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勾股定理 题集
1. 勾股定理的探究和证明
如果直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，
那么
．
即直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方．
【注意】
（）如图所示：勾——短的直角边，股——长的直角边，弦——斜边．
（）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用与锐角三角形和钝角三角形．
（）为方便应用勾股定理进行计算，常将
进行如下变形：
①
；②
；③
；
④
；⑤
从图中两个较小的正方形出发，又可以分别作出一个类似的图形，就这样一生二、二生四、四生八，继
续繁殖下去，就长成了美丽的勾股树．
1．赵爽的“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”）
如图是由个全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的两条直角边长分别为，（
），斜
边为，中间是正方形，且边长为
．
2
∵以为边的大正方形的面积为
，
而个直角三角形的面积和为
，
中间的小正方形的面积为
，
∴
．即
．
2．邹元治的证明
如图是由个全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为，中间
是正方形，且边长为．
∵四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
，
大正方形面积
，
且四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积，
∴
．
∴
．
3．
年美国总统伽菲尔德的证明
如图是由个以、为直角边，以为斜边作两个全等的直角三角形和一个以为直角边的等腰直角三角
形拼成的直角梯形．
∵
，
3
,
∴
∴
．
A.
B.
C.
D.
1. 在
中，
，
，
，则
的长是（ ）．
2. 已知一个
的两边分别为和，则第三边长是 ．
A.
B.
C.
或
D.
或
3. 直角三角形两边长分别为和，则另一边长为（ ）．
A.
B.
C.
或
D.
或
4. 直角三角形的两边长分别为和，那么它的第三边长为（ ）．
5. 已知直角三角形一个锐角
，斜边长为，那么此直角三角形的周长是 ．
A.
B.
C.
或
D.
或
6. 若一个三角形三边长的平方分别为
，
，
，则此三角形是直角三角形的
的值是（ ）．
7. 已知直角三角形的三边长为、、，则边长为的正方形的面积为 ．
A.
B.
C.
D.
8. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方
形
、
、
、
的边长分别是，，，，则最大正方形
的面积是（ ）．
9. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方
形
、
、
、
的面积分别为、、、，则最大的正方形
的面积是 ．
4
A.
B.
C.
D.
10. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为
，则正方形
，
，
，
的面积之和为
．
11. 如图，在
中，
，垂足为点
，
，
，
，求
的长．
（1 ）
（2 ）
12. 阅读材料，回答问题：
中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”．这句话
的意思是：“如果直角三角形两直角边为和时，那么斜边的长为．”．上述记载表明了：
在
中，如果
，
，
，
，那么，，三者之间的数
量关系是： ．
对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如下图，它是由八个全等直角
三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程
补充完整：
证明：∵
，
，
．
又∵
，
∴
，
整理得
，
正方形
正方形
5
（3 ）
∴ ．
c
a
b
E
D
P
N
M
Q
B
A
C
如图，把矩形
折叠，使点
与点
重合，折痕为
，如果
，
，求
的长．
A
B
E
F
G
D
C
H
2. 利用勾股定理表示无理数
实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到它的对应点，若要在数轴上直接标出无
理数对应的点较难，由此，我们可构造直角三角形，利用勾股定理来确定．
1. 如图，矩形
中，
，
，以原点
为圆心，对角线
的长为半径画弧，交数轴
上原点右边于一点，则这个点表示的实数是 ．
2. 如图，数轴上点
所表示的数为，则的值 ．
6
3. 如图，数轴上的点
所表示的实数为，则的值为 ．
4. 如图，矩形
中，
，
，
在数轴上，若以点
为圆心，对角线
的长为半
径作弧交数轴的正半轴于
，则点
表示的数为 ．
