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勾股定理【章节复习】压轴题--勾股与全等综合
【C8】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
如图，
和
都是等边三角形,连接
，
，
．
猜想
与
的数量关系,并说明理由．
给出定义：若一个四边形中存在一组邻边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为
勾股四边形如图，若
，求证：四边形
是勾股四边形．
设
，
，
的面积分别是
，
，
，若
，试探究
与
之间满足的等量关系．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，理由见解析．
证明见解析．
．
∵
、
为等边三角形，
∴
，
，
，
∴
即
，
∴
≌
（
）
∴
．
∵
，
，
∴
在
中，
∵
，
，
∴
，
∴四边形
是勾股四边形．
过
作
于
点
设
边长为，
边长为，
2
【标注】
在
中，
，
∴
，
即
，同理
，
∵
∴
，
∴
．
【知识点】等腰及等边三角形的综合
【知识点】等边三角形的性质
【知识点】勾股定理与实际问题
【知识点】勾股定理的综合应用
【知识点】全等三角形的性质
【知识点】SAS
【知识点】与四边形有关的新定义
（1 ）
1
2
（2 ）
2. 如图，
中，
，
，
．点
从点
出发以每秒一个单位的速度沿
着
向点
运动，连接
，设点
运动时间为秒．
图
当为何值时，
为等腰三角形？
如图，
与
关于
成轴对称，连接
．
图
当点
运动到
中点时，求线段
的长．
在点
运动过程中，是否存在某一时刻，使
为直角三角形？若存在，请直接写
出一个符合题意的的值；若不存在，请说明理由．
3
（1 ）
1
（2 ）
【解析】
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
或
或．
．
存在，
．
为顶角顶点时，
，
易知
为
中点，此时有
，
即
．
②
为顶角顶点时，
，过
作
垂线，垂足为
，
易得
，
，
，即
．
③
为顶角顶点时，
，即
，
综上所述，
或
或．
连接
交
于
．
为
中点时，易知
．
由题意有
≌
，
即
且
．
为直角三角形．
由对称的性质易知
，
，
.
．
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2
【标注】
当
，
为直角三角形，
过点
作
于
，如图所示，
∵
，
∴
，
在
中，根据勾股定理有，
，
∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】勾股定理的综合应用
（1 ）
1
（2 ）
3. 阅读下面材料，并解决问题：
问题情境：
如图（），
中，
，
，三角形内有一点
，
，
，
．求
的度数．
操作探究：
小明发现，由于
，
，
不在一个三角形中，为了解决本题可以将
绕点
旋转
到
处，如图（），此时
≌
，这样，就可以利用全等三角形知识将三
条线段转化到一个三角形中从而求出
的度数．小明写出了部分过程如下：
∵
绕点
旋转到
，
∴
≌
．
请帮小明补全解题过程．
（）
（）
应用拓展：
请你利用上面解决问题的方法，解决下面问题：
5
2
（1 ）
【解析】
如图（）在等边三角形
内有一点
，且
，
，
，则
的度数为 ．
如图（）
中，
，
，
、
为
上的点且
，猜想线段
、
、
之间的关系为 ．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
证明见解析．
补全解题过程：（如图所示）
∵
绕点
旋转到
,
∴
≌
，
∴
，
，
．
又∵
，∴
，在直角
中，
，
在
中，满足
，所以
，
．
6
1
2
（2 ）
【标注】
如图所示将
绕点
逆时针旋转到
，易证明
是等边三角形，易证明
三角形
是直角三角形，所以
．
如图所示将
绕点
顺时针旋转到
，易证明
≌
，然后利
用全等三角形的性质，易证明
≌
，最后得出
，易证明
．
【知识点】构造旋转全等
