊙
的切线．
9
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
延长
交
的延长线于点
，若
，
，求
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析.
证明见解析.
．
如图中，
A
B
O
C
D
E
M
G
F
H
图1
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，∵
，
∴
．
如图中，连接
，
A
B
O
C
D
E
M
G
F
H
图2
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
10
（3 ）
【标注】
∴
，
∴
，
∴
是⊙
的切线．
如图中，连接
．
A
B
O
C
D
E
M
G
F
H
图3
设⊙
的半径为．
在
中，
，
∵
，
∴
，
在
中，∵
，
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与相似
6. 如图，在
中，
，以
为直径的⊙
交
于点
，交
于点
，过点
作
，垂足为
，连接
．
11
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
求证：直线
与⊙
相切．
若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
如图，连接
．
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴点
在⊙
上，
∴直线
与⊙
相切．
四边形
是⊙
的内接四边形，
∴
，
∵
，
12
【标注】
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆内接四边形综合
3. 共角共边、等角等边型相似（子母型）
1.
【解析】
如图
为
的外接圆，且
，过点
的直线交
于点
，交
延长线于
，
是
的延长线，连接
⑴求证：
⑵求证：
；
⑶若
是
的直径，且
，
，求
的长．
【答案】见解析
⑴
∵
∴
∵
，
∴
⑵∵
13
【标注】
∴
∵
为公共角
∴
∴
∴
⑶
【知识点】正多边形与圆
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，
中，
为
上一点，以
为直径的
过点
，若
．
求证：
为
的切线．
若
，求
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
为
的切线．
设
，
∵
，
∴
，
∴
，
14
【标注】
∵
，
∴
．
【知识点】圆与相似
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
【解析】
如图，已知
是⊙
的直径，点
在⊙
上由点
顺时针向点
运动（点
不与点
、
重合），弦
交
于点
，且
，过点
作弦
的平行线与
的延长线交于点
．
若⊙
的半径为，且点
为弧
的中点时，求圆心
到弦
的距离．
当
时，求
的大小．
若
，且
，求
的面积．
备用图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
过点
作
于点
，
∵
，
为⊙
的直径，
15
（2 ）
（3 ）
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
在
中，
，
∴
，
，
∴圆心
到弦
的距离为
．
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
连接
、
，延长
交
于点
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
为⊙
的切线，
，
∵
为⊙
的直径，
∴
，
∴
，
∵
，
16
【标注】
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与相似
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4.
（1 ）
【解析】
如图，已知
是⊙
的直径，点
在⊙
上，过点
的直线与
的延长线交于点
，
，
．
求证：
是⊙
的切线．
求证：
．
点
是弧
的中点，
交
于点
，若
，求
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
．
∵
是⊙
直径，点
在⊙
上，
∴
，
，
∴
，
∴
，
17
（2 ）
（3 ）
又∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
即
，∴
，
∴
是⊙
的切线．
∵
，
∴
，
∴
，
又∵
，∴
，
∴
，
又∵
，
∴
．
连接
，
，
∵
是弧
的中点，
∴
，
又∵
是直径，
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
即
．
18
【标注】【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
5.
方法一：
（1 ）
【解析】
如图，
是圆
的切线，切点为
，
是圆
的弦．过点
作
，交圆
于点
，连接
，过点
作
，交
于点
．连接
并延长交
于点
，交过点
的直线于点
，且
．
判断直线
与圆
的位置关系，并说明理由．
若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
直线
与圆
相切，理由见解析．
．
直线
与圆
相切．如图，连接
．
∵
是圆
的切线，
∴
，即
．
∵
，
∴
，即
．
∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
又∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
19
方法二：
（2 ）
又∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
，即
．
又∵点
在圆
上，
∴直线
与圆
相切．
直线
与
相切．
如图，连接
并延长，交
于点
，连接
．
∵
，∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
是
的直径，
∴
．
∴
．
∴
．
∴
，即
．
又∵点
在
上，
∴直线
与
相切．
∵
是
的切线，∴
，即
．
∵
，∴
，
即
．
∴
．
∴
．
在
中，
，
，
，
20
【标注】
由勾股定理，得
．
设
的半径为．
在
中，
，
，
，
，
由勾股定理，得
，即
．
解得
．
在
和
中，
∵
，
，
∴
∽
，
∴
，
即
．
∴
．
【知识点】圆与勾股
（1 ）
（2 ）
（3 ）
6.
（1 ）
【解析】
如图，在
中，
，
的平分线交
于点
，过点
作
的垂线交
于点
，⊙
是
的外接圆．
求证：
是⊙
的切线．
过点
作
，垂足为
，求证：
．
若
，
，求
及
的长度．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
，
．
如图，连接
．
21
（2 ）
∵
，
∴
，
∴
是圆
的直径．
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
是⊙
的切线．
如图，连接
．
∵
，
于
，
于
，
∴
．
∵
，
，
∴
．
在
与
中，
，
∴
≌
，
∴
．
22
（3 ）
【标注】
由（）得
，又
，
∴
，
在
中，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
∴
，
，
∴在
中，
，
∴在
中，
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与相似
（1 ）
（2 ）
7. 如图所示，
是⊙
的直径，
切⊙
于点
，且
，
交⊙
于点
，
的延长
线交⊙
于点
，
的延长线交
于点
，连接
、
．求证：
．
求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
的长为
．
23
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
∵
、
同对劣弧
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
切⊙
于点
，
是⊙
的直径，
∴
．
∵
是⊙
的直径，
∴
，
∴
，
，
∴
，
．
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
．
∴
，
又
，
∴
，
于是有
．
∴
，
设
，则
，
由
得
，即
，
解得：
（舍）或
，
故
的长为
．
【知识点】圆与相似
