文档文本内容
1
四点共圆的判定（二） 题集【C】
1.
【解析】
【标注】
如图，半圆
的直径
，点
为半圆的中点，点
在弦
上，连接
，作
于点
，
交
于点
，连接
，当
和
相似时，
的长为 ．
【答案】
或
设
．
①若
，
则
，
，
，
四点共圆，且
，
此时
，
∴
，
即
，
．
②若
，则
，
此时
，
，即
，
∴
．
综上，
为
或
．
【知识点】四点共圆的应用
2. 如图，正方形
中，
交
的延长线于
，
在线段
上运动，
的平分线交
于
．
图
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
如图，求证：
．
过
作
于
，试探求
，
，
之间的数量关系并说明理由．
在第（）的条件下，
为
的延长线上一点，且
，
于
，
，
，直接写出
的长．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
，证明见解析．
．
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
．
平分
，
平分
，
∴
为
的内心，
∴
，
∴
．
设
，
则
，
在
中，
，
3
【标注】
∴
，
解得
，
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
，
，
在以
为直径的圆上，
又∵
，
∴
，
又∵
，
∴
．
【知识点】四点共圆的应用
A.
B.
C.
D.
3.
【解析】
如图，正方形
中，点
、
分解是
，
上的动点（不与点
，
，
重合），且
，
，
与对角线
分别相交于点
，
，连接
，
则下列结论：①
；②
；③
；④
；⑤
其中正确的有（ ）个．
【答案】D
∵在正方形
中，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，故①正确；
4
【标注】
∵
，
∴
、
、
、
四点共圆，
∴
，故②正确；
∵
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
，
∴
，故③④正确；
将
绕点
顺时针旋转
得到
，此时
与
重合，
由旋转可得
，
，
，
，
，
∴
，
因此，点
，
，
在同一条直线上，
∵
，
∴
，
∵
，
，
即
，
在
与
中，
，
∴
≌
，
∴
，
故
，
故⑤正确；
故选
．
【能力】抽象概括能力
【知识点】正方形的性质
【知识点】四点共圆的应用
【知识点】旋转的性质
【知识点】旋转性质综合应用
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
【知识点】相似三角形的判定-多解或是多种判定混合
4. 如图，四边形
是正方形，点
是边
上一动点，在边
上取一点
，使
，
连接
．
5
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
【解析】
图
求证：
．
如图，连接
，分别交
，
于点
和点
，若
，求
的度数．
图
如图，连接
，在点
的移动过程中，判断
和
的位置关系并证明．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
，证明见解析．
延长
到
，使
，连接
．如图所示：
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
，
∴
，
∵
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
，
又∵
，
，
6
（2 ）
（3 ）
【标注】
∴
，
∴
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∵
，
，
∴
．
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，由（）得：
，
∴
，
∵
，
，
∴
．
∵
，
∴
、
、
、
四点共圆，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】正方形与全等综合
5. 如图，在正方形
中，点
、
分别在边
、
上，
、
分别交
于点
、
，连接
、
，且
，下列结论：①
，
；②
；③
；④图中有对相似三角形．其中正确结论个数是（ ）．
7
A.
B.
C.
D.
【解析】
【标注】
【答案】B
①正确，易证：
≌
、
、
、
四点共圆
，
又∵
；
②正确，
≌
；
③正确，
、
、
、
四点共圆
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
∴
；
④错误，不止对，有：
≌
≌
≌
≌
≌
．
【知识点】四点共圆的应用
（1 ）
6. 如图，等腰直角
中，
，
，
平分
交
于
，过
作
交
于
，垂足为
，过
作
交
的延长线于
，垂足为
，连
交
于
．
图
图
求证：
．
8
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
求证：
．
若
，则
．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
如图中，取
的中点
，连接
，
图
∵
，
，
∴
，∵
平分
， 图
∴
，
∵
，
∴
，∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
如图中，∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
、
、
、
四点共圆，
∴
，∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
9
（3 ）
【标注】
∴
．
如图中，作
交
于
．
图
∵
，
， 图
∴
，
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，∴
，
∴
，
故答案为
．
【知识点】四点共圆的应用
