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分式【章节复习】压轴题-定义新运算 题集C1
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
对于实数，，定义一种新运算“
”为：
，这里等式右边是通常的四则运算，例
如：
．
若等式
成立，则的值为 ．（直接写出答案）
若，均为整数，且满足等式
，求满足条件的所有数对
．
【答案】（1 ）
（2 ）
，
，
，
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
∵、均为整数，
∴
为整数，
∴
或
，
∴
，
，
，
，
∴满足条件的数对为
，
，
，
．
【知识点】定义新运算
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
有一列按一定顺序和规律排列的数：
第一个数是
；
第二个数是
；
第三个数是
；
…
对任何正整数，第个数与第（
）个数的和等于
．
经过探究，我们发现：
，
，
，
设这列数的第个数为，那么
，
，
，哪个正确？
请你直接写出正确的结论．
请你观察第个数、第个数、第个数，猜想这列数的第个数（即用正整数表示第数），
并且证明你的猜想满足“第个数与第（
）个数的和等于
”．
设
表示
，
，
，…，
，这
个数的和，即
，
求证：
．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
第个数为
．
证明见解析．
由题意知第个数
．
∵第个数为
，第（
）个数为
，
∴
，
即第个数与第（
）个数的和等于
．
∵
，
，
，
3
【标注】
…
，
，
∴
，
即
，
∴
．
【知识点】算式找规律
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
定义：如果一个数的平方等于
，记为
，这个数 叫做虚数单位，那么和我们所学的实数
对应起来就叫做复数，表示为
( ， 为实数)， 叫这个复数的实部， 叫做这个复数的虚
部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似
例如计算：
,
计算：
．
试一试：请利用以前学习的有关知识将
化简成
的形式 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
略
【知识点】分式化简求值综合
【知识点】分式乘除混合运算
【知识点】完全平方公式的计算-不含分式
【知识点】幂的综合运算
【知识点】幂的乘方
【知识点】新定义综合其它
【能力】运算能力
4
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
阅读材料：
我们定义：如果一个数的平方等于
，记作
，那么这个就叫做虚数单位，虚数与我们学过
的实数合在一起叫做复数，一个复数可以表示为
（，均为实数）的形式，其中叫做它的实
部，叫做它的虚部，复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似，例如，计
算：
．
根据上述材料，解决下列问题：
填空：
，
．
计算：
，
．
试一试：将
化简为
（，均为实数）的形式（即化为分母中不含的形式）．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
;
．
，
．
，
．
．
【知识点】分式化简求值-直接代入数值求值
（1 ）
（2 ）
5. 定义正整数
，的运算：
．
计算
的值为 ．运算“
”满足交换规律吗?回答： ．（填“是”或
“否”）
探究：计算的值
．
为解决上面的问题，我们运用数形结合的思想⽅法，通过不断地分割一个面积为的正方形，
把数量关系的几何图形结合起来，最终解决问题．如图所示，第一次分割，把正方形的面积
⼆等分，其中阴影部分的面积为
．第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续⼆等
分，阴影部分的面积之和为
．
第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，
．依此类推，
第
次分割，把二次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为
，最后空白部分的面积是
．根据第
次分割图可以得出计算
5
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
结果：
，
进⼀步分析可得出，
．
已知是正整数，计算
的结果．（请写出推理过程）
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
; 否
．
，
，
则
，
“
”不满足分配率．
第一次分割，阴影部分面积为
．
第二次分割，阴影部分面积为
．
以此类推，第
次分割所有阴影面积之和为
．
根据第
次分割结果
．
进一步分析得：
．
第一次分割，阴影部分面积为
．
第二次分割，阴影部分面积为
．
第三次分割，把上次分割图中面积空白部分的面积最后四等分．
所有阴影部分面积之和为，
最后的空白面积是
．
根据第次分割图得：
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【标注】
，
两边同时除以，得：
．
【知识点】定义新运算
