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1
勾股定理【章节复习】压轴题--勾股与全等综合
【C6】
图
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
【解析】
已知：点
是等腰直角三角形
斜边
所在直线上一点（不与点
重合），连接
．
如图，当点
在线段
上时，将线段
绕点
逆时针方向旋转
得到线段
，连接
．求证：
，
．
如图，当点
在线段
延长线上时，探究
、
、
三条线段之间的数量关系，写出
结论并说明理由．
图
若
，直接写出
的度数．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
或
．
如图，∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
．
∴
，
2
图
（2 ）
（3 ）
∴
．
，
理由：如图，将线段
绕点
逆时针方向旋转
得到线段
，连接
、
．
与（）同理可证
，
，
∵
，
，
∴
，
在
中，
，
∴
．
如图，①当
在
边上时，将线段
绕点
顺时针方向旋转
得到线段
，连接
，
与（）同理可证.
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴四边形
、
、
、
四点共圆，
∴
，
∴
；
②当
在
延长线上时，将线段
绕点
逆时针方向旋转
得到线段
，连接
．
同理可证：
，
∵
，
∴四边形
、
、
、
四点共圆，
∴
，
∴
，
综上，
的度数为
或
．
3
【标注】
图
【知识点】四点共圆的应用
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2. 如图所示，
，直线
与
交于点
，与
交于点
，
是
的角平分线，且与
交于点
，
交
于点
（
）．
如图①，求证：点
是
的中点．
如图②，过点
作
交
于点
，试猜想线段
、
、
有怎样的数量关系，并
证明自己的猜想．
如图③，过点
作
交
于点
，试猜想线段
、
、
又有怎样的数量关系，
并证明自己的猜想．
4
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
．
∵
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
为
的中点．
连接
，如图②：
∵
，
又∵
是
中点，
∴
垂直平分
，
∴
，
在
中，
，
由勾股定理得：
，
∴
．
如图③，延长
，使
，连接
，
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
5
【标注】
∴
，
在
中，
，
∴
．
【知识点】勾股定理与全等
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
【解析】
问题背景
如图，在正方形
的内部，作
，根据三角形全等的条
件，易得
≌
≌
≌
，从而得到四边形
是正方形．
类比探究
如图，在正
的内部，作
，
，
，
两两相交于
，
，
三点（
，
，
三点不重合）．
，
，
是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．
是否为正三角形？请说明理由．
进一步探究发现，图中的
的三边存在一定的等量关系，设
，
，
，请探索，，满足的等量关系．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
≌
≌
．
是正三角形，证明见解析．
．
≌
≌
，理由如下：
∵
是正三角形，
∴
，
，
6
（2 ）
（3 ）
【标注】
∵
，
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
同理可得
≌
，
∴
≌
≌
．
∵
≌
≌
，
∴
，
∴
，
∴
是正三角形．
作
于
，如图所示：
∵
是正三角形，
∴
，
在
中，
，
，
在
中，
∴
．
【知识点】等边三角形与全等
