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圆幂定理 题集【A】
1. 相交弦定理
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
【标注】
如图，
是⊙
的直径，弦
于点
，
，
，那么⊙
的半径是
（ ）．
【答案】C
设
，则
，那么⊙
的半径是
．
∵弦
于点
，
，
∴
（
）．
由相交弦定理得
．
即
．
解得
或
（舍去）．
故⊙
的半径是
．
故选：．
【知识点】相交弦定理
【能力】运算能力
2. 如图，
的弦
与
相交于点
，已知
，
，
，那么
．
2
【解析】
【标注】
【答案】
由相交弦定理：
，
∴
．
【知识点】相交弦定理
3.
【解析】
如图，点
为弦
上的一点，连接
，过点
作
，
交
于
，若
，
，则
．
【答案】
延长
交
于点
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
解得：
．
故答案为：．
3
【标注】【知识点】垂径定理以及应用
【知识点】相交弦定理
【思想】数形结合思想
【能力】运算能力
A.
或
B.
或
C.
或
D.
或
4.
【解析】
【标注】
如图，已知
中，弦
cm，
是
上一点，
，
，则
（
）．
【答案】B
作过
、
两点的直径，分别交
于
、
，
则由相交弦定理可知
，
又
，
或．
【知识点】相交弦定理
【能力】运算能力
4
5.
方法一：
方法二：
【解析】
如图，
是等腰
底边
上一点，若
，
，求
的值．
【答案】．
以
为圆心，
长为半径作
，则
点一定在圆上，
双向延长
交
于
、
，
则由相交线定理得
，
∵
，即
的半径为
，
∴
，
∴
．
作
的外接圆，延长
交圆于
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
5
【标注】【能力】推理论证能力
【知识点】相交弦定理
【知识点】相似三角形与实际问题
【知识点】相似模型的构造和应用
A.
B.
C.
D.
6.
【解析】
【标注】
如图，在等腰
中，
，
．若
，求
．
【答案】A
以
为圆心，
长为半径作⊙
，则点
在⊙
上，
延长
交⊙
于
，
∵
，
∴点
在⊙
上，
∴
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆周角定理以及应用
2. 割线定理
1. 如图，割线
与
交于点
、
，割线
与
交于点
、
，
，
，则
．
6
【解析】
【标注】
【答案】
∵
，
，
∴
．
【知识点】割线定理
2.
【解析】
【标注】
如图，点
是
外一点，过点
作直线交
于
、
，
交
于
、
，若
，
，
，则
的长为 ．
【答案】
∵
，∴
，∴
．
【知识点】割线定理
A.
B.
C.
D.
3.
【解析】
【标注】
如图，两圆相交于
、
，
为公切线，若
，
，则
（ ）．
【答案】C
∵
是两圆的公切线，
∴
，
，
∴
，
∴
，解得
．
【知识点】切割线定理
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4.
【解析】
【标注】
已知
为
的直径，
为
上的两点，
交于点
，
求证：
．
【答案】证明见解析．
如图，连接
，过点
作
于
，
∵
是直径，∴
，
∵
，∴
，
∴
四点共圆，
四点共圆，
则由割线定理得
，
，
两式相加得
．
【知识点】割线定理
、
、
，
（1 ）
（2 ）
5. 如图，在直角
中，
，以点
为圆心，
为半径的圆交
于点
，交
于点
．
若
，求弧
的度数．
若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
8
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
连接
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴弧
的度数为
．
延长
交⊙
于点
，
∵
，
，
，
∴
，
，
∵
与
均是⊙
的割线，
∴
，即
，解得
，
∴
．
【知识点】割线定理
3. 切割线定理
1.
【解析】
【标注】
已知两同心圆以
为圆心，
是大圆外一点，
切大圆于
，
切小圆于
，交大圆于
、
两
点．如果
，
，
，则两圆的半径分别是 ．
【答案】，
在
中，
，
由切割线定理得
，∴
，
∴在
中，
．
【知识点】切割线定理
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2.
【解析】
【标注】
如图，
是
的切线，
是
的割线，求证：
.
【答案】证明见解析．
连接
、
，
∵
为圆
的切线，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
故：
．
【知识点】切割线定理
3.
【标注】
如图，
切
于
，
是
的割线，如果
，
，则
的长为 ．
【答案】
【知识点】切割线定理
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A.
B.
C.
D.
4.
【解析】
【标注】
过⊙
外一点
作⊙
的切线
，连接
交⊙
于
，过点
作
，垂足为
，若
，
，则
（ ）．
【答案】B
延长
交⊙
于点
，由切割线定理，得
，得
，所以
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】切割线定理
